郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第3章 傅里叶变换 【圣才出品】

第3章傅里叶变换[视频讲解]

3.1本章要点详解

本章要点

■周期信号的傅里叶级数分析

■典型周期信号的傅里叶级数

■傅里叶变换

■典型非周期信号的傅里叶变换

■冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

■傅里叶变换的基本性质

■卷积特性

■周期信号的傅里叶变换

■抽样信号的傅里叶变换

■抽样定理

重难点导学

一、引言

傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题又称为傅里叶分析（频域分析）。

频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而引出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。

二、周期信号的傅里叶级数分析

1．三角函数形式的傅里叶级数

（1）三角函数集

是一个完备的正交函数集，其中t 在一个周期内，n ＝

0，1，···，∞。

（2）级数形式

周期函数()f t 可以由三角函数的线性组合来表示。若()f t 的周期为1T ，角频率为11

2T πω=，频率为111f T =，则傅里叶级数展开表达式为0111121210111()cos()sin()cos(2)sin(2)...

[cos()sin()]

n n n f t a a t b t a t b t a a n t b n t ωωωωωω∞

==+++++=++∑其中，直流分量为

010

011()t T t a f t dt T +=?

余弦分量的幅度为

01011

2()cos()t T n t a f t n t dt T ω+=?正弦分量的幅度为01011

2()sin()t T n t b f t n t dt T ω+

=?其中

。（3）其他形式

余弦形式为正弦形式为

满足狄里赫利条件的周期信号才能进行傅里叶级数展开。任何周期信号只要满足狄里赫利条件就可以分解成直流分量及许多正弦、余弦分量。

2．指数形式的傅里叶级数

（1）复指数正交函数集

（2）级数形式

（3）系数

0110

11()t T jn t n t F f t e dt T ω+-=?

3．两种系数之间的关系及频谱图

（1）系数关系

（2）幅频、相频关系

幅频关系

相频关系

（3）频谱图

4．总结

（1）周期信号f(t)的傅里叶级数形式有两种：

①三角函数形式

②指数形式

（2）两种频谱图的关系

（3）三个性质：收敛性、谐波性、唯一性。

（4）引入负频率：对于双边谱，负频率只有数学意义，没有物理意义。5．函数的对称性与傅里叶级数的关系