动量守恒定律中的共速模型 2

动量守恒定律中的“共V 模型”

力的观点、动量的观点、能量的观点是力学问题分析中总的思路，通过对多过程问题受力分析抓住特殊状态及状态之间的相互联系，利用动量和能量的解决问题，可以避开中间的的复杂问题。在动量守恒定律的应用中，两物体相互作用后以相同的速度运动即“共V 模型”的题目出现的频率很高，在这里将这类问题做简单的归纳。

对于“共V 模型”中通常是围绕能量的转化为主线，下面分别从以下几个方面加以分析说明。

1．动能转化为内能

这一类型的问题主要是物体之间存在相对滑动或物体间的完全非弹性碰撞，通过滑动摩擦力做功实现了能量的转化。

例1．如图1所示，质量为M 的足够长木板置于光滑水平地面上，一质量为m 的木块以水平初速度0v 滑上长木板，已知木块与木板之间的摩擦因数为μ，求：

（1）m 的最终速度v ；

（2）m 与M 相对滑动产生的焦耳热Q ； （3）m 在M 上相对滑动的距离L 。

分析：m 与M 之间速度不同，必然存在相对运动，在相互的摩擦力作用下m 减速而M 加速，当两者速度相同时无相对运动达共速，所以m 的最终速度v 即为两者的共同速度共V 。对m 、M 整体分析知，系统所受合外力为零，动量守恒，既然两者出现共速，动能必然要减少，从能量守恒的角度看，减少的动能转化为内能产生焦耳热。产生的热就其原因看是由于两者的相互摩擦，所以可以利用摩擦力产生热的特点即相对滑动S f Q ⋅=得解。

解：（1）对m 、M 组成系统受力分析知，其合外力为零，由动量守恒得 v M m mv )(0+= ○1 得：M

m mv v +=0

○2

（2）对系统由能量守恒得产生焦耳热 220)(2

1

21v M m mv Q +-=

○

3 得： 由○2、○3解得 )

(220

M m mMv Q += ○4

（3）由滑动摩擦力生热特点得 L mg L f Q ⋅=⋅=μ ○5

得： 解得 )

(22

M m g Mv L +=μ ○6

变式题1-1．如图1-1所示，在光滑水平面上一质量为m 的物块以初速度0v 与质量为M 的物块发生碰撞后粘在一起，则在两物块碰撞过程中产生的焦耳热Q 为多少？

分析：两物块发生碰撞后“粘在一起”，即碰撞后一共同速度运动，典型的“共V 模型”。象这类问题属于完全

非弹性碰撞，其处理方法大都是采用动量和能量的观点加以分析。 答案： )

(22

M m mMv Q +=

2．动能转化为弹性势能

例2．如图2所示，一轻弹簧两端连接质量分别为m 、M 的两滑块，整个装置置于光滑水平面，弹簧处于自由伸长状态，现给m 一水平向右的初速度0v ，求弹簧的最大弹性势能P E 。

分析：对m 、M 及弹簧组成系统分析受力知，系统的合外力为零，对m 、M 的运动情况分析知，弹簧的弹性势能取得最大值，也即弹簧被压缩到最短时，此时m 、M 共速。显然，由动量守恒及能量守恒可解此题。

解：对m 、M 及轻弹簧组成系统分析知，系统动量守恒 v M m mv )(0+= ○1 得： M

m mv v +=

○2

对系统由能量守恒得弹簧的最大弹性势能 220)(2

1

21v M m mv E P +-=

○

3 得： 由○2、○3解得 )

(22

M m mMv E P += ○4

变式题2-1．如图2-1所示，一轻弹簧两端连接质量分别为m 、M 的两滑块，整个装置置于光滑水平面，弹簧处于自由伸长状态，现给m 一水平向左的初速度0v ，求弹簧的最大弹性势能P E 。

解（略）

变式题2-2．如图2-2所示，，质量分别为M 和m 的两物块用轻弹簧连接，静止

在光滑水平面上，且此时弹簧处于自由伸长状态，若一质量为m 0的子弹以水平初速度射入m 中未穿出，求

（1）弹簧的最大弹性势能； （2）系统产生焦耳热。 解（略）

3．动能转化为重力势能

例3．如图3所示，在光滑水平面上放置一质量为M 的足够长的光滑曲面，现有一质量为m 的小球以初速度0v 冲上曲面，则小球能够达到的最大高度h 为多少？并讨论小球返回曲面左端时的速度？

分析：在m 冲上曲面的过程中，对m 、M 组成系统分析受力知，在水平方向合外力为零，可利用水平方向动量守恒，当m 不具有竖直方向速度，即竖直速度为零时，M 、m 在水平方向上共速，整个过程中系统减少的动能转化为m 的重力势能。

解：对系统由水平方向动量守恒得 v M m mv )(0+= ○1

得 当m 到达最大高度时与M 具有的共同水平速度 M

m mv v +=0

○2

又 整个系统机械能守恒 得 220)(2

1

21v M m mv mgh +-=

○

3 得 联立解得 )

(22

M m g Mv h += ○4

变式题3-1．如图所示，质量为M 的小车A 置于水平光滑的轨道上，其下端通过质量可忽略的绳将质量为m 的货物B 悬挂在空中，系统处于静止状态。若突然给A 一水平向右的初速度0v ，求货物B 能摆起的最大高度。

解（略）

变式题3-2．如图所示，质量均为M 的两相同的小车A 、B 置于光滑水平面上，在B 上固定一直角支架，支架的末端通过一细绳悬挂质量为m 的小球C ，不计直角支架及细绳的质量，若给A 一水平初速度0v 向右运动，且A 、B 碰撞后粘在一起，求小球C 摆过的最大高度h 。

解（略）

4．动能转化为电势能

例4．如图所示，质量分别为m A 、m B 的带同种电荷的小球A 、B 置于光滑绝缘的水平面上，现A 球具有水平初速度0v 向B 球运动，若A 、B 始终不相碰，则在A 、B 靠近的过程中，系统转化的电势能的最大值m ε。

分析：A 、B 系统所受的合外力为零，显然要考虑动量守恒定律，要出现电势能最大，只有在A 、B 出现共速之时，因为A 、B 共速时A 、B 系统减少的动能最多，故用动量守恒找到共速时的，再利用能量守恒，找到减少的动能也即转化的最大电势能。

解：对A 、B 组成系统分析知，系统动量守恒 v m m v m B A A )(0+= ○1 得： B

A A m m v m v +=0

○2

对系统由能量守恒得 最大电势能22

0)(2

121v m m v m B A A m +-=

ε ○

3 得： 由○2、○3解得 )

(22

B A B A m m m v m m +=ε ○4

变式题4-1．如图所示，质量分别为m A 、m B 的带异种电荷的小球A 、B 置于光滑绝缘的水平面上，现A 球具有水平初速度0v 背离B 球运动，则在A 、B 远离的过程中，系统转化的电势能的最大值m ε。解（略）

通过以上几种情况的分析讨论可以看出，题目中如果出现了诸如“粘在一起”、“未穿出”、“最长”、“最短”、“最远”、“最近”、“最高”等关键词，其所处的状态通常都是在共速之时。反过来，如果题目中需要求解当其达到共速的情景，则需分析是否存在“粘在一起”、“未穿出”、“最长”、“最短”、“最远”、“最近”、“最高”等关键词。分析出相应的状态，将其归纳为“共V 模型”，用“共V 模型”的分析方法基本上就成了一种固定的模式。