水平井产量公式的推导与对比_陈元千

ｑｏｈ＝
０．５４３Ｋｈ ｈΔｐ
，
μｏＢ｛ｏ ｌｎ［ ａ＋!ａ２－（ Ｌ／２） ２ （／ Ｌ／２） ］ ＋（ ｈ／Ｌ） ｌｎ（ ｈ／２ｒｗ） ｝
（ ２２）
式中 ａ＝（ Ｌ／２）［ ０．５＋!０．２５＋（ ２ｒｅｈ／Ｌ） ４ ］ ０．５． （ ２３） 应当指出， 这里的（ ２３） 式， 是Ｊｏｓｈｉ［３］在设定水平井
底（ ｒｗ） 之间的总渗流阻力为
Ｒｔ＝Ｒ１＋Ｒ２ ．
（ １２）
将（ １０） 式和（ １１） 式代入（ １２） 式得
& % $ " $’ Ｒｔ＝
μｏＢｏ ２πＫｈ ｈ
ｌｎ
ｒｅｈ ｒｐｃｅ
＋
ｈ Ｌ
ｌｎ
ｈ ２ｒｗ
．
（ １３）
１．３ 水平井产量公式的建立
在稳定流条件下， 由达西定律和欧姆定律可以写
出水平井的产量与生产压差和渗流阻力的关系式
ｑｏｈ＝Δｐ／Ｒｔ ． 将（ １３） 式代入（ １４） 式， 得
（ １４）
ｑｏｈ＝ μｏＢ［ｏ
ｌｎ（
２πＫｈ ｈΔｐ ｒｅｈ／ｒｐｃｅ） ＋（ ｈ／Ｌ） ｌｎ（
ｈ／２ｒｗ） ］
．
将（ ６） 式代入（ ５） 式， 得
（ １５）
ａ＝Ｌ／４＋!（ Ｌ／４） ２＋ｒｅ２ｈ ． 由（ １６） 式得
（ １６）
ｒｅｈ＝!（ ａ－ Ｌ／４） ２－（ Ｌ／４） ２ ．
ｑｏｈ＝
０．５４３×１００×１８．２９×３．４４７
０．９×１．２ｌｎ ４５６．０２＋!４５６．０２２－（ ６０９．７６／２） ２ ＋ １８．２９ ｌｎ １８．２９
６０９．７６／２
６０９．７６ ２×０．０１９５
＝２ ８９０ ｍ３／ｄ．
将已知的各项参数数值代入（ ２４） 式， 得
ｑｏｈ＝
０．５４３×１００×１８．２９×３．４４７
ｌｎ
ｒｅｈ ｒｐｃｅ
．
（ １０）
从拟圆形生产坑道外缘半径（ ｒｐｃｅ） ， 到水平井生产
井底半径（ ｒｗ） 之间（ 图 ５） ， 围绕水平井段受 Ｌ 控制的
垂向平面径向流的渗流阻力
" $ Ｒ２＝
μｏＢｏ ２πＫｈ ｈ
ｌｎ
ｈ ２ｒｗ
．
（ １１）
因 此 ， 从 拟 圆 形 驱 动 边 界（ ｒｅｈ） ， 到 水 平 井 生 产 井
（ ５）
收稿日期： ２００７－ ０５－ ２１ 作者简介： 陈元千（ １９３３－ ） ， 男， 河南兰考人， 教授级高级工程师， 油气田开发，（ Ｔｅｌ） １３６５１１９９１０７．
第 ２９ 卷 第 １ 期
陈元千： 水平井产量公式的推导与对比
· ６９ ·
１．２ 水平井渗流阻力区的划分及渗流阻力表达式 根据上述对水平井渗流场的分布特征， 可相应地
２．１ 产量公式的对比
包括本文公式（ １９） 在内的５个水平井产量计算公
式， 以ＳＩ制矿场实用单位， 分别表示如下：
（ １） 本文公式
ｑｏｈ＝
０．５４３Ｋｈ ｈΔｐ
，（ ２０）
μｏＢ｛ｏ ｌｎ［ !（ ４ａ／Ｌ－ １） ２－ １ ］ ＋（ ｈ／Ｌ） ｌｎ（ ｈ／２ｒｗ） ｝
· ７０ ·
新疆石油地质
段 长 度 之 半（ Ｌ／２） ， 等 于 椭 圆 形 的 焦 距 之 半 ， 即 ， Ｌ／２＝
!ａ２－ ｂ２ ， 并与拟圆形驱动半径ｒｅｈ＝ !Ａ／π ＝ !ａｂ 联立
得到的结果。
（ ４） Ｇｉｇｅｒ－ Ｒｅｓｉｓ－ Ｊｏｕｒｄａｎ（ １９８４） 公式［４］
ｑｏｈ＝
０．５４３ＫｈｈΔｐ
．
μｏＢｏ｛ｌｎ［（１＋!１＋（０．５Ｌ／ｒｅｈ）２ ）／（０．５Ｌ／ｒｅｈ）］＋（ｈ／Ｌ）ｌｎ（ｈ／２πｒｗ）｝
绕水平井段的平面径向流（ 图 ５） ， 其半径为
ｒｂ＝ｈ／２．
（ ９）
的 基 本 概 念［１］， 在 稳 定 流 条 件 下 ， 由 拟 圆 形 驱 动 边 界
（ ｒｅｈ） 到拟生产坑道外缘半径（ ｒｐｃｅ） 之 间（ 图 ４） ， 受 厚 度
ｈ 控制的平面径向流的渗流阻力可写为
" # Ｒ１＝
μｏＢｏ ２πＫｈ ｈ
将（ ２６） 式代入（ ２５） 式， 得
ｑｏｈ＝
０．５４３Ｋｈ ｈΔｐ
．
μｏＢ｛ｏ ｌｎ［ （ ２ａ／Ｌ） ＋!（ ２ａ／Ｌ） ２－ １ ］ ＋（ ｈ／Ｌ） ｌｎ（ ｈ／２πｒｗ） ｝
（ ２７）
式中的 ａ 值， 据文献［ ５， ６］ 所示， 由 Ｊｏｓｈｉ 的 公 式 即 本
文（ ２３） 式计算。
由上述 ５ 位作者的公式对比可以看出，（ ２０） 式、
（ ６）
图 ４ 拟圆形驱动边界和拟圆形生产坑道
（ ２） 利 用 产 量 等 值 的 原 则［１］， 将 线 性 的 水 平 井 段
简化为拟圆形生产坑道（ 图 ４） ， 其坑道中心的圆形半
径为
ｒｐｃ＝Ｌ／Ｃ．
（ ７）
（ ７） 式中的 Ｃ 为将水平井的线性井段， 转变为拟
圆形生产坑道的转换常数。参考 Ｂｏｒｉｓｏｖ［２］和 Ｊｏｓｈｉ［３］的
（ １７）
将（ ８） 式和（ １７） 式代入（ １５） 式， 得
ｑｏｈ＝
２πＫｈ ｈΔｐ
．
μｏＢ｛ｏ ｌｎ［ !［（４ａ／Ｌ－ １）２－ １］／（１＋２ｈ／Ｌ）］ ＋（ｈ／Ｌ）ｌｎ（ ｈ／２ｒｗ） ｝
（ １８）
由于 ｈ(Ｌ， 故（ １＋２ｈ／Ｌ） )１， 于是（ １８） 式可以比较 准确地写为
ｑｏｈ＝
’% !) * & ( ｑｏｈ＝ ０．９×１．２
ｌｎ
０．５４３×１００×１８．２９×３．４４７
２×４５６．０２ ＋ ６０９．７６
２×４５６．０２ ６０９．７６
２
－１
＋
１８．２９ ６０９．７６
０．９×１．２ｌｎ １＋!１＋（ ０．５×６０９．７６／３９３．２５） ２ ＋ １８．２９ ｌｎ １８．２９
０．５×６０９．７６／３９３．２５ ６０９．７６ ２×π×０．０１９５
＝２ ６９５ ｍ３／ｄ．
将 已 知 的 各 项 参 数 数 值 和 由（ ２３） 式 计 算 的ａ 值
代入（ ２７） 式， 得
（ ２１） 式、（ ２２） 式、（ ２４） 式和（ ２７） 式， 其分母中的第 １ 项
和第 ２ 项是不尽相同的， 这是由于各公式的推导原理
和方法不同所致。
２．２ 产量公式的应用 由文献［ ６］ 的例题， 计算水平井产量的有关参数
数 值 为 ： Ａ ＝４８．５８３ ｈａ ＝４８５ ８３０ ｍ２； Ｌ ＝６０９．７６ ｍ； ｈ ＝ １８．２９ ｍ； Ｋｈ ＝Ｋｖ ＝１００ ×１０ －３μｍ２； Ｂｏ ＝１．２０ Ｒｍ３／ＳＴｍ３； μｏ ＝ ０．９０ ｍＰａ·ｓ； ｐｅ＝２０．６８４ ＭＰａ； ｐｗｆ＝１０．３４２ ＭＰａ； Δｐ＝３．４４７ ＭＰａ； ｒｗ＝０．０９１ ５ ｍ， 现利用上述 ５ 位作者的不同公式， 计算水平井的产量。
＋
１８．２９ ６０９．７６
ｌｎ
１８．２９ ２×π×０．０９１５
＝３ ０１５ ｍ３／ｄ．
将 Ｌ和ｒｅｈ 的数值代入（ ２３） 式， 得
ａ＝（ ６０９．７６／２）［ ０．５＋!０．２５＋（ ２×３９３．２５／６０９．７６） ４ ］ ０．５
＝４５６．０２ ｍ．
再将该 ａ 值和其他已知的各项参数数值代入
（ ２２） 式得
０．５４３×１００×１８．２９×３．４４７
２
４×５７４．２０ － １ ６０９．７６
－１
＋ １８．２９ ｌｎ １８．２９ ６０９．７６ ２×０．０１９５
＝２ ９１９ ｍ３／ｄ．
将已知的各项参数数值代入（ ２１） 式， 得
% & ｑｏｈ＝ ０．９×１．２
０．５４３×１００×１８．２９×３．４４７
ｌｎ
４×３９３．２５ ６０９．７６
将Ａ的数值代入（ ６） 式， 得
ｒｅｈ＝!４８５８３０／π＝３９３．２５ ｍ． 将Ａ和Ｌ的数值代入（ １６） 式， 得
ａ＝６０９．７６／４＋!（ ６０９．７６／４） ２＋（ ３９３．２５） ２ ＝５７４．２０ ｍ．
将已知的各项参数数值代入（ ２０） 式， 得
’%!# $ & ( ｑｏｈ＝ ０．９×１．２ ｌｎ
２００８ 年
式中 ａ＝Ｌ／４＋!（ Ｌ／４） ２＋ｒｅ２ｈ ． （ ２） Ｂｏｒｉｓｏｖ（ １９６４） 公式［２］
ｑｏｈ＝ μｏＢ［ｏ
ｌｎ（
０．５４３Ｋｈ ｈΔｐ ４ｒｅｈ／Ｌ） ＋（ ｈ／Ｌ） ｌｎ（
ｈ／２πｒｗ） ］
．
（ ２１）
式中 ｒｅｈ＝!Ａ／π （ ３） Ｊｏｓｈ（ｉ １９８８） 公式［３］
钻入油层中央的水平井横 向剖面图， 油层的厚度为 ｈ， 水平井段长度为 Ｌ． 同时， 在 图 １ 上还标注了沿水平井 井 段 的 ＡＡ＇ 水 平 面 位 置 和 垂直于水平井 ＢＢ＇ 垂直剖面位置。 在水平井稳定生产的条件下， 图 ２ 描述了水平井 在图 １ 的 ＡＡ＇ 水平剖面（ ｘｙ） 的渗流场分布； 图 ３ 描述 了水平井在图 １ 的 ＢＢ＇ 垂直剖面 （ ｘ， ｚ） 的渗流场分 布。由图 ２ 和图 ３ 可以看出， 在稳定流的条件下， 在水 平井的椭圆形驱动面积内， 流体在地层内的渗流场， 由平面与垂向两部分连续的渗流场组成。
的长度转变为拟圆形生产坑道， 同时， 利用水电相似原理的等值渗流阻力法， 得到了一个新的计算水平井产量的公
式。通过 ５ 个公式的对比和应用表明， 该公式是实用和有效的。
关键词： 水平井； 产量公式； 推导； 对比； 应用
中图分类号： ＴＥ３１３．８
文献标识码： Ａ
１ 水平井产量公式的 推导
１．１ 水平井的渗流场分布 在图 １ 上绘出了一口
划分出两个既不相同而又连续的渗流阻力区， 即 ｘｙ 平面上的外部阻力区和 ｘｚ 垂面上的内部阻力区。为 便于理论上的表达和推导， 本文先作如下等值的简化 处理。
（ １） 将 椭 圆 形 驱 动 边 界 ， 按 面 积 等 值 的 原 则 ， 简 化为拟圆形驱动边界（ 图 ４） ， 并表示为
ｒｅｈ＝!Ａ／π ．
２πＫｈ ｈΔｐ
．（ １９）
μｏＢ｛ｏ ｌｎ［ !（ ４ａ／Ｌ－ １） ２－ １ ］ ＋（ ｈ／Ｌ） ｌｎ（ ｈ／２ｒｗ） ｝
在（ １９） 式中各物理量参数的单位， 均为由ＳＩ制基
本单位表示。
２ 水平井产量公式的对比与应用
图 ５ 围绕水平井井段的垂向平面径向流
基于上述的简化处理研究， 利用水电相似原理的 达西定律和欧姆定律， 以及等值渗流阻力和生产坑道
第 ２９ 卷 第 １ 期 ２００８ 年 ２ 月
新新 疆疆 石石 油油 地地 质质 ＸＩＮＪＩＡＮＧ ＰＥＴＲＯＬＥＵＭ ＧＥＯＬＯＧＹ
Ｖｏｌ． ２２９０， ０Ｎ８ｏ．年１ Ｆｅｂ． ２００８
文章编号： １００１－ ３８７３（ ２００８） ０１－ ００６８－ ０３
水平井产量公式的推导与对比
陈元千
（ 中国石油 石油勘探开发科学研究院， 北京 １０００８３）
图 １ 钻入油层中间的水平井横剖面
由图 ２ 表示的椭圆形驱动边界， 驱动面积 Ａ 与 长轴半长 ａ 和短轴半长 ｂ 之间的关系， 根据平面解析
图 ２ 在椭圆形驱动边界内流向水平井的渗流场
图 ３ 在水平井井段ｂ．
（ １）
当在椭圆形驱动面积内存在水平井段时， ａ、ｂ 和
研究成果， Ｃ 值可取为 ４． 即 Ｌ／４ 的长度作为拟圆形生
产坑道中心的半径。由于生产坑道空间自身的圆形半
径为 ｈ／２（ 图 ３） ， 因此， 圆形生产坑道的外缘半径应为
ｒｐｃｅ＝Ｌ／４＋ｈ／２．
（ ８）
（ ３） 从拟生产坑道外缘半径（ ｒｐｃｅ） ， 流向生产井底
（ ｒｗ） 的流动， 为在油层厚度 ｈ 的空间高度上， 垂直并围
摘 要： 水平井是提高油井产量的一个重要工具。目前， 计算水平井产量常用的公式有： Ｂｏｒｉｓｏｖ 公式、Ｊｏｓｈｉ 公式、Ｇｉｇｅｒ
等人公式和 Ｒｅｎａｒｄ－ Ｄｕｐｕｙ 公式。基于 Ｊｏｓｈｉ 和 Ｇｉｇｅｒ 对水平井产量公式的研究思路， 利用面积等值的拟圆形驱动半径
和产量等值的拟圆形生产坑道的物理概念， 前者是把椭圆形的驱动边界转变为拟圆形驱动边界， 后者是把水平井段
（ ２４）
式中的 ｒｅｈ 由（ ６） 式计算。 （ ５） Ｒｅｎａｒｄ－ Ｄｕｐｕｙ（ １９９１） 公式［５］
ｑｏｈ＝ μｏＢ［ｏ
ｃｏｓｈ－（１
０．５４３Ｋｈ ｈΔｐ ２ａ／Ｌ） ＋（ ｈ／Ｌ） ｌｎ（
ｈ／２πｒｗ） ］
．
（ ２５）
当２ａ／Ｌ≥１时，（ ２５） 式分母中的反双曲余弦函数
可表示为
ｃｏｓｈ－（１ ２ａ／Ｌ） ＝ｌｎ［ （ ２ａ／Ｌ） ＋!（ ２ａ／Ｌ） ２－ １ ］ ． （ ２６）
Ｌ 的关系为
ａ＝Ｌ／２＋ｂ．
（ ２）
将（ ２） 式代入（ １） 式， 得
ｂ２＋（ Ｌ／２） ｂ－ Ａ／π＝０．
（ ３）
由（ ３） 式看出， 这是一个一元二次方程式， 其解为
ｂ＝－（ Ｌ／４） ＋!（ Ｌ／４） ２＋Ａ／π ．
（ ４）
再将（ ４） 式代入（ ２） 式， 得
ａ＝Ｌ／４＋!（ Ｌ／４） ２＋Ａ／π ．