运筹学第二章-线性规划

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线性规划问题的数学模型
5. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件：
am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
x1 0 xn 0
x1， x2≥0
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线性规划问题的数学模型
例1.3 已知资料如下表所示， 问如何安排生产才能使利润 最大？
设备
产品
AB C
Ⅰ
214
利润
D （元）
02
Ⅱ
220 4 3
有 效 台 时 12 8 16 12
解：
1.决策变量：设产品I、II的产量
分别为 x1、x2
2.目标函数：设总利润为z，则 有： max z = 2 x1 + 3x2
量分别为：x1、x2 、x3 、x4
2.目标函数：设总成本为z
min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4 3.约束条件：
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160
要求：生产A种药物至少160
单位；B种药物恰好200单位，
C种药物不超过180单位，且
使原202料0/6/1总2 成本最小。
n
简写为： max(min)Z cj xj j1
n
aij xj ( ) bi (i 1 2 m)
j1
xj 0
(j 1 2 n)
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线性规划问题的数学模型
向量形式： max(min)z CX
pj xj
( ) B
X 0
其中： C(c1 c2cn)
x1
X
x n
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2x1
+4 x3 +2 x4 ＝200
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4 ≤180
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
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线性规划问题的数学模型
例1.5 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线 的货运量、货运成本如下表所示：
航线号
船队 类型
1 1
2
3 2
4
拖轮
1 1 2 1
编队形式 A型 驳船 2 — 2 —
线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
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线性规划问题的数学模型
Chapter2 线性规划及单纯形法
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
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线性规划问题的数学模型
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
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线性规划问题的数学模型
4. 建模步骤
(1) 确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。一般 情况下，题目问什么就设什么为决策变量； (2) 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束； (3) 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是max 还是 min。
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解： 设：xj为第j号类型船队的队数（j = 1，2，3，4），
z 为总货运成本 则： min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4
x1 + x2 + 2x3 + x4 ≤ 30
2x1
+ 2x3
≤ 34
4x2 + 4x3 + 4x4 ≤ 52
25x1+20x2
＝200
40x3+20x4 ＝400
3.约束条件：
2x1 + 2x2 ≤ 12
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
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线性规划问题的数学模型
例1.4 某厂生产三种药物， 这些药物可以从四种不同的 原料中提取。下表给出了单 位原料可提取的药物量
解：
1.决策变量：设四种原料的使用
B型 驳船 —
4 4 4
货运成本 （千元／队）
36 36 72 27
货运量 （千吨）
25 20 40 20
船只种类 拖轮 A型驳船 B型驳船
船只数
30 34 52
航线号
1 2
合同货运量
200 400
问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？
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P
j
a
1j
a mj
b1
B
b m
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线性规划问题的数学模型
矩阵形式：
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
x
va2x2x a dv 0 dx
2 ( a 2 x )x ( 2 ) ( a 2 x ) 2 0
x a 6
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线性规划问题的数学模型
例1.2 某厂生产两种产品， 下表给出了单位产品所需资 源及单位产品利润
项目
Ⅰ
设备 A（h） 0
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线性规划问题的数学模型
3. 建模条件
(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值（max 或 min）来表示；
(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够 用决策变量的线性等式或线性不等式表示；
(3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找 出最优方案。
设备 B（h） 6
调试工序（h） 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
解：
1.决策变量：设产品I、II的产量
分别为 x1、x2
2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2
3.约束条件：
5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5
xj ≥ 0 （ j = 1,2,3,4）
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线性规划问题的数学模型
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划Βιβλιοθήκη Baidu型？
其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。