第1章1线性规划模型与标准化

1.1 线性规划的概念 一、线性规划问题的提出——利用有限资源
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台 数及A、B两种原材料的消耗量，见表1-1。 该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利润2元，每 生产一件产品Ⅱ可获利润3元，问应如何安 排生产计划使该工厂获得的利润最大？
生产计划问题
设：养鸡场每天需要大豆x1公斤，谷物x2公斤
MinZ 0.4 x 0.2 x
1
2
x x
1
2
＝ 10000
s .t .
0.5x 0.1x 0.22×10000
1
2
0.002x
1
0.001x2
0.06×10000
x 0 , j 1,2 j
二、线性规划的定义和数学描述（模型）
1．定义：
对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)，使之 既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的 目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问 题称为线性规划问题，简称线性规划（LP）。
x1-x2+ x3 -x3 -x5=2 3x1-x2-2x3 +2x3 = 5 x1, x2 , x3 ，x3 , x4，x5 0
本节课的主要内容回顾：
线性规划问题的提出 线性规划模型的特点（建模） 线性规划模型的一般形式与标准形式 如何将一般形式化为标准形式
大 • 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 • 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
线性规划数学模型的组成： •目标函数 Max F 或 Min F •约束条件 s.t. (subject to) 满足于 •决策变量 用符号来表示可控制的因素
3．LP的数学描述(数学模型)：
一般形式
Max(或Min)Z c1x1 c2 x2 … cn xn a11x1 a12 x2 … a1n xn ≤ (, )b1 a21x1 a22 x2 … a2n xn ≤ (, )b2
饲料 成分
大豆
谷物 营养/天.鸡
蛋白质.kg
50％
10％
≥0.22
钙.kg 售价.元
0.2％ 0.4
0.1％ 0.2
≥0.06
设：每只鸡每天需要大豆x1公斤，谷物x2公斤，
MinZ 0.4 x 1 0.2 x2
x 1 x2 ＝ 1 0.5x 1 0.1x2 0.22 s .t . 0.002x 1 0.001x 2 0.06 x j 0 , j 1,2
图
z’= -f (x)
●
-3
（2） 约束条件的标准化
& 约束条件是≤类型
——左边 加 非负松弛变量
& 约束条件是≥类型
Fra Baidu bibliotek
——左边 减 非负剩余变量
& 变量符号不限 ——引入新变量（≥0）
& 常数项b<0
xk xk' xk''
——约束条件的两边同乘-1
例1.4 将下列问题化成标准型:
Min S = -x1+2x2-3x3 Max S’=x1-2x2+3x3
（2）紧缩形式
n
Max Z c j x j
j 1
n
s.t.
aij x j
j 1
xj 0
bi i 1,2, … m j 1,2, … n
2、LP问题的标准化 （1）目标函数的标准化
MinZ=CX Z’=-Z MaxZ’=-CX
目
z
标
函
3
数
● z=f (x)
标
准
1
◆
化
示 意
0
2
-1
◆
5x
即标准形式为：
（1）展开式
Max c1x1 c2 x2 … cn xn a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1 a21x1 a22 x2 … a2n xn b2 s.t. … … … am1x1 am2 x2 … amn xn bm x1, x2 , … , xn ≥ 0
s.t. x1+x2+x3 7
x1+x2+x3 +x4=7
x1-x2+x3 2
x1-x2+x3 –x5= 2
-3x1+x2+2x3 = - 5
3x1-x2-2x3 = 5
x1,x2 0, x3 无非负限制 令x3=x3’-x3’’
标准型为： Max S = x1-2x2+3x3 -3x3 +0·x4+0·x5 s.t. x1+x2+x3 -x3 +x4 =7
第一章、 线性规划及单纯形法
线性规划（Linear Programming，LP） 是运筹学的一个重要分支。
1947 年，丹捷格(Dantzig)提出了求解线 性规划问题的一种一般解法——单纯形法 (Simple Method)，使线性规划在理论上趋 于成熟，应用日益广泛。
随着计算机技术的发展，用计算机处理 大规模线性规划问题之后，线性规划的应用 更加广泛和深入。目前，它已成为解决现代 管理和某些科学技术问题的重要手段之一。
资源 产品 Ⅰ
设备(台时)
1
Ⅱ 资源限量
2
8
原材料A(g)
4
0
16000
原材料B(g)
0
4
12000
如何制定生产计划，使两种产品总利润最大？
max Z 2x1 3x2
x1 2x2 ≤ 8
4x1 ≤16 4x2 ≤12
x1, x2 ≥ 0
利用有限资源：某鸡厂共饲养1万只鸡，用大豆和 谷物混合喂养，已知一只鸡消耗饲料1kg /天，它 至少需要蛋白质、钙分别为0.22、0.06 kg/天。又知 每公斤大豆含蛋白质、钙为50％、0.2％，每公斤 谷物含蛋白质、钙为10％、0.1％，大豆和谷物售 价0.4、0.2元/kg。问怎样喂养，鸡场最合算？
s.t. … … … am1x1 am2 x2 … amn xn≤ (, ≥)bm x1, x2 , … , xn ≥ 0
三、LP的标准型： 1、LP标准型的概念
（1）什麽是LP的标准型？ （2）LP标准型的特点 目标函数约定是极大化Max; 约束条件均用等式表示; 决策变量限于取非负值; 右端常数b均为非负值 ;
2.配比问题和生产计划问题的线性规 划模型的特点：
用一组未知变量表示要求的方案，这组 未知变量称为决策变量；
存在一定的限制条件，且为线性表达式；
有一个目标要求（最大化，当然也可以 是最小化），目标表示为未知变量的线 性表达式，称之为目标函数；
对决策变量有非负要求。
在管理中一些典型的线性规划应用 • 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 • 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 • 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 • 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最