有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵

1
1

这是一次杆单元的单刚阵，它对 称、对角线元素大于零且奇异！
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时， 其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：
ke
GJ l
1 1
1
1

Mn i(1)
Mn l
ξ j(2) x
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
所以，几何矩阵为 B 1 l 1 l
单元应力为 E
D E 弹性矩阵
单元刚度矩阵通式为 k e BT DBdV
k e AlBT DBdx
V
AlBT DB
代入，得

EA 1 l 1
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用，
将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元 形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。
●一次杆单元 单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,采用局部
坐标 ，记 x l，并取i为x坐标的原点，则有
一、形状函数类型及其特征
在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设 适应满足的4项原则。
●包含单元的刚体位移 ●包含单元的常应变状态 ●保证不偏惠各坐标轴 ●保证单元内位移连续
体现位移函数完备性 体现位移函数几何不变性 体现位移函数协调性
一、形状函数类型及其特征
要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项 式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元
u1
所以单元内点位移为
u(ห้องสมุดไป่ตู้) N1
N2
N
3
u2

单元应变
u3


1 dN1
l

d
dN2
d
dN1
d

uu12 u3


B

e
几何矩阵为
B

1 l

(41
一、形状函数类型及其特征
1.Langrange型形状函数，这时节点广义位移为节 点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、 单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数 在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之 确定。
2.Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点 位移和节点位移导数。
F i(1)
Fξ j(2) x
l
0
1
x xi x xj
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是 描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。 对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点 间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算 （二点一次拉氏插值），即
得 N1 1; N2 2
u(x) 1
2
uu12



du dx

du
d
d
dx
1 du
l d

1 l

dN1
d
11 l
1uu12


B

e
dN2
d

uu12

二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元
u(x)

(
x (
l
2 l
)(x )(l)
l
)
u1

(
x

0)(x l(l )

l 2
)
u2

(
x (l
0)(x )( l )
l)
u3
2
2
22
令 N1 (2 1)( 1) 212 1 N2 2 2 222 2 N3 4 (1 ) 412

1)
(42 1)
(41 42 )
二、一维单元及其单元刚度阵
有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单 元内用较简单的函数描述单元位移，即
u~(x) m Ni (x)qi i 1
这是对单元位移u(x)的近似。在前面两章的介绍 中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内 点位移，这里所用的变量qi，是节点位移的一种推 广，即一组广义坐标，或称广义节点位移，包括节 点位移和节点位移导数。Ni为形状函数。根据单元 广义节点位移的不同，形状函数分两类：Langrange 和Hermite型。
N1 (l x) l; N2 x l
u

x 0
l l
u1

x0 l 0
u2

u

N1
N2
uu12

二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
代入 ，有
令 1 1 ; 2
所以单元内点位移为
单元应变
N1 1 ; N2
Ni Xi 1
Ni X j 0
m
2. Ni Xi 1
i 1
3.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续
工程4实.保际证中所有定一义种位结移构函，数特反征映为常：应存变在状一态个长维，但 相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可 以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类 结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同， 一维单元又可分为杆单元和梁单元。
1.杆单元
●二次杆单元 单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j,
三个节点依次为1、3、2。单元位移可以根据抛物 线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即
同样令
0
1
x xi x xj
1 1 ; 2
F
Fξ
i(1)
(3)
l
j(2) x
二、一维单元及其单元刚度阵
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
一、形状函数类型及其特征
1.Langrange型形状函数
2.Hermite型形状函数
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
2.三次梁单元
三、二维单元及其单元刚度阵
1.三角形单元
2.矩形单元
四、三维单元及其单元刚度阵
1.六面体单元
2.四面体单元
3.曲线等参元
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
二维单元的帕斯卡三角形
1
x
y
x2
xy
y2
x3
x2 y
xy 2
y3
一、形状函数类型及其特征
1
x
y
三
z
维 的
x2
xy
y2
帕
zx
yz
斯
z2
卡
x3
x2 y
xy 2
y3
三
zx 2
xyz
y2z
角
z2x
yz 2
形
z3
一、形状函数类型及其特征
形状函数应该满足以下条件
1.
Ni
X
l


1 0
l i l i