一位光子晶体的计算

一维光子晶体的研究方法----传输矩阵法
1：绪论
1．1：光子晶体研究的意义
在以前对半导体材料的研究导致一场轰轰烈烈的电子工业革命，我们的科技水平有了突飞猛进的发展，并为此进入了计算机和信息为标准的信息时代。

在过去的几十年里，半导体技术正向高速，高集成化方向发展。

但这也引发了一系列的问题，比如电路中能量损失过大，导致集成体发热。

此外，由于高速处理对信号器件中的延迟提出更高的要求，半导体器件的能力已经基本达到了极限，为此科学家们把目光从电子转向广光子。

这是因为光子有着电子所不具备的优势：1.极高的信息容量和效率。

2.极快的响应速度。

3.极强的互连能力和并行能力。

4.极大地存储能力。

5.光子间的相互作用很弱，可极大地降级能力损失。

但是与集成电路相比，科学家们设想能像集成电路一样制造出集成光路，在集成光路中，光子在其中起着电子的作用，全光通过。

光子计算机将成为未来的光子产业，集成光路类似于电子产业中半导体的作用，光子产业中也存在着向集成电路的器件一样的集成光路——光子晶体，光子晶体的研究不仅仅是光通讯领域内的问题，同时也对其他相关产业将产生巨大的影响。

1.2：光子晶体的概念及应用
光子晶体是八十年代未提出的新概念和新材料，迄今取得了较快的发展，光子晶体不仅具有理论价值，更具有非常广阔的应用前景，这个领域已经成为国际学术界的研究热点。

控制光子是人们长期以来的梦想，光子晶体能帮助人们实现这一梦想。

1987年Yablonol itch在讨论如何控制自发辐射和John 在讨论光子局域化时各自独立的提出了光子晶体的概念。

他们所讨论问题的共同实质是周期性电介质材料中光传播的特性，根据固体电子能带理论，晶体内部原子呈周期性排列，库仑场的叠加产生周期性势场，当电子在其中运动时受到周期性势场的布格拉散射而形成的能带结构，带与带之间有带隙，称为禁带。

能量落在禁带中的电子波不能传播。

与此相仿，当电磁波在周期性电介质结构材料中传播时由于受到调制而形成能带结构——光子能带结构，其带隙称为光带隙（PBG:photonic band gap）。

此具有
PBG的周期性电介质结构就是光子晶体（Photonic crystals）。

光子带隙有完全光子带隙和不完全光子带隙。

完全光子带隙具有全方位的PBG，即一定频率范围内光子无论其偏振方向或传播方向都禁止传播，不完全光子带隙即只有在特定的方向有PBG。

由于光子在光子晶体中的传播特性类似于电子在天然晶体中的传播特性。

固体物理中的很多概念都可用在光子晶体上，如：倒格子、布里渊住、色散关系、Bloh 函数、Van Hove 奇点等。

由于周期性也可以定义有效质量，不过需要指出的是光子晶体与电子晶体有相同的地方也有本质的区别，光子晶体的概念吸引了众多科学家的兴趣。

自从1987年提出光子晶体的概念以来，无论是理论研究、实验研究和应用研究都取得了蓬勃的发展。

光子晶体在几何结构上具有一维周期性，它就是光子晶体，光子禁带将出现在此方向上，如果在二维或三维方向上都具有周期性，那么它将形成二维光子晶体或三维光子晶体。

光子晶体的最根本特性是具有光子禁带，光子禁带的存在可以抑制自发辐射，选择没有吸收的介质特殊材料制成的光子晶体可以反射来自任何方向的入射光，反射率几乎为100%。

利用此原理可以制成小型微波无线反射器，同理也可以制成手机天线微波防护设备，从而避免对对人体有害的微波辐射直接照射到手机用户的头部。

光子晶体的另一种特性是“光子局域“，光子晶体中原有的周期性或对称性受到破坏时，其光子禁带中就有可能出现频率极窄的缺陷态。

与缺陷态频率吻合的光子会被局域出现在缺陷的位置，一旦偏离缺陷位置，光子就迅速衰变。

在光子晶体中加入杂质，光子晶体就出现品质因子非常高的杂质态，具有很大的态密度，这样便可以实习自发辐射的增加，利用光子晶体控制原子的自发辐射，可以制作高频带低消耗的反射镜、高效率的发光二极管、光滤波器、光开关、光混频器、光陪频器和光存储器等。

如果在光子晶体中引入点缺陷，则可以制作高品质的光子晶体薇腔、高效率的太阳能电池。

利用禁带内的光子不能在光子晶体内的传播特性可以制作光子晶体滤波器、高增益光学参量放大器、光子晶体光纤等。

传统的介质波导在拐角处有能量损失，光子晶体波导可以改变这种情况，在拐角处有很高的传输频率。

与传统的光纤完全不同，光子晶体光纤是靠空气孔而不是氧化硅传播光，可波导的范围很大，从而增加了数据的带宽。

光子晶体可以制作超棱镜，常规的棱镜几乎不能分辨相似坡长的波，但用光子晶体做成晶体制成的超棱镜的分辨能力是常规棱镜的100——1000倍，而体积只是常规棱
镜的百分之一，这使光子晶体可以用在光通信中的信息处理。

二维光子晶体可用于偏振器，该偏振器具有传统偏振器没有的优点，可以在很大的频率范围内工作，而且体积较小，很容易在硅（Si）片上集成，或者直接在硅（Si）基上集成，光子晶体产生了许多新的物理性质和现象，如光的超棱镜效应、负折射效应、双折射效应、能量转移、工作压缩态及光学限制等特性。

随着对这些新现象的深入了解和光子晶体制作技术的不断改进，光子晶体的应用越来越广泛。

一维光子晶体由于结构简单，制作成本低而赔受关注，已有大量用于光通讯及其他产业的产品上，一维光子晶体应用在激光器上组成光子晶体激光器。

许多学者将光子晶体激光器分为五类：第一类是利用光子晶体作为F-P 反射镜的光子晶体；第二类是光子晶体环形激光器；第三类是分布反馈式光子晶体激光器；第四类是基于缺陷模局域态的光子晶体激光器，称为光子晶体缺陷模激光器；第五类是光子晶体带边激光器，在这种激光器中看不到明显的谐振腔。

1.3：光子晶体的制造
对于光子晶体，迄今为止还没有较为成熟的制备方法。

所以，光子晶体的制备方法也成为当今科学的热点之一，在自然界中也存在着光子晶体，例如蝴蝶的翅膀和有序排列的蛋白质等，但是随着社会的需求，大多数的光子晶体还需人工制备。

光子带隙的出现与光子晶体的结构、介质的连通性、介电常数成负折射率反差以及填充有关，因此制备光子晶体的条件比较苛刻。

一般来说，介电常数反差越大，得到光子带隙的可能性越大，制作具有完全光子带隙的光子晶体是一项非常艰巨的任务。

目前，大多数光子晶体的制作材料是用无机材料，主要是人为的排列成周期性的材料。

常用的方法分为物理方法和化学方法。

光子晶体的物理制造方法主要指利用半导体微加工工艺及其相关技术对材料进行机械加工，已获得光子晶体结构。

物理方法是最早应用于光子晶体的制造的方法，包括机械钻孔法、逐层叠加法、淀积刻蚀法等。

用此制备光子晶体在通常情况下，周期性、对称性较为而稳定，.并且制造周期较短。

但是，此类方法一般成本很高，而且在制造短波长的光子晶体时比较困难。

光子晶体的化学制造方法主要指利用亚微米胶体颗粒的自由组装制备光子晶体的胶体晶体法以及在此之后发展出的模板法。

相对于物理方法，化学方法有无可比拟的优势。

化学方法主要是将表面带同种电荷的胶体颗粒（如非晶二氧化
硅微球、聚苯乙烯微球等）按一定的体积浓度分散于去离子水或溶剂中，利用表面电荷的相互作用，能使得自动排列成类似于原子晶体结构排列方式的胶体晶体，称此方法为胶体晶体法。

胶体晶体法中的单分散二氧化硅（SiO2）和聚苯乙烯（PST）颗粒是目前广泛应用的制备光子晶体的材料。

目前，科学家已经研究出多种制备高质量的胶体晶体的方法。

主要有准平衡蒸发法、毛细作用组装法、电泳淀积法和电流变技术等方法。

而模板法则是利用胶体法生长出的紧密堆积结构中以胶体晶体作为模板，向颗粒小球的间隙内填充高介电常数材料（如硅、二氧化钛、聚合物等），然后通过高温煅烧、化学腐蚀等方法将模板除去，得到具有三维周期性的反蛋白石的结构，其典型结构是空气小球以面心立方形分布于介电常数的介质中。

1.4：国内外发展动态
近年来随着光通讯的迅速发展，光子晶体的器件对光子的控制能力良好，在光通讯中应用广泛。

2007年郑州大学激光与广电信息技术重点实验室尚廷义及其同事研究出了含负折射率材料的一维光子晶体的全方位带隙和缺陷模，讨论了介质厚度和入射角在一定比例的缩放时对缺陷模位置的影响；重庆工商大学刘启能提出了一种研究一维光子晶体禁带的新方法，该种方法能够确定该种禁带的宽度和位置，结构清晰，计算简单，能够方便的研究允许带的特征；山西大同大学董丽娟研究了含単负材料的一维光子晶体杂质模，分析了缺陷模随晶格标度的改变，通过改变杂质层的层数及其厚度，分析了杂质模频率的变化特性。

在此之后，深圳大学的王宏研究了一维光子晶体中模场的空间分布及其阀值的影响；北京理工大学蒋玉熔研究了一维光子晶体许多缺陷耦合的多通道滤波，分析透射位置和缺陷层之间的距离关系，这个研究对多通道滤波的设计具有重要的意义，在一维光子晶体中引入缺陷，光子禁带中会出现品质因子非常高的杂质态，形成缺陷模。

在光子晶体中引入缺陷时，也会在禁带中形成杂质带，利用这一特性可以制造高品质极窄带滤波器和多通道滤波器，当多通道薄膜滤波片的通带数量为N个通带时，它所携带的信息量所需要的滤光数量是单质带通滤波片的N陪，在整个系统中承载同样多的信息量所需要的滤光片数量是单通道滤光片的1/N，多通道的薄膜滤光片可以简化空间光学仪器的光学系统，减轻载荷。

由于空间光学有效载荷的集成化，轻量化的发展，促进了多通道滤光片的出现和发展，对于发展超高密度拨片用光通信技术和超高精度光学信息测量仪器具有更高的利用价值。

在国外，俄国莫斯科大学S.G ..Erokhion 等分析了介电常数是复数的一维光子晶体的性质；古巴哈瓦那大学M.de Dios-leyva 研究了用左手材料制作的一维光子晶体的带隙及电场分布。

2.：一维光子晶体计算方法及理论基础
2.1：一维光子晶体的计算方法
光子晶体的晶体结构和能带结构方面主要有以下几种计算方法：平面波展开法、有限时域差分法、多重散射法、传输矩阵法。

本文主要以传输矩阵法分析一维光子晶体的反射率和透射率。

传输矩阵法又称特征矩阵法或转移矩阵法，它将所求磁场在实空间的位置展开后把麦克斯韦方程组变成传输矩阵的形式，之后对这个形式求解。

此方法计算一维光子晶体的反射系数和透射系数比较方便。

2.2：传输矩阵理论基础
在一位光子晶体中，光脉冲的传播方程满足波方程
222
22222011(,)(,)(,)E z t E z t P z t z c z c z
ε∂∂∂-=∂∂∂ （1） 介质中的电场强度
(,)(,)i t E z t E z e d ωωω-=⎰ （2）
电极化强度
0(,)(,)(,)(,)i t i t P z t P z e d z t E z e d ωωωωεχωω--==⋅⋅⋅⎰⎰ （3）
将（2）和（3）代入(1)式得
22
222202201(,)(,)1(,)(,)i t i t i t E z e d E z e d z c t z E z e d c t
ωωωωωωωεχωωωε---∂∂⋅⋅-⋅⋅∂∂∂=⋅⋅⋅∂⎰⎰⎰ （4） 22
222221(,)[1(,)](,)()1[1(,)](,)()i t i t i t E z t e d z E z e d z c t z E z e d c
ωωωωχωωωχωωωω---∂∂⋅⋅=+⋅⋅∂∂=+⋅-⋅⋅⎰⎰⎰ （5）
式中：(,)1(,)(,)z z E z εωχωω=+
假设电磁波垂直入射光子晶体，电极化沿x 轴。

化简得22
222(,)()(,)0j j j d E z n E z dz c
ωωωω-= （6） 由上式知第j 层电场(,)j E z ω所满足的场方程
22
222(,)()(,)0j j j d E z n E z dz c
ωωωω-= 1(,1,2,3.....)j j z z z j n -<<= （7）
式中：()j n ω=j 层介质的折射率。

将（7）写成指数形式：1(,)()exp[()()]j j j E z E i
n z z c ωωωω-=- 将上式写成复数形式
11(,)()exp[()()]()exp[()()]j j j j j j j E z E i n z z E i n z z c c ω
ω
ωωωωω+---=-+--(8) 由()E B i B t
ω∂∇⨯=-=∂可以的得到磁场表示式 1()
(,){()exp[()()]j j j j j n B z E i n z z c c ωω
ωωω+-=-
1()exp[()()]}j j j E i n z z c ω
ωω--+-- (9)
磁场的极化方向沿z 轴。

定义：1(,)(,)j j z E z ψωω= （10）第j 层的磁场强度；
2(,)(,)j j z icB z ψωω=（11）乘i 是把2j ψ变成实数。

则电磁场可由二分量波函数表示
12(,)
(,)(,)j j j z z z ψωψωψω= （12）
从方程（8）（9）（10）（11）和（12）可得到同一层内(,)j z z ψω+∆和(,)j z ψω由传输矩阵连接起来，即
(,)(,)(,j j j
z z M z z ψωωψω
+∆=∆⋅ （13） 由cos sin i e i ααα=+得（8）和（9）形式如下
1(,)2()cos[()()]j j j j E z E n z z c ω
ωωω-=- （14）
1()
(,)2sin[()()]j j j j n B z i n z z c c ωω
ωω-=⋅⋅- （15） 则（10）和（11）写成如下形式
11(,)(,)2()cos[()()]j j j j j z E z E n z z c
ωψωωωω-==- （16） 21(,)(,)2()sin[()()]j j j j j z icB z n n z z c
ωψωωωω-==-⋅- （17） 化简（16）和（17）式得
11(,)2()cos{()[()]}j j j j z z E i n z z z c
ωψωωω-+∆=-+∆ 12(){[c o s [()]c o s []j j j j E n z z n z c c
ωωω-=-⋅⋅∆ （18） 1s i n [()]s i n []}j j j n z z n z c c
ωω---⋅⋅∆ 21(,)2()sin{()[()]}j j j j z z n i n z z z c
ωψωωω-+∆=-⋅-+∆ 12(){s i n [()]c o s []j j j j n n z z n z c c
ωωω-=--⋅⋅∆ （19） 1[c o s [()]s i n []}j j j n z z z c c
ωω-+-⋅⋅∆ 写成矩阵形式：
11221sin()cos[](,)
(,)()==(,)(,)()sin()cos[]j j j j j j j j j j n z n z z z z n c c z z z n n z n z c c ωωψωψωωψωωψωωω⋅⋅∆⋅∆+∆+∆-⋅∆⋅∆ （20）
由（13）知：2(,)=(,)(,)j j j z z M z z ψωωψω+∆∆⋅
则 1s i n ()c o s []()(,)=()sin()cos[]j j j j j j j n z n z n c
c M z n n z n z c c ωωωωωωω⋅⋅∆⋅∆∆-⋅∆⋅∆ （21）
由于边界连续条件，在任何位置的(,)z ψω和0(,)z ψω满足以下矩阵关系
110(,)(,)(,)j j j z z Q z z z ψωωψω--+∆=+∆ （22） 式中：1
1,1(,)(,)()j j j i i i Q z z M z M d ωωω--=+∆=∆∏，0(,)z ψω由边界条件决定。

假定光是从z < 0的区域入射，在这一区域，场是前向前行进波和向后行进
波的叠加。

即(,)(,)exp (,)exp i r E z E z i
z E z i z c c ωωωωω=+- （23）
在入射端z = 0处 (0,)(,)(0,)[(0,)(,)]
i i r r E E z i E E z ωωψωωω+=- （24） 而在出射端在z = N z 处
(,)
(,)(,)t N N s t N E z z in E z ωψωω= （25） 式中 s n 为衬底的折射率，假设连接出射端和入射端的矩阵为()N X ω则有 (,)()(0,N N z X ψωωψω= （26） 式中：11112,12122()()()()()()j N i i i x x X M d x x ωωωωωω-===
∏ （27）
根据（24）（25）和（26）式可得出
(0,)()(0,r i E r E ωωω= （28）
(,)()(,
t N i N E z t E z ωωω= （29） 式中()r ω为反射系数，t ω（）为透射系数，二者的计算式分别表示为
2211122122111221[()()][()()]()[()()][()()]
s s s s x n x i n x x r x n x i n x x ωωωωωωωωω--+=+-- （30） 221112212=
[()()][()()]s s t x n x i n x x ωωωωω+--（） （31） 则2()R r ω=，2T t ω=（
） （32） 一般的，初始场(0,)i E ω是已知的，由（22）和（24）式就可以得到任何位置的电场分布。

3理论分析
3.1一维光子晶体的模型及分析
若光子晶体由两种材料组成，选取不同介质折射率分别为n A ，n B ；厚度分别
为A d , B d 将它们按一定周期排列成一维光子晶体。

电磁波在A 介质中传输矩阵
为A M ，在B 介质中的传输矩阵为B M 。

由式（21）知电磁波在第j 层的传输矩
1sin()cos[]()(,)=()sin()cos[]j j j j j j j n z n z n c
c M z n n z n z c c ωωωωωωω⋅⋅∆⋅∆∆-⋅∆⋅∆ 式中2c =πωλ为入射波的圆
频率、c 为光速、j n 为第j 层介质的折射率、j z n ∆=为介质层的厚度。

只要分别
代入介质A 和介质B 的折射率和厚度，就能计算出介质A 的传输矩阵A M 和介质B 的传输矩阵B M 。

整个光子晶体的传输矩阵M 为各个介质层的传输矩阵安
顺序的乘积（如ABABABA 型的一维光子晶体，M 为
A M
B M A M B M A M B M A M ）。

若一维光子晶体由多种材料组成，只要代入各种介质的折射率和厚度就可以出此一维光子晶体的传输矩阵。

3.2 一维光子晶体反射率的计算
光子晶体反射率在光子晶体研究中具有很重要的地位。

由式（30）知其反射系数2211122122111221[()()][()()]()[()()][()()]
s s s s x n x i n x x r x n x i n x x ωωωωωωωωω--+=+--则其反射率2()R r ω=，式中11()x ω、12()x ω、21()x ω、22()x ω为整个光子晶体传输矩阵的矩阵元，ω为电磁波的频率，可以用波长λ替换。

利用软件可以计算出特定波长的电磁波在特定结构的光子晶体中的反射率。

利用此原理可以制作光子晶体反射镜，若反射率几乎为1时，则能制作全方位的光子晶体反射镜。

3.3 一维光子晶体透射率的计算
光子晶体透射率在光子晶体研究中也具有很重要的地位。

由式（31）知其透射系数221112212=[()()][()()]
s s t x n x i n x x ωωωωω+--（）则其透射率2T t ω=（），同理可以计算出特定波长的电磁波在特定结构的光子晶体中的透射率。

若透射率几乎为0，表示该波长的电磁波不能再此光子晶体中传播，称此现象为光子禁带，若透射率几乎为1，表示该波长的电磁波全部能在此光子晶体中传播，利用此原理可
以制作高精度的光子晶体滤波器。

结束语
本文利用麦克斯韦方程组推到出了一维光子晶体的传输矩阵，以及电磁波在一维光子晶体中的反射率和透射率，并对此做出了详细的计算说明。

为以后研究一维光子晶体提供了理论依据。