线性规划中的参数问题

线性规划中的参数问题

例1.(2006年重庆卷文16)已知变量x ，y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪

+-≥⎨⎪-≤⎩

.若目标函数z ax y =+（其中

0a >）仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为.

变式1：(2006年湖北卷理9)已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部以及边界 组成.若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值，则m =( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．4

变式2：（2013年浙江卷理13）设y kx z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ，若z 的最大值为12，

则实数=k ________.

变式3： (2008年安徽卷理15)若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪

≥⎨⎪-≤⎩

表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1

时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为.

变式4：(2009年安徽卷理7)若不等式组0

3434

x x y x y ≥⎧⎪

+≥⎨⎪+≤⎩

所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等

的两部分，则k 的值是( ) A.

37B.73C.34D.4

3 变式5：(2009年山东卷理12)设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪

-+≥⎨⎪≥≥⎩

若目标函数(0,z ax by a b =+＞＞0)

的最大值为12，则23

a b +的最小值为( )

A.256

B.8

3 C.113 D.4

变式6：（2014年福建卷文11）已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70

300x y x y y +-≤⎧⎪

Ω=-+≥⎨⎪≥⎩

，

若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则2

2

a b +的最大值为（ ）

A.5

B.29

C.37

D.49

例2。(2008年陕西卷理10)已知实数x y ，满足121y y x x y m ≥⎧⎪

≤-⎨⎪+≤⎩

,如果目标函数z x y =-的最小值为1-，

则实数m 等于（ ） A ．7B ．5C ．4D ．3

变式1：（2012年福建卷文10）若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m

的最大值为（ ）

A ．1-

B ．1

C ．

2

3

D ．2 变式2：(2009年福建卷文9)在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪

-≤⎨⎪-+≥⎩

（α为常数）所表示的

平面区域内的面积等于2，则a 的值为( )

A. -5

B. 1

C. 2

D. 3

变式3：（2007年浙江卷理17）设m 为实数，若{}

22

250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫

-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪

+≥⎩⎩⎭

，，，

则m 的取值范围是．

变式4：(2006年广东卷理9)在约束条件⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4

200

x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大

值的变化范围是( )

A. ]15,6[

B. ]15,7[

C. ]8,6[

D. ]8,7[

例3.（2014年全国1卷文11）设x ，y 满足约束条件,

1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩

且z x ay =+的最小值为7，

则a =（ ）

A.-5

B.3

C.-5或3

D.5或-3

变式：(2011年湖南卷理7)设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪

≤⎨⎪+≤⎩

下，目标函数z x my =+的最大值小于2，

则m 的取值范围为（ ）

A ．(1,12)+

B ．(12,)++∞

C ．(1,3)

D ．(3,)+∞

巩固练习

1. (2008年山东卷理12)设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪

-+⎨⎪+-⎩，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数

(01)x y a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ）

A ．[13]，

B ．[210]，

C ．[29]，

D ．[109]，

2. (2009年陕西卷理11)若,x y 满足约束条件1

122x y x y x y +≥⎧⎪

-≥-⎨⎪-≤⎩

，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取

得最小值，则a 的取值范围是( )

A.（1-，2 ）

B.（4-，2 ）

C.(4,0]-

D.(2,4)-

3. (2014年安徽卷理5)y x ,满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一．．．

， 则实数a 的值为（ ） A.

12

1

-或 B.212或 C.2或1 D.12-或

4. （2014年山东卷文10） 已知,x y 满足约束条件10

230

x y x y --≤⎧⎨

--≥⎩，当目标函数z ax by =+

(0,0)a b >>

在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ）

5.（2007年北京卷理6）若不等式组220x y x y y x y a

-≥0⎧⎪+≤⎪

⎨≥⎪⎪+≤⎩，，，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围

是（ ）

A ．43a ≥

B ．01a <≤

C ．413a ≤≤

D ．01a <≤或4

3

a ≥ 6. (2010年浙江卷理7)若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪

--≤⎨⎪-+≥⎩

且x y +的最大值为9，

则实数m =（ ）

A.2-

B.1-

C.1

D.2

7. (2013年北京卷理8)设关于,x y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪

+<⎨⎪->⎩

表示的平面区域内存在点()00,P x y ，

满足0022x y -=，求得m 的取值范围是()

A.4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭

B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭

C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭

D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭

线性规划中的参数问题

例1.(2006年重庆卷文16)已知变量x ，y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪

+-≥⎨⎪-≤⎩

.若目标函数z ax y =+（其中

0a >）仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取

值范

围为.

解：画出可行域如图所示，其中B （3，0）， C （1，1），D （0，1），若目标函数z ax y =+取 得最大值，必在B ，C ，D 三点处取得，故有