数项级数敛散性判别法(总结)

华北水利水电学院
数项级数敛散性判别法。

（总结）
课程名称：高等数学（下）
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2012年5月18日
摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。

但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。

有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。

但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。

所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。

关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。

英文题目
Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them.
Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment.
引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。

并总结出判断敛散性的一般思维过程。

以下介绍相关定义及定理
一、常数项级数的概念 定义：无穷多常数项累加求和
...............4321++++=∑a a a a a
n
常见的几类重要的常数项级数
正项级数：级数中所有项均大于等于零。

交错级数：级数中的项正负相间的级数。

等比级数
∑=++++++n n aq aq aq aq aq a (32)
调和级数
P--级数
在以下的判别中这几类级数将会有重要的运用
二、相关定理
定理一：如果0
lim ≠∞
→n n a ，则可判断该级数一定不收敛。

111123n
+++
++11n n
∞
==∑1111123p p p p n
+++++11p
n n
∞
==∑
定理二、等比级数判别法：)
0(1
1
≠∑∞
=-a ar
n n
当1<r 时，级数收敛； （2）当1≥r 时，级数发散
定理三、--p 级数判别法：)0(1
1>∑∞
=p n n p
(1)当10≤<p 时，级数发散 (2)当1>p 时，级数收敛
注：调和级数是特出的p 级数，这时p=1。

定理四、设∑n u 与∑n v 是两个正项级数，若
当n n v u ≤且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛； 当n n u v ≤且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散；
定理五、（极限形式）若∑n u
为正项级数，且lim q
u u n n =+1
则
(1)当1<q 时，级数∑n u 也收敛；
(2)当1>q 时，或+∞=q 时，级数∑n u 发散；
注：当1=q 时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，
因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数∑21n 与∑
n 1
，它
们的比式极限都是1lim
1=+∞→n n n u u 但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的.
注：对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时，需要构造一个级数，这个构造的过程就要求我们对一些常用的有特殊性质的级数有所了解。

例如：调和级数，等比级数，p 级数。

比较法虽然简单，但是需要构造新级数，所以比较麻烦。

以下介绍一种方法用于自身比较。

定理六、（极限形式）若
∑n
u 为正项级数，且1
lim =∞
→n n n u 则
(1)当1<l 时，级数收敛 (2)当1>l 时，级数发散
注：当1=l 时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，
级数∑21n 与∑n 1，二者都有1lim =∞n n
n u ，但∑21n 是收敛的，而∑n 1
是发散的.但∑21n 是收敛的，而∑n
1
是发散的.
定理七、 若交错级数n
n n u ∑∞
=--1
1
)
1(满足：
（1）),2,1(1 =≥+n u u n n ； （2）
lim =+∞
→n n u ．
则交错级数收敛
绝对收敛与条件收敛
对于一般项级数,21 ++++n u u u 其各项为任意实数，若级数
∑∞
=1
n n
u
各项的绝对值所构成的正项级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则称级数
∑∞
=1
n n
u
绝对
收敛；若级数∑∞
=1
n n
u
收敛，而级数
∑∞
=1
n n
u
发散，则称级数
∑∞
=1
n n
u
条件收敛．易
知21
1
1)
1(n n n ∑∞
=--是绝对收敛级数，而n n n 1)1(11∑∞
=--是条件收敛级数．
定理八、 若
∑∞
=1
n n
u
收敛，则
∑∞
=1
n n
u
必收敛．
对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数，可以通过取绝对值，转换为正项级数后，再利用定理八，进行判断。

以下介绍一种通过积分判断的方法。

此方法的特点是利用非负函数的
单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。

定理九 设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则正项级数∑)(n f 与反常
积分⎰
+∞1
)(dx
x f 同时收敛或同时发散。

证明：由假设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则对任何正数A ，)(x f 在
[1，A]上可积，从而有
⎰
--≤≤n
n n f dx x f n f 1
)
1()()(， ,3,2=n
依次相加，得
∑⎰
∑∑-====-≤≤11
1
2
2
)
()1()()(m n m
m
n m
n n f n f dx x f n f
若反常积分收敛，则对m ∀，有 ⎰
⎰∑+∞=+≤+≤=1
1
1
)()1()()1()(dx
x f f dx x f f n f S m
m
n m 。

于是，知 级数
∑)(n f 收敛。

反之，若级数∑)(n f 收敛，则对任意正整数)1(>m ，有
∑∑⎰
=≤=≤-=-S
n f n f S dx x f m n m m
)()()(11
11。

又因)(x f 为[),1+∞上非负减函数，故对任何1>A ，有 S
S dx x f n A
<≤≤⎰1
)(0, 1+≤≤n A n 。

故知，反常积分⎰
+∞
1
)(dx
x f 收敛。

同理可证它们同时发散。

三、以下给出例题做具体分析
例题1、判断级数∑
∞
=+11100n n n
是否收敛
解：0
1001
1100lim
≠=+∞→n n n ，所以此级数发散。

但是当0lim =∞→n n u 时，不能判断该级数是否收敛。

例如∑∞
=11n n 。

因此0lim =∞
→n n u 只是一个必要条件，而非充分条件。

例题2、0>k ,且∑∞
=1
2
n n
a 收敛,证明k n a n
n n
+-∑∞
=21
)1(绝对收敛?
(此题正是利用了比较法,轻松地证明了此题.)
解：)1
(2
2
212k n a k
n a n n ++
≤+
又
∑∞
=12
n n
a 、∑∞
=+12
1n k
n 收敛,则
k n a n
n +∑
∞
=21
收敛,
故k n a n
n n
+-∑∞
=21
)1(绝对收敛.
例题3、 判别级数∑∞
=+⋅1)1ln 1(n n n n 的敛散性.
解：利用不等式x x <ln 有
11
11ln 11ln 1+⋅-<+⋅-=+⋅=
n n n n n n n n u n
因为∑∞
=+⋅1)111(n n n 收敛,故∑∞=+⋅1)1ln 1(n n n n 收敛.
例题4 、断调和级数1111123n n ==++++∑∞
1
……n 的敛散性。

解 因为 1111123n n ==++++∑∞
1
……n 可以按如下加括号，得，级数
....
)161
15114113112111110191()81716151()4131()211(++++++++++++++++
而上述加括号后的级数的各项大于级数
(21)
2121.......)161161161161161161161161()81818181()4141(21+++=+++++++++++++++
的对应项，又后一级数112n =∑∞
是发散的，所以原调和级数11n n =∑∞
是发散的。

注:在级数敛散性判断时，对于某些一般项处理起来比较困难时，可以通过合并或拆分来使一般项变得方便处理。

例题5、判断级数∑∞
=12
2sin n n n 是否收敛
解：因2221
sin n n n ≤，且∑∞=121n n 为p=2时的p 级数，此级数收敛。

所以
∑∞=122sin n n n 也收敛。

注：如果级数中不是所有的项都满足n n u v ≤，而是从有限项开始才满足。

也可以用比较法判断敛散性。

因为改变级数的前有限项不改变级数的敛散性。

例题6、 证明级数
+++++
!1
!31!211n
收敛．
证 n n u n ⨯⨯⨯⨯== 3211!1满足121!10-<<n n ，而11)21(-∞
=∑n n 是等比级数)121
(<=q ，由比较判别法可知，级数∑∞
=1!1n n 收敛．
本题应用比较法虽然可以解决，但是比较繁琐。

以下用比值法解该题。

解法二、因
1
lim lim
1==∞→+∞→n a a n n
n n ，所以判断该级数收敛。

例题7、 判别级数
∑n 1
sin
的敛散性
解：它不是等比级数也不是--p 级数，也无法用比式判别法和根式判
别法来解题。

由于 1
11sin lim
=∞
→n
n n ，根据比较原则，及调和级数∑
n 1发
散，所以级数
∑n 1
sin
也发散.
注：这是比较法的极限形势。

是比较法的更深度的运用。

例题8、 判断正项级数∑∞
=1
31
sin
n n n 的敛散性．
解 因为 )
3131
1(lim 31sin 31sin
)1(lim lim 111n n n n
n n n
n n n
n n n u u
++∞→++∞
→++∞→⋅+=+=
131
1lim 31<=+=
+∞→n n n ，所以该级数收敛．
注：本题是比值法的应用，从中可以看出，比值法是通过比值的方法消去某些因子，以达到简化运算的目的。

所以运用比值法时，应注意观察通过比值能否消去某些项，能否达到简化的目的。

例题9、 判断级数
∑∞
=+1121n n
的敛散性． 解 因为n n 211210<+< ，而12121<=n n
，所以∑∞
=121n n 收敛．再根据比较
判别法，原级数
∑∞
=+1121
n n
收敛． 注：本题是比较法和根植法的联合应用，所以有时应用单一的方法无法解决某些问题时，可以应用多种方法，逐步达到简化的目的。

例题10、 设0
>n a ，且a
a n n =+∞
→lim ，试判断级数)
0()(
1
>∑∞
=x a x n
n n
的敛
散性．
解 因为
n
n n
n n n
a x a x a x =<)(
,)(
0，而
a x
a x a x n n n n =
=+∞→+∞→1lim lim
；所以，根据根值判别法有
（1）当a x <时，级数收敛； （2）当a x >时，级数发散；
（3）当a x =时，级数可能收敛也可能发散．
注：根植法对于处理通项中罕有n 次方的级数时，有着特别方便的应用。

例题11、 判断级数 +-+-+-
-!1
)1(!31!2111n n 的敛散性.
解 因为（1）1)!1(1!1+=+>=
n n u n n u ),2,1( =n ；
（2）0!1lim
lim ==+∞→+∞
→n u n n n ．
所以它是收敛的．
例题12、 判断级数∑∞
=12
sin n n nx
的敛散性．
解 因为 2
21
sin n n nx ≤． 而级数∑∞
=121n n 收敛．由比较判别法知，级数∑
∞
=1
2sin n n nx 收敛，所以级数∑∞
=12sin n n nx
绝对收敛．
例题13、 证明级数
+--++-+-=-----∞
=-∑1
111
1
212)1(8745231212)1(n n n n n n n
绝对收敛．
证 因为 121212212lim lim
11
<=-+=-+∞→++∞→n n n n n n n n u u ，根据比值判别法，级数 ∑∑∞
=-∞=-=111212n n n n n u 收敛，从而，此交错级数绝对收敛． 例题14、判断级数∑∞=11n p n 的敛散性。

解：此题为p 级数，但是也可以用积分判断法解决。

函数()p x x f 1
=，当0>p 时在[]+∞,1上是非负减函数。

知道反常积分
⎰+∞
1p x dx 在1>p 时收敛，1≤p 时发散．故由定理4得∑p x 1去当1>p 时收敛，当10≤<p 时发散。

至于0≤p 的情形，则可由定理12.1推论知道它也是发散的。

四、 结束语：在以上的例题中，可以看出，每一个题，可能有多种方法处理。

但是总有一种比较适合且简便的方法。

而且不同的方法有不同的适用范围。

在某些领域可能有着特别方便的应用，但是在另一些领域内可能毫无用处。

所以我们需要选择合适的方法。

对于有些题目，可能需要多种方法共同处理。

对于正项级数首先观察其通项是否趣于零，如果通项不趣于零，则级数发散。

如果通项趣于零，可根据级数通项的特点，考虑用比较审敛法、比值审敛法或根值审敛法。

如果不是正项级数，可以通过加绝对值使其变为正项级数。

参考文献
[1]华东师范大学数学系编《数学分析》（第三版）北京大学高等教育出版社，1991
[2]《数学分析习题解析》下册，陕西师范大学出版社，1993。