微波技术矩形波导中电磁波的通解要点

j 0 H z Ex TE H y 2 kc y j 0 H z Ey TE H x 2
(3 34a)
(3 34b)
进一步对Hz分离变量，令 H z ( x, y) X ( x)Y ( y) (3 55) 代入（3-54），得
d 2 X ( x) d 2Y ( y ) 2 Y ( y) X ( x ) k c X ( x)Y ( y ) 0 2 2 dx dy 除以 X ( x)Y ( y) 得 1 d 2 X ( x) 1 d 2Y ( y ) 2 k c 2 2 X ( x) d x Y ( y) d y
Ex ( x, y, z) TE H y ( x, y) e
j z
j 0 H 0 n m n j z cos( x ) sin( y ) e kc2 b a b
(3 65d )'
E y ( x, y, z) TE H x ( x, y)e j z
思考题: 2-4, 2-7
第三节 矩形波导中电磁波的通解
矩形波导取坐标系如图。 考虑无限长均匀无介质情况， 假定波导内壁为理想导体 ， 求其中导行波解的具体形式。 波导内只能传输TE波和 TM波，不能传输TEM波。
y b a z x
一、矩形波导中TE波的场方程 TE波（H波）：Ez=0，Hz 0 。 已求出了沿 z 方向传输的TE波的分布函数表达 式(用纵向分量表示横向分量)：
j 0 H 0 m m n j z sin( x ) cos( y ) e kc2 a a b (3 65e)'
Ez ( x, y, z) 02 cຫໍສະໝຸດ (3 65 f )'
波导内壁为理想导体 ，其边界条件是所有内壁上的 电场切向分量均为零。
Ex Ex
代入（3-58）得
0 sin 2 0 或 2 0 n sin k 2b 0 k 2 0 sin( k2b 2 ) 0 b y b n (0, 1, 2,) (3 63b) Ey 0 sin 1 0 或1 0 m x 0 sin k1a 0 k1 a Ey 0 sin( k1a 1 ) 0 x a m (0, 1, 2,) (3 63d )
y 0
(k )
2 c mn
m n a b
2
2
(m, n 0, 1, 2,)
(3 64)
m、n 不得同时为零。
H0由端接条件确定，因(3-61)各场分量均含有H0 ， 故H0的大小并不影响场的分布形状。这样，可得TE波 的全部时谐场分量
j H 0 m m n j z H x ( x, y , z ) sin( x ) cos( y ) e kc2 a a b (3 65a)'
j H 0 n m n j z H y ( x, y , z ) cos( x) sin( y )e (3 65b)' 2 kc b a b m n H z ( x, y, z ) H 0 cos( x)cos( y )e j z (3 65c)' a b
故而必须分别为常数。令
(3 56)
k c2 为常量，等式左边为两个互不相关的独立变量之和，
1 d 2 X ( x) 2 k 1 , 2 X ( x) d x 1 d 2Y ( y ) 2 k 2 2 Y ( y) d y (3 57)
2 得 k12 k2 kc2
(3 58)
代入(3-57)得 2 d X ( x) 2 k (3 59a) 1 X ( x) 0 2 dx d 2Y ( y ) 2 k2 Y ( y) 0 (3 59b) 2 dy 为二阶常微分方程，其通解为：
X ( x) A cos(k1 x 1 ) Y ( y) B cos(k2 y 2 )
E x TE H y j 2 TE k 2 H 0 cos( k1 x 1 ) sin( k 2 y 2 ) (3 61d ) kc E y TE H x j 2 TE k1 H 0 sin( k1 x 1 ) cos( k 2 y 2 ) (3 61e) kc 0 其中 TE Ez 0 (3 61 f )
(3 60a) (3 60b)
代入(3-55)得:
H z ( x, y) H 0 cos(k1 x 1 )cos(k2 y 2 )
H0=AB、k1、k2、1、2 均为待定常数, 可由边界 条件求出。
把 H z ( x, y) H 0 cos(k1 x 1 )cos(k2 y 2 ) 代入 (3 34) 得 j H x 2 k1 H 0 sin( k1 x 1 ) cos( k 2 y 2 ) (3 61a) kc j H y 2 k 2 H 0 cos( k1 x 1 ) sin( k 2 y 2 ) (3 61b) kc H z H 0 cos(k1 x 1 )cos(k2 y 2 ) (3 61c)
kc x j H z Hx 2 (3 34c) kc x j H z Hy 2 (3 34d ) kc y 0 其中 TE ， 而Hz(x, y) 可由方程（3-54）求出。
2 2 2 ( 2 2 ) H z ( x, y ) k c H z ( x, y ) 0 x y (3 54)