勾股定理的应用1(折叠)

勾股定理的应用1——图形的翻折的导学案一、直角三角形的折叠问题

展示直角三角形纸片

1.已知△ABC中，∠B=90°， AB=4，BC=3,则AC=

斜边AC边上的高AD=

折叠1：将△ABC折叠，使点A与B重合（如图1），

则图中有哪些相等的线段？求BD

折叠2：将△ABC折叠，使点A与C重合（如图2），

（1）则图中有哪些相等的线段？

（2）△BDC的周长=

（3）求BD的长度

（4）思考求DE长度的方法

折叠3：将△ABC折叠，使点A落在BC的中点F处（如图3），

同样，求BD

设BD=x

直接列方程

二、长方形的折叠问题

展示长方形纸片

已知长方形ABCD中，AD=10，AB=6

折叠1、沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，

（1）找出图形中所有相等的线段

（2）BF= ，CF=

（3）求EC

（拓展:已知EF=5，CE=4，求剩下所有线段的长度）

折叠2：若沿直线AC把△ADC折叠，使点D落在点F处，AF与BC交于点E。（1）找出图形中所有相等的线段

（2）求BE（只列方程）

折叠3、若沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合。（1）找出图形中所有相等的线段

（2）求△BEF的面积

（3）求折痕EF的长度

链接：（惠安县2013—2014学年度上学期八年级教学质量检测第26题）

如图，已知一张长方形纸片ABCD ，AB ∥CD ，AD =BC =1，AB =CD =5．在长方形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB

与DN 交于点K ，得到△MNK ．

（1）请你动手操作，判断△MNK 的形状一定．．

是 ； （2）问△MNK 的面积能否小于12

？试说明理由；

（3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值．

1

D N B' C' K M D C A B D C

A B D C A B A C

B

C'

B

M

A

D 图

1

D

A

M

N

图2

26.（1）等腰三角形 （2）不能…4分 ∴

,//CD AB NMB

KNM ∠=∠KNM

KMN NMB KMN ∠=∠∴∠=∠; 又KN KM =∴ 如图1所示：过点M 作MH ⊥KN 于点

H ，1==∴AD MH

1,>=>∆KM KN MH KM KMH Rt 即中，在

如图2所示：KM ⊥KN ，此时KM 最小，KM =KN =1……8分

1≥∴KN

2

1112121=⨯⨯≥⋅=∆MH KN S MNK

∴

△MNK 的面积不可能小于2

1…………9分

（3）分两种情况讨论.

A

M

K

B'

图2

情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B 与D 重合，此时点K 也与D 重合.设MK =MB =x ，则AM =5-x ． 由勾股定理得2

2

2

)5(1x x =-+

解得x =2.6；∴3.116.22

1

=⨯⨯=

∆MNK

S

………………

11分

情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕即为AC ．

设MK =AK =CK =x ，则DK =5-x ．

同理可得x =2.6．

∴3.116.22

1

=⨯⨯=

∆MNK S …………13分

∴

△MNK 的面积最大值为1.3.