西工大线性系统理论第四章

研究实现问题，能深刻揭示系统的内部结构特性，便于分
析与计算系统的运动，便于在状态空间对系统进行综合， 便于对系统进行计算机仿真，在理论和应用上均具有重要
意义。
线性系统理论
§4.1 实现问题基本概念
§4.2
范型实现
传递函数矩阵的能控规范性和能观测规 最小实现及其特性
多变量系统最小实现的求法
§4.3
§4.4
s3 G2 ( s) ( s 1)( s 2)
s 4 s 1
线性系统理论
解：G1 ( s ) 为单输入—双输入情况，b 为一列，C 为两行，
A 由 D(s) 确定。
0 s3 1 G1 ( s) 3( s 2) 1 ( s 1)( s 2)
cx
q ,0 q ,1
Ax Bu （4.14）
（4.15）
线性系统理论
于是便确定了 G(s) 的实现 ( A, b, C, d ) ，该实现一定能观
测，但不一定能控。
例4.1 试求传递函数矩阵 G1 ( s )(G2 ( s )) 的能控规范型 （能观测规范型）实现。
s3 ( s 1)( s 2) G1 ( s) s4 s 1
故其能控规范型实现为：
0 x Ax bu 2 3 y Cx du 6 1 0 x u 3 1 1 0 x u 3 1
线性系统理论
第四章 传递函数矩阵的状态空间实现
由传递函数矩阵确定对应的状态空间方程称为实现。
在1.2节已经研究了将单输入-单输出系统的外部描述（系
统传递函数）化为状态空间描述的问题，并导出了能观测
规范型、能控规范型、A为对角型和约当型等四种典型的 状态空间方程，这便是传递函数的实现。
线性系统理论
本章研究多变量系统传递函数矩阵的实现理论和一般方法。
线性系统理论
所谓维数最小的实现，是指A的维数最小，从而也使B，C，
D的维数最小，它能以最简单的状态空间结构去获得等价
的外部传递特性。无疑，最小实现问题中是最为重要的。 如果已经确定某真实系统是能控且能观测的，则在该
G s 的众多实现方式中，唯有最小实现才是真实系统的状
态空间结构。 为了有助于理解多变量系统 G s 的实现问题，看下面两 个引例。
（4.2）
d G ( s )（4.3）

线性系统理论
gi ( s) 为严格真有理分 式中g i ( s )为真有理分式；d i 为常数；
式。真传递函数矩阵 G(s) 的实现问题就是寻求 ( A, b, C, d )
问题，严格真传递函数矩阵 G( s) 的实现问题就是寻求


( A, b, C ) 问题。故不失一般性，研究实现问题可从 G( s) 的 实现入手。
线性系统理论
4.1 实现问题基本概念
实现的定义
给定线性定常系统的传递函数矩阵 G s
寻求一个状态空间描述
x Ax Bu, y Cx Du
使
C ( sI A) 1 B D G ( s)
则称此状态空间描述是给定传递函数矩阵 G s 的一个实现，
简称
( A B C是D) G 的一个实现。 s
d G( s)

线性系统理论
同理，取 gi ( s ) 的最小公分母且记为 D(s) ，可得 G( s)的 一般形式为 1 n1 n1 G( s) s s s q ,1s q ,0 1,n1 1,1 1,0 q ,n1 D( s ) （4.13） 考虑到多输入—单输出情况，输入矩阵有p列，输出矩阵 1 只有一行，据p个子系统传递函数的公共部分 写出 D( s) 能观测规范型 ( A, c) 是方便的，且写不出能控规范型实现。
动态方程，必含有不能控或/和不能观测的状态变量。
线性系统理论
(a)
(b)
(c)
图4.2 引例2 的三种实现
线性系统理论
下面来研究多变量系统的能控类和能观测类的典型实
现方法，进而讨论最小实现的特性和寻求最小实现的方法。
线性系统理论
4.2 传递函数矩阵的能控规范性和能观测规范型
实现
就单输入—多输出、多输入—单输出、多输入—多输 出系统的情况分别进行研究。
的，但不一定能观测。注意到上述实现是由单输入—多输
出系统的能控规范性实现推广而来的。
线性系统理论
二.多输入—单输出系统传递函数矩阵的实现
多输入—单输出系统的结构见图4.4，含p个子系统：
yi ( s ) g i ( s )u ( s )
i 1,2,
,p
（4.10）
图4.4 多单输入—单输出系统结构
y1 ( s) 1 g11 ( s) u1 ( s) s 1
线性系统理论
y1 ( s) 1 2 g12 ( s) u2 (s) s 1 s 2 g21 ( s) y2 ( s) 1 1 u1 ( s) s 1 s 3
y2 ( s) 1 g22 ( s) u2 ( s) s 3
线性系统理论
系统输出为诸子系统输出之和，即
y ( s) g1 ( s)u1 ( s) [ g1 ( s) G ( s)u ( s)
g p ( s)u p ( s) g p ( s)][u1 ( s) u p ( s)]T
（4.11）
其中 G(s) 为一行，其展开式为 G( s) d1 g1 ( s) d p g p ( s) （4.12）
线性系统理论
若令
x1 z, x2 z,
, xn z ( n1)
（4.7）
可列出该系统的能控规范性状态方程，它对q个子系统是
同一的。考虑到单输入—多输出情况，输入矩阵只有一列， 输出矩阵则有q行，故据
D ( s) 诸系数写出能控规范性
( A, b) 是方便的，且写不出能观测规范型实现。故式(4.6)的 实现为 0 I n1 0 （4.8） x u Ax bu x a1 an1 1 a0
取 gi ( s ) 的最小公分母且记为 D(s) ，有
D( s) s n an1s n1 a1s a0



（4.4）
线性系统理论
则 G( s) 的一般形式为

1,n1s n1 1,1s 1,0 1 （4.5） G( s) D( s ) q ,n1s n1 q ,1s q ,0 1 式中 是q个子系统传递函数的公共部分。对 G( s) 作 D( s) 串联分解，并引入中间变量 z ( s) ，便有： 1 （4.6） z ( s) u ( s) D( s )
线性系统理论
诸子系统的输出 yi ( s ) 均可表示为及其各阶倒数的线性组合，
其向量—矩阵形式为
1,0 y q ,0
1,1 q ,1
x q ,n1
1,n1
Cx
（4.9）
于是便确定了 G(s) 的实现 ( A, b, C, d )。该实现是一定能控
线性系统理论
( A B C D) 故G s 的实现具有非唯一性，且有无穷多种实现方式，某
特定实现称的一个实现。
在众多实现中，能控类和能观测类是最常见的典型实 现方式，这时，所寻求的 不但能满足传递
函数矩阵关系式，且是 ( A B) 能控或是 ( A C)能观测的。
由于这类典型实现本身已经从某个方面揭示了系统的内部 结构特性，于是更容易过渡到寻求 G s 的维数最小的实现 问题。
线性系统理论
进一步将两条支路并为一条，最终得结构图4.2(c)，这时
仅含一个积分环节。从传递特性等同的观点看，上述三种
结构均能导出给定的 G s ，但A阵的维数却不相同，显然 图4.2(c)维数最小，结构最简单。计算G s 的次数可
n 1 ，表征了最小实现的维数。由图4.2(a)和(b)列出 知，
线性系统理论
1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 A 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 B 0 0 1 0 0 1 1 0 0
线性系统理论
引例1
设双输入-双输出系统传递函数矩阵 G s 为 1 2 s 1 ( s 1)( s 2) G( s) 1 1 ( s 1)( s 3) s3
若将 G s 中的四个传递函数看作四个单变量子系统的传递 函数，即
线性系统理论
图4.1 引例1 G s 诸元的单变量系统实现
线性系统理论
其实现的状态变量图见图4.1。其动态方程为
x1 x1 u1 , x2 2 x2 x3 , x3 x3 u2 x4 3x4 u2 , x5 3x5 x6 , x6 x6 u1 y x 2x , y x x 2 2 4 5 1 1 A、B、C、D分别为
1 2 0 0 0 0 C 0 0 0 1 1 0
0 0 D 0 0
线性系统理论
所以矩阵A为6维。但经计算， G s 得次数 n 4 。由多变
量系统能控能观测的充要条件可知，能控且能观测的状态
空间实现的A阵应为 n 维，故以上按单变量系统实现诸元 传递函数的方式，使( A, B, C )的维数增高，导致结构复杂
线性系统理论
以上定义表明，实现问题的实质就是已知系统的外部
描述，去寻求一个与外部描述等同的假想的状态空间结构。