固体物理阎守胜第一章_金属自由电子气体模型

费 米 球
费米面： 费米能， 费米动量， 费米速度， 费米温度
2 kF EF 2m 2
pF kF
vF
kF m
TF
EF kB
由于
N 2
1 4 3 V 4 3 kF 2 3 kF k 3 8 3
N k 3 3 2 n V
3 F 2
自由电子气体模型中仅有的一个独立参量：
0.1nm
能态密度：单位体积，单位能量间隔内包含自旋的电子态数。 能量 d 电子态数为
V dN Vg ( )d 2 3 4 k 2 dk 8
(1.1.9)
g ( )
1

2
3 1/ 2 (2 m ) 3
( )1/ 2
电子的能态密度并不是均匀分布的，电子能量越高能态密度越大 则费米面处的能态密度为 单电子的平均能量可写为
亦可写为
u u0 g ( EF )(k BT )2 6
2
5 T 2 或 u u0 1 2 12 TF
2
电子比热
T 2 2 u CV kB g ( EF )T nkB 3 2 TF T n
•所处地位
《固体物理》是光信息科学与技术专业的专 业必修课（2.5学分，48个学时），以高等数学、 普通物理、统计物理和量子力学为基础，学习和 掌握固体电子学的基本概念、方法及其应用对光 信息科学与技术专业的学生是极其重要的。
•考核评价方式
1. 课后习题是必不可少的环节。 2. 考核方式以闭卷考试为主，结合平时成绩 （作业和出勤等）。 3. 成绩评定法：平时和半期考占40%，期末考 占60% 。 4. 试卷题型 判断题、填空、简答及计算综合题等。
忽略电子和电子间的相互作用
讨论输运现象时引进弛豫时间近似。
1.1.1 单电子本征态和本征能量
温度T=0，体积V=L3内的N个自由电子 •独立电子近似使N个电子的问题转化为单电子问题。 单电子的状态用波函数 (r ) 描述，则其满足的不含时 薛定谔方程为：
2 2 2m V (r ) (r ) E (r )
2. 对于电子受到的散射或碰撞，简单地用弛豫时间 描述。在dt时间内，电子受到碰撞的几率为 dt / ， 大体
相当于相继两次散射间的平均时间。
在外加电场E情况下，自由电子的运动满足含时 薛定谔方程
2 2 e (r , t ) i (r , t ) 2m
(1.1.3)
•自由电子近似使 V (r ) 为常数势，可简单地取为零。 则方程（1.1.3）成为：

2
2m
2 (r ) E (r )
(1.1.4)
方程（1.1.4）有平面波解
(r ) Ceik
r
由于波函数满足归一化条件，即

则 本征能量
V
(r ) dr 1
r
2
1 ik k (r ) e V
其中 是与电场相联系的标量势。仅在粒子动能较大，外 场变化缓慢的时候，过渡到经典情形，这相当于方程取波包 解，波包中心的坐标和动量的变化满足经典的运动方程，可 在不违背不确定原理的前提下，足够精确地给出电子的坐标 和动量。
坐标的不确定度程度
x
p
1 rs kF
rs
当外场变化比较缓慢，即 且平均自由程 l
电子密度n（单位体积中的平均电子数）。
Z m 23 Z m （1.1.1） n NA 6.022 10 A A
将每个电子平均占据的体积等效成球，用球的 半径 rs 来表示电子密度的大小。
1 V 4 3 rs n N 3
3 rs 4 n
1/ 3
•Why?
主要的研究对象，即晶体材料、陶瓷（多晶） 材料，非晶材料、玻璃等构成我们生活的主题， 至少是我们日常生活所涉及材料的主题。这些材 料所具有的性质，所呈现的现象对我们来说非常 重要，同样也非常有意义。
“More is different”——P.W.Anderson
支配固体中粒子运动的是量子力学，但是， 多体运动常常导致出人意料的结果，这些结果从 单粒子特性出发常常难以想象。
典型现象：
固体导电性（固体有的是导体，有的是绝缘体或 半导体？）；金刚石、石墨的硬度比较
固体中的电子态能够相互耦合呈现磁性？
固体作为整体具有一些特性——刚性，弹性模量等。 固体中大量粒子集体运动： 声波，振动格波的量子化（声子） 导电性，以及更典型的现象超导电性（电阻为0 的导电行为），超导电性是由于电子运动和声子 运动耦合的结果。
2 ki ni (i x, y, z ) L
k空间中的态密度
1 V k 8 3
（1.1.17）
在k空间中，电子态的分布是均匀的，分布密度 只与金属的体积有关。
1.1.2 基态和基态的能量
电子填充：泡利不相容原理，一个k态可有2个电子 单电子能级的能量比例于波矢的平方 总的导电电子数N数目很大

当T 0 时
1, i lim f (i ) T 0 0, i
此时 i EF
f(E)
lim E F
T 0
T＝0
1
1 f ( EF ) 2
0
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EF
其物理意义是：电子占据几率为1/2时所对应的能量即为费 米能。 当T 0 时, 若i 几个 kBT
Sommerfeld的自由电子模型
电子在一有限深度的方势阱中运
动，电子间的相互作用忽略不计；
电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统计； 电子的填充满足Pauli不相容原理； 电子在运动中存在一定的散射机制。
1.1 模型及基态性质
•两个基本假定：
1. 自由电子近似：忽略电子和离子实之间的相互作用； 2. 独立电子近似（单电子近似）：
这是一个非常复杂的多体问题。严格按照量子力 学出发无法求解。 要求解这个问题，解释固体的各种特性，我们还 需要更多的近似，构建更简单的模型。 本书从最简单的金属自由电子气体模型开始讲述。
（选用该模型的理由？金属，自由电子气体）
1900年，Drude提出经典的金属自由电子气体模型（气体 分子运动论）； 1928年，索末菲发展了量子的金属自由电子气体模型（将 费米-狄拉克统计用于电子气体）。
几个kBT
e(i ) / kBT
若i 几个 kBT
1 1
f (i ) 0
e(i ) / kBT
f (i ) 1
1.2.1 化学势随温度的变化
对于自由气体
u EF
2
k BT 104
12 EF
2
室温下，化学势u与EF很接近，故常将其称为费米能量。
•How?
理论方法：凝聚态理论和计算物理 实验方法： X-ray衍射、中子散射、 SEM&TEM、STM 、 电子态研究、表面研究 etc.
从STM得到的硅晶体 表面的原子结构图
•培养目标
固体是一个非常复杂的客体，我们所要面对的 是和现象有关的物理和电子学方面的问题，理论上 则面对具体的体系和问题，抓住物理过程的主要方 面，构建简化模型（建模的重要性）来处理。在这 一点上，清晰的物理图像以及直觉和想象力是至关 重要的。因此，本课程为培养学生学会科学的抽象、 假设以及数学演绎等方面提供了良好的平台。创造 力的培养是我们教学的最重要的目的和要求。
k2 E (k ) 2m
2
皆与波矢有关
p k
p k v m m
Born-von Karman边界条件
( x, y, z ) ( x L, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y L, z ) ( x, y, z ) ( x, y, z L)
rs 时，
电子的行为可视为经典。
对于可见光 100nm
常温下 l 10nm
rs 0.1nm
准经典模型
在完全经典的模型中，电子的速度取平均热运动速度
2 vth kBT / m
2 费米统计法的应用，导致vth 为 vF 所替代，vF 2EF / m
对外场作用下的电子，采用经典的处理方法，但取为 其平均速度的做法，称为准经典模型。
固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚 性的物质，包括晶体、准晶体和非晶态固体。 固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子 组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何 形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的 具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动 形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探 索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。
CV CVe CVl T T 3
1.3 泡利顺磁性
电子具有大小为一个玻尔磁子的磁矩
B
e 9.27 1024 A m 2 2m E
B=0 -B EF
B
B=0时，M=0
g(E)/2
0
g(E)/2
没有磁场时两种自旋的电子的能量分布
B 0时，自旋磁矩在磁场中的取向能：
B平行于B： －BB B反平行于B： ＋ BB
E
B
B －B
－B
E EF
B
B
BB
N(E)/2
BB
N(E)/2
g(E)/2
－BB
－BB
g(E)/2
发生磁矩反转的电子数为
每反转一个电子，沿磁场方向磁矩改变 2B ，产生 的总磁矩为 2 M B g ( EF ) B 相应的磁化率（泡利顺磁磁化率）为
T
仅费米面附近电子对比热有贡献
在室温附近，电子比热和离子实系统比热之间的比 为： CVe 2 Z T CVl 6 TF 由于 TF
T ，所以 CVe
CVl 。
故在常温下可以不必考虑电子热容量的贡献。 在低温下，离子实系统（晶格）比热按 T 3急剧下降， 最终在10K左右或更低温度下会小于电子比热。低温下 金属的总比热可写为：
《固体物理基础》第三版 阎守胜编著 北京大学出版社
•What?
研究固体中的电子与组成固体的粒子之间的相 互作用与运动规律以及阐明其性质与用途的科学。 电子理论、晶格理论、晶格与电子的相互作用 和固体物理分论这四部分构成了固体物理的骨架。 本门课的内容对固体物理的每一部分基本上都有所 涉及，但把重点放在了电子理论这块。
0 M
B
2 0 B g ( EF )
1 B Bg ( E F ) 2
仅费米面附近小部分电子对泡利顺磁磁化率有贡献
泡利顺磁性的作用？（P14）
1.4 电场中的自由电子
为解释金属的输运性质，Drude经典模型假定： 1. 电子会受到散射，或经受碰撞。碰撞是瞬时事件，
效果一是突然地改变电子的速度，在相继两次碰撞间， 电子直线运动，遵从牛顿定律；二是使电子达到与环境 的热平衡，不管碰前如何，碰后电子速度无规取向，其 数值大小的分布与该处温度相平衡。碰撞处温度较高， 碰后电子的速度亦较高。
第一章 金属自由电子气体模型
引言
固体是由大量的原子组成的复杂体系。对其进行 研究，首当其冲的是建立正确的简化模型。 首先作第一步近似：把组成固体的原子看成离子实 （原子核和芯电子）和价电子（原子外层结合能低的电 子）组成。
只作上面的近似，我们依然无法处理一块固体这么大的体系。 1023个原子 1023个离子实 1023个或更多电子
mk F 3n g ( F ) 2 2 2 F

N
g ( )d / g ( )d
0 0
F
F
或

N

3 EF 5
简并性：
量子力学中简并性：能量简并性；
金属自由电子气体的简并性：统计的简并性，即指金
属自由电子气与理想气体遵从的统计规律的差异性。
在Ｔ＝０时，金属自由电子气体是完全简并的， 在室温下（ T
TF ），电子气体是高度简并的。
1.2 自由电子气体的热性质
温度T>0时，电子在本征态上的分布由费米-狄拉克分 布函数给出
f (i )
1 e
( i ) / k BT
1
其中f (i ) 是电子占据本征态的几率，物理意义是能量为 i 的一个量子态被电子所占据的几率。 是系统的化学势,其物理意义是在体积不变的情况 下，系 统增加一个电子所需的自由能。