人教版数学八年级上册：解题技巧专题：利用特殊角构造含30°角的直角三角形解题 练习课件(附答案)
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1．如图，四边形 ABCD 中，AB＝BC＝6 cm，∠A＝ 120°，∠B＝60°，∠C＝150°，求 AD 的长． 解：如图，连接 AC. ∵AB＝BC＝6 cm， ∠B＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AC＝6 cm，∠BAC＝∠ACB＝60°.
2
∵DE⊥AC 于 E， ∴∠AED＝90°. ∴∠ADE＝30°. 在 Rt△ADE 中，AE＝2，∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE＝4. 在 Rt△ADC 中，AD＝4，∠C＝30°， ∴AC＝2AD＝8. ∴CE＝AC－AE＝8－2＝6.
3．如图，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝120°，DE 垂 直平分 AB 于点 D，交 BC 于点 E.求证：CE＝2BE. 证明：如图，连接 AE. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°. ∵DE 垂直平分 AB， ∴BE＝AE. ∴∠BAE＝∠B＝30°.
∴△EDC 是等边三角形． 设 CD＝CE＝DE＝x，则 AE＝4＋x，BE＝1＋x. 在 Rt△ABE 中，∠A＝30°， ∴AE＝2BE. ∴2(1＋x)＝x＋4. 解得 x＝2. ∴CD＝2.
5．如图，在△ABC 中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝ 6，D 为 BC 上一点，且 BD＝2DC，连接 AD.求证： AD＝AC. 证明：如图，过 A 作 AE⊥BC 于 E. ∵AB＝10，∠B＝60°， ∴∠BAE＝30°. ∴BE＝ 1 AB＝ 1 ×10＝5.
∵∠BAD＝120°，∠BCD＝150°， ∴∠ACD＝90°，∠CAD＝60°. ∴∠D＝30°. ∴AD＝2AC＝12 cm.
2．如图，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D 为 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，AE＝2，求 CE 的长． 解：如图，连接 AD. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， D 为 BC 的中点， ∴AD⊥BC，AD 平分∠BAC，∠B＝∠C＝30°. ∴∠DAC＝ 1 ∠BAC＝60°.
∴∠EAC＝120°－30°＝90°. ∵∠C＝30°， ∴CE＝2AE. ∵BE＝AE， ∴CE＝2BE.
4．如图，四边形 ABCD 中，AD＝4，BC＝1，∠A＝ 30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求 CD 的长． 解：如图，延长 AD、BC 交于点 E. ∵∠A＝30°，∠B＝90°， ∴∠E＝60°. ∵∠ADC＝120°， ∴∠EDC＝60°.
22
∵BC＝6，且 BD＝2DC， ∴BD＝4，CD＝2，CE＝1. ∴DE＝1＝CE. ∴AE 垂直平分 CD. ∴AD＝AC.
6．某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所 示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知 AB＝30 m，AC＝40 m，∠BAC＝150°，这种草皮 的售价为 a 元/m2，求购买这种草皮至少要多少元． 解：作 BA 边的高 CD，与 BA 的延长线交于点 D. ∵∠BAC＝150°， ∴∠DAC＝30°. ∵CD⊥BD，AC＝40 m，
∴CD＝20 m.
∵AB＝30 m，
∴S△ABC＝ 1 AB·CDwk.baidu.com 1 ×30×20＝300(m2)．
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∵草皮的售价为 a 元/m2，
∴购买这种草皮至少要 300a 元．
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1．如图，四边形 ABCD 中，AB＝BC＝6 cm，∠A＝ 120°，∠B＝60°，∠C＝150°，求 AD 的长． 解：如图，连接 AC. ∵AB＝BC＝6 cm， ∠B＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AC＝6 cm，∠BAC＝∠ACB＝60°.
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∵DE⊥AC 于 E， ∴∠AED＝90°. ∴∠ADE＝30°. 在 Rt△ADE 中，AE＝2，∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE＝4. 在 Rt△ADC 中，AD＝4，∠C＝30°， ∴AC＝2AD＝8. ∴CE＝AC－AE＝8－2＝6.
3．如图，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝120°，DE 垂 直平分 AB 于点 D，交 BC 于点 E.求证：CE＝2BE. 证明：如图，连接 AE. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°. ∵DE 垂直平分 AB， ∴BE＝AE. ∴∠BAE＝∠B＝30°.
∴△EDC 是等边三角形． 设 CD＝CE＝DE＝x，则 AE＝4＋x，BE＝1＋x. 在 Rt△ABE 中，∠A＝30°， ∴AE＝2BE. ∴2(1＋x)＝x＋4. 解得 x＝2. ∴CD＝2.
5．如图，在△ABC 中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝ 6，D 为 BC 上一点，且 BD＝2DC，连接 AD.求证： AD＝AC. 证明：如图，过 A 作 AE⊥BC 于 E. ∵AB＝10，∠B＝60°， ∴∠BAE＝30°. ∴BE＝ 1 AB＝ 1 ×10＝5.
∵∠BAD＝120°，∠BCD＝150°， ∴∠ACD＝90°，∠CAD＝60°. ∴∠D＝30°. ∴AD＝2AC＝12 cm.
2．如图，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D 为 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，AE＝2，求 CE 的长． 解：如图，连接 AD. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， D 为 BC 的中点， ∴AD⊥BC，AD 平分∠BAC，∠B＝∠C＝30°. ∴∠DAC＝ 1 ∠BAC＝60°.
∴∠EAC＝120°－30°＝90°. ∵∠C＝30°， ∴CE＝2AE. ∵BE＝AE， ∴CE＝2BE.
4．如图，四边形 ABCD 中，AD＝4，BC＝1，∠A＝ 30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求 CD 的长． 解：如图，延长 AD、BC 交于点 E. ∵∠A＝30°，∠B＝90°， ∴∠E＝60°. ∵∠ADC＝120°， ∴∠EDC＝60°.
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∵BC＝6，且 BD＝2DC， ∴BD＝4，CD＝2，CE＝1. ∴DE＝1＝CE. ∴AE 垂直平分 CD. ∴AD＝AC.
6．某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所 示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知 AB＝30 m，AC＝40 m，∠BAC＝150°，这种草皮 的售价为 a 元/m2，求购买这种草皮至少要多少元． 解：作 BA 边的高 CD，与 BA 的延长线交于点 D. ∵∠BAC＝150°， ∴∠DAC＝30°. ∵CD⊥BD，AC＝40 m，
∴CD＝20 m.
∵AB＝30 m，
∴S△ABC＝ 1 AB·CDwk.baidu.com 1 ×30×20＝300(m2)．
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∵草皮的售价为 a 元/m2，
∴购买这种草皮至少要 300a 元．