吉林大学物理(下)习题册答案9

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A. 确定的 能量
3.按照波函数的统计解释，对于一个微观粒子， 在某一时刻可以由波函数确定的是 A. 粒子一定在哪个坐标出现 B. 在空间各处找到该粒子的几率 C. 粒子的运动轨道 D. 粒子受到的力 4.下列哪个函数符合波函数的标准化条件（
y ( x y z t ) = y 0 e , , ,
i - [ Et - ( xp + yp y + zp )] x z h
满足上述方程。 2 h 2 ¶y Ñ y = i h 解：（1） 2 m ¶t i - [ Et - ( xp + yp y + zp )] x z h （2）将 y ( x y z t ) = y 0 e , , , 代入上述方程 左式
2
( 3 Q n = 1 波节在两端，两波节中间处 )
即 x=a/2 点的几率最大。
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5. 在一维无限深势阱中运动的粒子，其德布罗 意波可类比于一个两端固定的弦上的驻波，试用 驻波条件来求一维无限深势阱中粒子的能级。 解：根据驻波条件 l h hn 2 a a = n ® l = ® p = = 2 l 2 a n
p 1 2 E = m = u 2 m 2
2 2 n h n2 π 2 h2 ® E = 2 = 8ma 2 2 ma
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2
n = 1 2 L , ,
6. 设一个粒子在一维无限深势阱中，它的任意 E 两个相邻的能级之间的相对能量差为 D / E ， 2 证明： E / E = ( 2 + 1 / n D n )
L0 = 0 ; L = 2 ; L = 6 h 2 h 1
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8. 氢原子处于n = 2 , l = 1的激发态，求氢原子能 量、角动量及角动量z分量的可能值。 me 4 - 13 6 . eV E = ( n = 1 2 L ) , , 解： n = 2 2 2 2 ( π 0 ) 2 n 4 e h n
第十九章
量子力学基础
一、选择题 1、按照量子力学的基本原理，微观粒子的状 态用（ ） 来描写。 B. 粒子的坐标和动量 A. 波函数 C. 粒子的德布罗意波长 D. 粒子的能量 2.当微观粒子受到外界力场作用时，它不再是自 由粒子了，但仍然有 B. 确定的坐标和动量 C. 确定的德布罗意波长 D. 波粒二象性
y) r, (t
r
3.归一化条件表明，尽管在空间各点粒子出现的 不相同 几率一般_______，但在粒子运动的整个空间找 等于1 到粒子的几率的总和却总是__________。
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4.对于不受外力的自由粒子，在运动过程中能量E r 不变 和动量 p _______（填变大、不变或变小）。根据 德布罗意假设，与自由粒子相联系的物质波的频 h E 率n=______，波长l=_____。 p
*
1 2 (1) ò y y dx = A ò = A π = 1 dx 2 -¥ -¥ 1 + x 1 Þ A = π
¥ * 2 ¥
1 1 y ( x ) = π 1 + ix
A 2.有一粒子沿x轴方向运动,其波函数为 ( x ) = y 1 + ix
(1)将此波函数归一化； (2)求出粒子按坐标的概率密度分布函数; (3)问在何处找到粒子的概率最大，为多少？ 1 1 * (2) w = y y = π 1 + x 2 1 dw (3) = 0 ® x = 0, w = max π dx
3. (1) 写出自由粒子的薛定谔方程； (2) 验证自由粒子波函数
2 π 2 n h2 证明： n = E 2 2 ma
π h [( n + 1 - n ] ) D E = E +1 - E = n n 2 2 ma 2 2 π h ( 2 + 1 n ) = 2 2 ma DE ( 2 + 1 n ) ® = 2 E n
7.当一维无限深势阱的宽度减小时，其能级间隔 变_________。 大 8.一切处于束缚态的微观粒子的能量具有一个 不连续 共同特点，即能量取值是___________的。 9.在没有外界力场作用的空间内，一个经典粒 0 子的最低能量为_______，而微观粒子与经典 大于 粒子不同，其最低能量________0。
) ì x ( x > 0 A. u = í ) î0 ( x £ 0 C. u = x
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）
ì1 - x 2 ( -1 £ x £ 1 ) B. u = í 是其它值 ) î0 ( x D. u = sin x
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h
5.量子力学的定态薛定谔方程就是哈密顿算符的 能量 本征方程。方程的本征值表示粒子的_______。
6.在一维无限深阱（0<x<L)中,当粒子处于y 1 ( n = 1) 状态时，发现粒子的几率最大的位置为x=______。 L/2
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a 2a A. 0 , , 3 3
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a a 5a B. , , 6 2 6
a 5a C. , 6 6
a D. 2
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8.微观粒子能够穿透大于其动能的势垒的现象， 叫做隧道效应，该效应可解释为（ ） A. 粒子从别处获得了能量 B. 粒子的动能具有不确定度 C. 在势垒内部存在一个隧道 D. 以上都不对 9.在量子力学中，一维谐振子的最低能量不等于 零，这是由于（） A. 谐振子的能量只能取离散的值 B. 微观粒子具有波粒二象性 C. 谐振子的势阱内存在一个隧道 D. 谐振子的能级是等间距的
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三、计算题
1. 已知某一微观粒子的基态波函数为 a x a j 0 ( x ) = e 2
2 2
π
求其在x轴上概率最大的位置。 2 a -a x e 解： w = j 0 ( x ) =
2 2
π dw - 2 3 x - a 2 x 2 a = 0 ® e = 0 dx π a ® x = 0 wmax = , π
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10.在量子力学中，电子自旋量子数 m s A. 只能取一个值 1 2 B. 只能取一个值 - 1 2 C. 只能取两个值 ± 1 2 D. 只能取两个值 ± 1
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6.微观粒子的定态是（
）
y ( x )
A. 势能是常数的状态 B. 势能不随时间变化的状态 o C. 动能和势能均为常数的状态 D. 总波函数不随时间变化的状态
a 3
2a a 3
x
7.粒子在一维矩形无限深势阱中运动，设已知粒子 处于某一能态，其波函数y(x)～x的分布如图所示, 那么，粒子出现的几率最大位置是（ ）。
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A 2.有一粒子沿x轴方向运动,其波函数为 ( x ) = y 1 + ix
(1)将此波函数归一化； (2)求出粒子按坐标的概率密度分布函数; (3)问在何处找到粒子的概率最大，为多少？
A y 解： (x)的共轭复数 y ( x ) = 1 - ix
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2
2 x
2 x 2
2 x
i - [ Et - ( xp x + yp y + zp )] z h
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4.设宽为a的一维无限深势阱中，可知粒子的基态 2 π sin x 试求粒子处于基态时 , 波函数 y ( x ) = a a a （1）粒子在 0 £ x £ 区间中出现的几率； 4 （2）粒子出现在 a/4处的几率密度； （3）在何处粒子出现的几率最大？ a a 2 2 π 2 4 4 解：(1) D = ò y ( x ) dx = ò sin xdx W 0 a 0 a 1 1 = = 9 1 . % 4 2 π
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10.描述原子中电子运动状态的四个量子数是 n l m m _____、____、_____、_____，它们分别对应电 s l 子的______________、________________、 主量子数 角量子数 __________________、_______________。 磁量子数 自旋磁量子数
4.设宽为a的一维无限深势阱中，可知粒子的基态 2 π sin x 试求粒子处于基态时 , 波函数 y ( x ) = a a a （1）粒子在 0 £ x £ 区间中出现的几率； 4 y ( x ) （2）粒子出现在 a/4处的几率密度； （3）在何处粒子出现的几率最大？ dW 2 1 ( 2 w = ) = y ( x ) x =a / 4 = x a a o dx a 2
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（二）填空
1.波函数本身不具有确定的物理意义，而 表示在 单位 t 时刻，在坐标为 x,y,z 处______体积内出现 概率密度 的_______，称为__________。 概率 r r 必须是_____、 _____、 _____的 2.波函数 y ( , t ) 单值 连续 有限 函数。上述条件为波函数的________ 条件。 标准
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2 2
2
2
7. 对应于氢原子中电子轨道运动，计算n=3时 氢原子可能具有的轨道角动量大小。
) 解： L = l ( l + 1 h （l = 0, 1, …… n­1）
由题意，当 n = 3, l = 0, 1, 2。相应的轨道角动 量大小分别为：
2
5.下列哪一项不是薛定谔方程的基本特点 A. 是关于时间的一次微分方程，只需一个初 始条件便足以确定其解 B. 包含一个i因子，因此满足此方程的波函数一 般是复函数 C. 非相对论的，不适合m=0的粒子 D. 仅适用于势能不随时间变化的状态
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h ¶ ¶ ¶ =( 2 + 2 + 2 ) 0 e y 2 ¶x ¶y ¶z m
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i - [ Et - ( xp x + yp y + zp )] z h
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h p + p + p =( ) 0 e y 2 m h 2 p = y ( x , y z , t ) , 2 m i - [ Et - ( xp x + yp y + zp )] z ¶ h h 右式 = i y 0 e ¶t i = ih( - E ) = Ey ( x y z t ) y , , , h 2 p 对于经典粒子，有 E = 2 m 所以 左式=右式