正项级数收敛性的判别法比较

一、引言 对于正项级数
∑a
n =1
∞
∑a
n =1 n
∞
n
的敛散性的判断就无能为力了。
∑n
n =1
∞
1
2
就是一个明
的敛散性的判定， 经常运用课本
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显的例子。 对于任意的等比级数
中所列举的比较判别法、 达朗贝尔判别法、 柯西判别法、 积 分判别法和拉贝判别法。其中达朗贝尔判别法、柯西判别 法、 拉贝判别法在其形式及证明上有诸多相似， 并且都存在 着自身的不足， 但它们的适用范围却是逐渐扩大的。 笔者从 这三种判别法出发， 探究产生缺陷的根本原因， 以待进一步 得到适用范围更广的新的判别法。 二、 探究达朗贝尔判别法、 拉贝判别法产生缺陷的根本 原因 首先看达朗贝尔判别法的极限形式， 当
∑ aq
n =1
∞
n
，其中 ０＜ｑ＜１，
aq n n2 = a lim = 2a ln q lim q n−1 = 0 n →∞ 1 n →∞ 1 n n →∞ ( ) n2 q lim
∴ａｑｎ（０＜ｑ＜１）收敛得快。
an +1 an 的极限值
1 n =1 n
∞
ｒ等于１时拉朗贝尔判别法就失效， 对于简单的级数，如 ∑
教育教学方法研究 ＪＩＡＯ ＹＵ ＪＩＡＯ ＸＵＥ ＦＡＮＧ ＦＡ ＹＡＮ ＪＩＵ
探究正项级数判敛法的强弱性
文 ／ 童 波
［摘 要］ 正项级数敛散性的判别法较多， 如运用较广的达朗贝尔判别法， 柯西判别法， 拉贝判别法。 本文主要从这 三种判别法入手， 探究导致失效及适用范围不同的原因， 以此能建立更好的判别法． ［关键词］ 正项级数 比较级数 速度
1 项 p n
却趋于零。
三、研究价值 要想得到适应性更强的比值判别法，需要继续选取一 类比较级数，它们在收敛时，比任何收敛的广义调和级数 ∞ ∞ 1 1 ( p > 1) 还要慢；发散时， 比 比调和级数 ∑ 还要慢。 p n n = n 1 n =1
∑ n(ln n)
n =1 ∞ n =1
∞
∑ n ln n(ln n)
∑n
n =1
∞
1
p
( p > 0) 来作为比较级数。
因为收敛级数的一般项必须趋于零，而 ａ ｎ ＜ ａ ｑ ｎ ，故说明
对于任何 ０＜ｑ＜１ 及任何，ｐ＞１ 考虑
∑ aq n
n n =1
∞
p
an → 0 比 aq n → 0 要快（或说至少不慢） 。 在这样的理
解下， 可以说， 级数
∞
∑a
n =1 n
1 (n + 1)2 =1 lim ，不能用达朗贝尔判别法。 此时 n →∞ 1 2 n ∞ 其次， 若 ｒ＞１， 给定的级数 ∑ an 的一般项不趋向零，
于是判断 ∑ an 发散。 可是如果给定的正项级数 ∑ an 虽
n =1 n =1 ∞ ∞ n =1 ∞
1 1 lim n + 1 = lim =1 n →∞ n →∞ 也不能用此法来判定， ． 1 1 1+ n n
我们就来分析一下产生这种缺陷的根源。通过达朗贝 尔判别法和柯西判别法的证明过程，知道这两者实质上是 用等比级数来同给定的级数进行比较。这里主要以达朗贝 尔判别法为例 （由于柯西判别法简单， 其比较级数是ｒｎ） 。 当 ｘ＜１ 时，给定的正项级数 等比级数
然发散， 但一般项趋于零。 这时， 达朗贝尔判别法对 也无能为力。
（１） β
∑a
n =1
∞
为正项级数，若
> 1 时，级数 ∑ an 收敛；（２） β < 1 时，级数
n =1
∞
∞
∑a
n =1
∞
n
发散。
极 限 形 式 设
n( lim ln n a
n →+∞
∑a
n =1
用选择级数作为 “比较标准” 的方法， 来建立对所有的正项 级数敛散性判别都有效的判别法是不可能的。 参考文献： ［１］华东师范大学数学系． 数学分析［Ｍ］． 北京：高等教育 出版社，１９９１． ［２］吉米多维奇． 数学分析习题集题解［Ｍ］ 济南：山东科学 技术出版社１９９９． ［３］董延闿． 级数［Ｍ］ 上海：上海科学技术出版社１９８２． ［４］张效先，等． 无穷级数［Ｍ］ 济南：山东教育出版社１９８２． v作者单位／江西南昌陆军学院科文教研室
n
为正项级数，且

an
− 1) − 1 = β n +1
科学时代・２００９ 年第 ０２ 期 ２０２
n =1
∞
1
p
中的一般项就比
1
p
收敛时要慢，发散时也慢，故利用 作为比较级数来建立的新判别法就比利
∑ n ln n(ln n)
用
1
p
∑
如可以考虑选择用
∑ n(ln n)
n =1
∞
1
∑ n(ln n)
n =1
∞
1
p
建立起来的适用范围要更广。 因此， 企图
p
来建立相应的新判别法：
n
定 理 设
1 β 1 an = 1+ + + o( ) 则 an+1 n n ln n n ln n ，
（１） β
> 1 时，级数 ∑ an 收敛；（２） β < 1 时，级数
n =1
∞
∑a
n =1
∞
n
发散。
的一般项在趋于零时要慢得多。此
四、结束语 但任何收敛的正项级数都存在着比它收敛得慢的正项 级数，任何发散的正项级数都存在着比它发散得慢的正项 级数。例如
外， 对于 0 <
广义调和级数虽然发散， 但它的一般 p ≤1，
∞
n
比某一收敛的等比级数
∑ aq
n =1
∞
n
Q 1 an+1 aq n+1 (n + 1) p lim = lim = lim q (1 + ) p = q < 1 n p n →∞ a n →∞ n →∞ aq n n n ∞
n p ∴ ∑ aq n 收敛 n =1
还要收敛的快一些（或说至少不慢） 。那么，反过来，如果 给定的正项级数
∑ n 就是一个明显的例子。
n =1
∞
1
∑a
n =1
n
∑a
n =1
∞
n
的一般项小于某一收敛的
∑ aq
n =1
∞
n
的对应项， 其中 a
=
与１之间的某一个实数， an
于是判断 ∑ an 收敛。 < aq n ，
n =1
aN rN
， ｑ是ｒ（０＜ｒ＜１）
∞
综上所述，凡是比任何收敛的等比级数收敛的速度都 慢的收敛正项级数以及一般项趋于零的发散的正项级数， 都不能用达朗贝尔判别法及其极限形式来判断其收敛或发 散。 可见， 用达朗贝尔判别法、 柯西判别法来判定级数收敛 的时候， 都受到几何级数收敛速度的严格限制。 再分析拉贝 判别法的证明过程，不难发现是用广义调和级数
∑a
n =1
虽然收敛， 但比任何收敛的等比级
数收敛得都要慢。这时，达朗贝尔判别法及其极限形式对
２０１ 科学时代・２００９ 年第 ０２ 期
ＫＥＸＵＥＳＨＩＤＡＩ
科学时代
∑ aq
n =1
∞
1 可见任何收敛的 ∑ p ( p > 1) 的一般项比任何收敛的 n =1 n
n
aq n lim =0 aq n n p = 0 ，即 n→0 1 ∴ lim n →∞ np ∞ (0 < q < 1)