随机变量数学期望的求法及应用

题目: 随机变量数学期望的求法及应用

专业代码: 070101

作者姓名:

学号: 2006200829

单位: 2006级2班

指导教师:

2010年5 月20 日

原创性声明

本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.

目录

前言 (1)

第一章基础知识 (2)

1.1 数学期望的定义 (2)

1.2 数学期望的性质 (3)

第二章数学期望的求法 (3)

2.1 利用数学期望定义 (4)

2.2 利用数学期望的性质 (4)

2.3 利用特征函数 (5)

2.4 利用条件数学期望法 (6)

2.5 利用微分法 (7)

2.6 利用分布的对称性 (8)

2.7 利用递推法 (9)

第三章数学期望的应用 (10)

3.1 数学期望在生产和销售利润中的应用 (10)

3.2 数学期望在风险与决策中的应用 (12)

3.3 数学期望在物流管理中的应用 (14)

3.4 数学期望在民事纠纷、医学、体育中的应用 (17)

结束语 (20)

参考文献 (21)

致谢 (22)

摘要

概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律的数学学科.其中，数学期望反映的是随机变量取值的平均程度.通过举例对随机变量的数学期望的求法进行探究, 利用数学期望的定义、性质、公式、随机变量分布的对称性，以及特征函数等，给出了数学期望的几种计算方法，并在此基础上，探讨了数学期望在生产销售、风险决策、物流、民事纠纷、医疗卫生和体育等方面的应用，有利用于我们进一步了解随机变量数学期望的性质和应用.

关键词：随机变量；数学期望；分布；应用

Abstract

Probability theory and mathematical statistics is a subject which research the random phenomena and its statistical laws. Within, mathematical expectation reflecting the average value of the figure.Research the solution of mathematical expectation through the example, conducted by mathematical expectation definition, properties, formulas, random variable distribution of symmetry, and the characteristic function, and so on, give the calculation method of the mathematical expectation. And on this basis, discuss the application of mathematical expectation in production and marketing, risk management, logistics, civil disputes, medical and sporting, beneficial for us to gain a better understanding of the random variable mathematical expectation of the properties and applications.

Key words：random variable；mathematical expectation；distribution；application

随机变量数学期望的求法及应用

前 言

数学期望是随机变量的数学特征之一，反映随机变量平均取值的大小，又称期望或均值.它是简单算术平均的一种推广，在理论和实践中具有广泛的应用.本文总结随机变量、数学期望的有关性质，总结了计算数学期望的多种方法，给出了数学期望在经济活动与日常生活中的应用实例，以便使数学期望更好的与实际问题相结合.

定义1 设随机试验的样本空间为{}e S =，{}e X X =是定义在样本空间S 上的实值单值函数，称{}e X X =为随机变量.

定义2 随机变量全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量.

设离散型随机变量X 所有可能取的值为),2,1( =k x k ，X 取各个可能值的概率，即事件{}k x X =的概率，为

{} ,2,1,===k p x X P k k .

由概率的定义，k p 满足如下两个条件：

1' ;,2,1,0 =≥k p k

2' 11=∑∞

=k k p .

我们称{} ,2,1,===k p x X P k k 为离散型随机变量的分布律.

定义3 设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数

{}x X P x F ≤=)(

称为X 的分布函数.

如果对于X 的分布函数()F x ，存在非负函数)(x f ，使对于任意的实数x 有

dt t f x x F )()(⎰∞

-=， 则称X 为连续型随机变量，其中函数)(x f 称为X 的概率密度函数.

第一章 基础知识

1.1 数学期望的定义

设离散型随机变量X 的分布列为

{} ,2,1,===k p x X P k k .

若级数

∑∞=1

k k k p x

绝对收敛，则称级数∑∞

=1k k k p x 的和为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即

∑∞

==1)(k k k p x X E .

设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若积分

dx x xf )(⎰∞-∞

绝对收敛，则称dx x xf )(⎰∞

-∞的值为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即 dx x xf X E )()(⎰∞-∞=.