检测系统的静态和动态特性

2.精度等级
3.灵敏度 灵敏度是指测量系统在静态测量时，输出量的增 量与输入量的增量之比。即
S
lim
y
x0 x
(1-46)
对线性测量系统来说，灵敏度为:
S lim y x0 x
(1-47)
亦即线性测量系统的灵敏度是常数，可由静态特 性曲线（直线）的斜率来求得，如图1-8（a）所
示。式中 my、mx为Y和X轴的比例尺， 为相应点
dmX t
dt m
——输入量X对时间t的m阶导数。
2.传递函数 若测量系统的初始条件为零，则把测量系统输
出（响应函数）Y t 的拉氏变换Y(s) 与测量系统
输入（激励函数）X t 的拉氏变换X(s) 之比称为 测量系统的传递函数H(s) 。
假 定 在 初 始 时 t=0 ， 满 足 输 出 Y(t)=0 和 输 入 X(t)=0以及它们的各阶对时间导数的初始值均为零 的初始条件，这时Y(t)和X(t)的拉氏变换Y（S）和 X（S）计算公式为:
称频率特性。通常用 H j 来表示。 对稳定的常系数线性测量系统，可取 s j ，
即令其实部为零；这样（1-57）式转换为:
X j x t e jtdt Y j y t e jtdt
0
0
（1-61）
根据式（1-61）或直接由（1-58）式转换得到测
量系统的频率特性 H j
a1
dY t
dt
a0Y
t
bm
dmX t
dt m
bm1
d m1X t
dt m1
b1
dX t
dt
b0 X
t
（1-56)
式中 Y t ——输出量或响应；
X t ——输入量或激励；
an，…，a1，a0，bm，…，b1，b0 ——与测量系统 结构的物理参数有关的系数；
d nY t
dt n
——输出量Y对时间t的n阶导数；
A MTBF MTBF MTTR
（1-55）
检测系统使用方面的指标有：操作维修是否方便， 能否可靠安全运行以及抗干扰与防护能力的强弱、 重量、体积的大小、自动化程度的高低等。
3.7 检测系统的动态特性
当被测（输入量、激励）随时间变化时， 因系统总是存在着机械的、电气的和磁的各种 惯性，而使检测系统（仪器）不能实时无失真 的反映被测量值。这时的测量过程就称为动态 测量。测量系统的动态特性是指在动态测量时， 输出量与随时间变化的输入量之间的关系，而 研究动态特性时必须建立测量系统的动态数学 模型。
统在量程零点（或起始点）处能引起输出量发生变 化的最小输入量。
9.可靠性 衡量检测系统可靠性的指标有：
（1）平均无故障时间MTBF （2）可信任概率P （3）故障率
（4）有效度 衡量检测系统可靠性的综合指标是有
效度，对于可排除故障、修复后又可投入正常工作 的检测系统，其有效度A定义为平均无故障时间与 平均无故障时间、平均故障修复时间MTTR（Mean Time to Repair）和的比值，即 ：
，相应地当n=1、n=2，则称为一阶系统传递函数
和二阶系统传递函数。由方程（1-58）可得：
Y s H sX s
(1-59)
知道测量系统传递函数和输入函数即可得到输
出（测量结果）函数Y(s)，然后利用拉氏反变换，
求出
Y的s原 函数，即瞬态输出响应为
y(t) L1[Y (s)] (1-60)
传递函数具有以下特点： （1）传递函数是测量系统本身各环节固有特性 的反映，它不受输入信号影响；但包含瞬态、稳 态时间和频率响应全部信息； （2）传递函数 Hs是通过对实际测量系统抽象 成数学模型后经过拉氏变换得到，它只反映测量 系统的响应特性；
(1-44)
3.6.3 检测系统静态特性的主要参数
静态特性表征检测系统在被测参量处于稳定 状态时的输出－输入关系。衡量检测系统静态特 性的主要参数是指测量范围、精度等级﹑灵敏度 ﹑线性度﹑滞环、重复性、分辨力﹑灵敏限、可 靠性等。
1.测量范围
每个用于测量的检测仪器都有规定的测量范 围，它是该仪表按规定的精度对被测变量进行测 量的允许范围。测量范围的最小值和最大值分别 称为测量下限和测量上限，简称下限和上限。
算，则通常应先算出各个校准级上的正、反行
程的子样标准偏差，即
z. j
1n n 1 i1
2
yz.i yz. j
F. j
1n n 1 i1
2
yF.i yF. j
（1-53）
式中 z. j F. j ——第j次测量正行程和反行程
测量数据的子样标准偏差(j＝1—M)； yz.i、yF.i ——第j次测量上正行程和反行程
图1-11 检测系统重复性示意图
特性曲线一致好, 重复性就好,误差也小。重复
性误差是属于随机误差性质的,测量数据的离散
程度是与随机误差的精密度相关的,因此应该根
据标准偏差来计算重复性指标。重复性误差
可
R
按下式计算:
R
z max
YF .S
100%
(1-52)
式中 R －－重复性误差；
Ｚ——为置信系数, 对正态分布，当Z取2
小二乘拟合直线待定系数 a0 和 a1 的两个计算表达式
N
xi
2
N
yi
N
xi
N
xi
yi
a0 i1
i1 i1 i1
N
N
xi2
N
2
xi
i 1
i1
N
N
xi
yi
N
xi
N
yi
a1
i 1
i1 i1
N
N
xi2
N
xi
2
i 1
i1
（1-50）
X s x t estdt 0
Y
s
0
y t estdt
（1-57）
满足上述初始条件，对（1-56）式两边取拉氏
变换，这样就得测量系统的传递函数为；
H
s
Y s X s
bm s m an s n
bm1sm1 … b1s b0 an1sn1 … a1s a0
（1-58）
上式分母中S的最高指数n即代表微分方程阶数
(1-51)
式中 H －－最大迟滞引用误差；
H max －－（输入量相同时）正反行程输出
之间最大绝对偏差；
YF.S ——测量系统满量程值。 在多次重复测量时,应以正反程输出量平均值
间的最大迟滞差值来计算。迟滞误差通常是由于
弹性元件、磁性元件以及摩擦、间隙等原因所产
生，一般需通过具体实测才能确定。
6.重复性 重复性表示检测系统或传感器在输入量 按同一方向(同为正行程或同为反行程) 作全量程连续多次变动时所得特性曲线 不一致的程度(见图1-11)。
3.6.2 检测系统静态特性方程与特性曲线
一般检测系统的静态特性均可用一个统一（但 具体系数各异）的代数方程，即通常称作静态特 性方程来描述检测系统对被测参量的输出与输入 间的关系，即
y x a0 a1x a2x2 … aixi … anxn
式中 x
——输入量；
y（x） ——输出量；
a0，a1，… ——常系数项。
量称为检测系统的分辨力。许多测量系统在全量 程范围内各测量点的分辨力并不相同，为统一， 常用全量程中能引起输出变化的各点最小输入量 中的最大值X max 相对满量程输出值的百分数表示 系统的分辨率 ，即：
k X max YF .S
（1-54）
8.失灵区 失灵区又叫死区、钝感区、阈值等，它指检测系
（3）同一传递函数可能表征多个响应特性相似， 但具体物理结构和形式却完全不同的设备，例如一 个RC滤波电路与有阻尼弹簧的响应特性类似，它们 同为一阶系统。
3.频率（响应）特性 在初始条件为零的条件下，把测量系统的输出
Ｙ（t）的傅立叶变换 Y j与输入 X t 的傅立叶
变换 X j之比称为测量系统的频率响应特性，简
最小二乘拟合直线的原则是使确定的N个特征测 量点的均方差
1
N
N
L2i
i 1
1 N
N i 1
a0 a1 xi
yi 2 f a0 , a1
（1-49）
为最小值，为此必有 f a0，a1 关于 a0 和 a1 的偏导数
为零，即
f a0，a1 0
a0
f a0，a1 0
a1
把 f a0，a1表达式代入上述两方程整理可得到关于最
第一，也是最主要的用途，是通过检测系统 已知基本特性由测量结果推知被测参量准确值；
第二，用于对多环节构成的较复杂检测系统进 行测量结果及（综合）不确定度分析，即根据该检 测系统各组成环节已知的基本特性，依已知输入信 号的流向，逐级推断和分析各环节输出信号及其不 确定度。
第三，根据测量得到的（输出）结果和已知输 入信号，推断和分析出检测系统的基本特性。
H
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
j
Y j X j
bm an
j m j n
bm1 j m1 … b1 j b0 an1 j n1 … a1 j a0
（1-62）
频率响应函数是在频率域中反映测量系统 对正弦输入信号的稳态响应，也被称为正弦传递 函数。
3.7.2 一阶和二阶系统的数学模型
测量系统的数学模型中的具体参数确定通常需 经实验测定，亦称动态标定。工程上常用阶跃和 正弦两种形式信号作为标定信号。阶跃输入信号 的函数表达式为
的直线1（曲线2为系统全量程多次重复测量平均 后获得的实际输出/输入关系曲线；曲线3为系统 全量程多次重复测量平均后获得的实际测量数据 ，采用根据最小二乘法方法拟合得到的直线）。 此方法优点是简单、方便和直观；缺点是多数测 量点的非线性误差相对都较大。
图1-9最小二乘和理论线 性度及其拟合直线
（2）最小二乘线性度及其拟合直线
时 , 置 信 概 率 为 0.95 即 95% ， Z 取 3 时 , 概 率 为
99.73%；对测量点和样本数较少时，可按t分布
根据表1.2选取所需置信概率所对应的置信系数。
max——正、反向各测量点标准偏差的最大值； ——测量系统满量程值。
YF.S 式(1-52)中标准偏差
的计算方法可按
贝塞尔公式或级差公式计算ma。x 按贝塞尔公式计
5.迟滞 迟滞，又称滞环，它说明传感器或检测系统的正 向(输入量增大)和反向(输入量减少)时输出特性 的不一致程度，亦即对应于同一大小的输入信号 ，传感器或检测系统在正、反行程时的输出信号 的数值不相等，见图1-10所示 。
图1-10 迟滞特性示意图
迟滞误差通常用最大迟滞引用误差来表示，即
H
H max 100 % YF .S
3.6 检测系统的静态特性
人们在设计或选用检测系统时，最主要的 因素是检测系统本身的基本特性能否实现及时、 真实地（达到所需的精度要求）反映被测参量 （在其变化范围内）的变化。
3.6.1 概述
检测系统的基本特性一般分为两类：静态特 性和动态特性。
研究和分析检测系统的基本特性，主要有以 下三个方面的用途。
切线与X轴间的夹角。非线性测量系统其灵敏度 是变化的。如图1-8（b）所示。
（a）线性系统灵敏度示意图 （b）非线性系统灵敏度示意图 图1-8 灵敏度示意图
4.非线性
非线性通常也称为线性度。线性度就是反映测
量系统实际输出、输入关系曲线与据此拟合的理
想直线 y x a0 a1x 的偏离程度。通常用最大非
3.7.1 测量系统的（动态）数学模型 测量系统的动态特性的数学模型主要有三
种形式：①时域分析用的微分方程；②频域分 析用的频率特性；③复频域用的传递函数。
1.微分方程 对于线性时不变的测量系统来说，表征其
动态特性的常系数线性微分方程式如下：
an
d nY t
dt n
an1
d n1Y t
dt n1
最小二乘法方法拟合直线方程为 yx a0 a1。x 如
何科学、合理地确定系数 a0和a1 是解决问题的关键 。设测量系统实际输出/输入关系曲线上某点其输入 、输出分别 xi、yi ，在输入同为 xi 情况下，最小
二乘法方法拟合直线上得到输出值为 yxi a0 a1xi
两者偏差为
Li yxi yi a0 a1xi yi
的第i个测量数据(i＝1一n)；
yz. j、yF. j ——第j次测量上正行程和反行程测量数 据的算术平均值。
取上述 z. j F. j(共2M个测量点)中的最大值 max及所选置信系数和量程便可按式（1-52）计算 得到测量系统的重复性误差 R。
7.分辨力 能引起输出量发生变化时输入量的最小变化
线性引用误差来表示。即
L
Lmax YF .S
100%
（1-48）
式中 L——线性度；
Lmax——校准曲线与拟合直线之间的最大偏差； YF.S ——以拟合直线方程计算得到的满量程输出 值。
（1）理论线性度及其拟合直线
理论线性度也称绝对线性度。它以测量系统
静态理想特性 yx kx 作为拟合直线，如图1-9中