最新浅谈数学课堂的“牛鼻子”——例题精编版

2020年浅谈数学课堂的“牛鼻子”——例

题精编版

浅谈数学课堂的“牛鼻子”——例题

例题教学是数学课堂教学的重要组成部分，是对所学知识进一步深化，同时对技巧的运用进行示范，把数学知识、解题技能和思想方法联系起来，并最终转化为能力。其质量的高低直接影响学生对数学基础知识和基本技能的掌握，同时也影响学生对基本思想的感悟和基本活动经验的积累，从而影响学生运用数学知识解决实际问题的能力。因此，把握住例题的精髓，彰显解题思路和方法上的典型性和代表性，由知识转化为能力上的示范性和启发性，应该成为初中数学教学的中心。

一、精导---揭示本质

例1 若代数式x 2+2x-3可以表示为(x+1)2+m(x+1)+n 的形式，则m-n 的值

是 .

问题1：问题中要求什么？（可以分别求出m 、n , 也可以直接求m-n 。）

问题2：如果分别求m 、n ，这里的m 、n 可以看成什么？（ m 、n 是待定系数，可以看成未知数，关键是要得到关于m 、n 的二元一次方程组。）

问题3：如何得到关于m 、n 的二元一次方程组？（把条件“代数式x 2+2x-3可以表示为(x+1)2+m(x+1)+n 的形式”理解为“x 2+2x-3=(x+1)2+m(x+1)+n ”。将(x+1)2+m(x+1)+n

展开整理得x 2+(2+m)x+1+m+n ，所以x 2+(2+m)x+1+m+n=x 2+2x-3，所以{

2231=+-=++m n m ，解得

{04=-=m n ，所以m-n=-4。） 问题4：因为x 2+(2+m)x+1+m+n=x 2+2x-3，所以mx=-m-n-4，m

n m x 4---=，结果未能求出m 、n 的值，这是怎么回事？（事实上，条件的本质是“在x 为任意实数时都有等式成立”，即是恒等式；也可看成同一个二次函数的两种不同表示形式；只有当所

有对应项的系数都相等时才成立，即{

2231=+-=++m n m 时才满足要求。）

问题5：将恒等式x 2+2x-3=(x+1)2

+m(x+1)+n 的右边展开，则是由繁到简的一种常用变形；如果从左到右思考呢？（事实上，将x 2+2x-3配方成(x+1)2-4，条件的本质是“在x+1为任意实数时都有等式(x+1)2-4=(x+1)2+m(x+1)+n 成立”，则更容易得出

{04=-=m n 。） 问题6：还有其他方法得到关于m 、n 的二元一次方程组？（任意给出x 两个特定的值分别代入两个整式，就得到关于m 、n 的两个方程，如x=0和x=1代入得

{n m n m ++=-++=-13241。）

问题7：在问题6中x 能否取其它数值？（特殊性寓于一般性之中，一般情形成立的结论特殊情况下一定成立；要说明特殊情形下的结论在一般情形下成立必须经过一般性证明。作为填空题毋庸置疑，但如果作为解答题，则必须进行一般性的验证。）

问题8：如何想到直接求m-n ？（在代数式(x+1)2+m(x+1)+n 中，给定x 的具体数值就可出现关于m 与n 的代数式，如：当x=0时有m+n ，当x=1时有2m+n ，当x=21时有2

3m+n ，…。那么怎样才能出现m-n 呢？因为m 的系数为(x+1)，n 的系数为1，要出现m-n ，m 、n 的系数必须是互为相反数，所以x+1=-1，即x=-2。当x=-2时有（-2）2+2×（-2）-3=(-2+1)2+m(-2+1)+n ，化简整理得-3=1-m+n ，所以m-n=4。）

例题是数学知识的载体，它集知识性、典型性、探索性于一体，更是学生学习数学知识的范例。就题论题，体现不出例题的导向作用和举一反三的效果。例题教学的精导是引导学生经历探索、感悟、反思甚至尝试失败与错误的曲折过程，让学生有感而发、有感而问、有感而究，深入理解例题的本质，逐步优化思路与方法。

二、解惑---灵活应用

例2 已知),(11y x P 和),(Q 22y x 为抛物线0)1(m 22>++-=mx mx y 两点，若

211x x <<，且221>+x x ，请比较1y 、2y 的大小。

学生的困惑1：二次函数的解析式不确定，则相应的函数图像与性质能知道吗？ 学生的困惑2：二次函数图像上的点的位置与点的纵坐标的大小有何关系？

学生的困惑3：抛物线对称轴两侧的两个点的纵坐标如何比较大小呢？

学生的困惑4：),(11y x P 、),(Q 22y x 两点在二次函数图像上的位置能确定吗？

学生的困惑5：抛物线上点的纵坐标即为相应的二次函数值，则能代入解析式先求函数值，再比较大小吗？

解析这道题，教师可设置下列问题做铺垫：

问题1：由122++-=x x y ，你能说出哪些结论？

生1：这是一个二次函数，图象是一条开口向下的抛物线。

生2：抛物线的对称轴为直线x=1。

生3：当1≤x 时y 随着x 的增大而增大；当1≥x 时y 随着x 的增大而减小。

问题2：关于0)1(m 22>++-=mx mx y ，上述性质有变化吗？

问题3：若（-1，1y ）和),3(2y 为抛物线0)1(m 22>++-=mx mx y 两点，则比较大小：1y 2y 。

问题4：若（-1，1y ）和),2(2y 为抛物线0)1(m 22>++-=mx mx y 两点，则比较大小：1y 2y 。

生4：因为),2(2y 关于对称轴直线x=1的对称点),0(2y 也在抛物线

0)1(m 22>++-=mx mx y 上，-1<0，所以1y <2y 。

生5：因为（-1，1y ）关于对称轴直线x=1的对称点（3，1y ）也在抛物线

0)1(m 22>++-=mx mx y 上，2<3，所以1y <2y 。

生6：因为1-(-1)>2-1，所以点（-1，1y ）离对称轴直线x=1的距离比点),2(2y 离对称轴直线x=1的距离远，所以1y <2y 。