反证法的生活例子

反证法的生活例子
【篇一：反证法的生活例子】
甲是乙父，乙是丙父，欲证明甲是丙的爷爷。

设甲不是丙的爷爷，
则甲不是乙的父亲或乙不是甲的父亲
而这与题设相矛盾，
所以甲是丙的爷爷
【篇二：反证法的生活例子】
反证法的例子范文一：【案例】反证法
北京丰台二中张健
内容和内容解析：
推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

反证法是继前面学习完推理知识后的证明方法中的一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力。

目标和目标解析：
①结合熟悉的生活实例和典型的数学命题，帮助学生了解反证法的作用；
②学生通过探究发现，了解反证法的思考过程，特点，并会用反证法思考和证明一些简单的数学问题；
③通过让学生亲身经历证明的过程，从中逐步体会反证法的内涵，培养他们的逆向思维能力。

教学重点：了解反证法的思考过程和特点。

教学难点：对命题的否定的全面、准确考虑以及恰当地寻找矛盾。

教学问题诊断分析：
学生从初中开始就已初步接触过反证法，反证法的逻辑规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却让学生感到困难。

究其原因，反证法主要是需要逆向思维，而在中小学阶段，逆向思维训练和发展都是不充分的；其次反证法中的假设部分涉及命题的否定知识，学生在学习那部分的知识时就存在一定的困难。

教学过程设计：
1.情境引入
回忆综合法和分析证明问题的过程，思考并解决下面三个问题：
1.1 小故事：王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李子树上
结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?
1.2 桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，
那么无论怎样翻转，都不能使硬币全部反面朝上。

你能解释这种现
象吗？
1.3 a、b、c三个人，a说b撒谎，b说c撒谎，c说a、b都撒谎。

则c在撒谎吗？为什么？
问题：解决以上三个问题，你的方法是怎样的？与前面学习的方法
有什么不同？
设计意图：通过小故事、例子，让学生在对比中发现新的推理方式。

2.数学建构
问题1：把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方
法称为间接证明，反证法是常见的一种间接证明方法。

你能给反证
法下个定义吗？
设计意图：引导学生通过讨论，进行抽象概括。

3.数学应用
例1.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数。

设计意图：分析证明过程，抽象概括用反证法的证明的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立；（假设）（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（归谬）
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

（存真）
例2.已知直线a,b进和平面??，如果a????,b????，且a // b，求证：a//??.
设计意图：按照反证法的步骤规范进行证明，熟悉证明方法。

例3.求证；2是无理数。

设计意图：这是数学反证法的熟悉过程，也是概念的“精致过程”。

问题1：用反正法证明时，导出矛盾有哪几种可能？问题2：你认为反证法的使用情形有哪些？
说明：常用的正面叙述词语及其否定：
设计意图：为了达到对反证法的“精致”需要对上述三个问题作出回答，这样学生才能从本质上掌握反证法。

原文地址：【案例】反证
法
北京丰台二中张健
内容和内容解析：
推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

反证法是继前面学习完推理知识后的证明方法中的一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力。

目标和目标解析：
①结合熟悉的生活实例和典型的数学命题，帮助学生了解反证法的作用；
②学生通过探究发现，了解反证法的思考过程，特点，并会用反证法思考和证明一些简单的数学问题；
③通过让学生亲身经历证明的过程，从中逐步体会反证法的内涵，培养他们的逆向思维能力。

教学重点：了解反证法的思考过程和特点。

教学难点：对命题的否定的全面、准确考虑以及恰当地寻找矛盾。

教学问题诊断分析：
学生从初中开始就已初步接触过反证法，反证法的逻辑规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却让学生感到困难。

究其原因，反证法主要是需要逆向思维，而在中小学阶段，逆向思维训练和发展都是不充分的；其次反证法中的假设部分涉及命题的否定知识，学生在学习那部分的知识时就存在一定的困难。

教学过程设计：
1.情境引入
回忆综合法和分析证明问题的过程，思考并解决下面三个问题：
1.1 小故事：王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李子树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?
1.2 桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎样翻转，都不能使硬币全部反面朝上。

你能解释这种现象吗？
1.3 a、b、c三个人，a说b撒谎，b说c撒谎，c说a、b都撒谎。

则c在撒谎吗？为什么？
问题：解决以上三个问题，你的方法是怎样的？与前面学习的方法
有什么不同？
设计意图：通过小故事、例子，让学生在对比中发现新的推理方式。

2.数学建构
问题1：把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方
法称为间接证明，反证法是常见的一种间接证明方法。

你能给反证
法下个定义吗？
设计意图：引导学生通过讨论，进行抽象概括。

3.数学应用
例1.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数。

设计意图：分析证明过程，抽象概括用反证法的证明的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立；（假设）（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（归谬）
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

（存真）
例2.已知直线a,b进和平面??，如果a????,b????，且a // b，求证：a//??.
设计意图：按照反证法的步骤规范进行证明，熟悉证明方法。

例3.求证；2是无理数。

设计意图：这是数学反证法的熟悉过程，也是概念的“精致过程”。

问题1：用反正法证明时，导出矛盾有哪几种可能？问题2：你认为反证法的使用情形有哪些？
说明：常用的正面叙述词语及其否定：
设计意图：为了达到对反证法的“精致”需要对上述三个问题作出回答，这样学生才能从本质上掌握反证法。

范文二：举反例与反证法
李云庄
举反例和反证法是判断命题真假的两种方法,但本质不同，学生容易
混淆，为了使学生正确运用举反例和反证法是判断命题真假来解决
问题，就解决以下几个问题。

一、适用对象不同：
1、举反例：适用假命题
2、反证法：适用真命题
二、方法不同：
1、举反例：要证明一个命题为假命题，只要举出一个反例来说明命
题不成立即可．所以反例就是满足命题题设但不满足命题结论的一
个实例。

所举的反例要求简单、明确、有说服力．有的几何题要通
过图形来举反例。

举反例和反证法是判断命题真假的两种方法,但本
质不同. 所谓反例,通常是指用来说明某个例题不成立的例子.举反例
就是证明某个命题是假命题的一种方法,如“两个无理数之和是无理数.”判断这个命题不是真命题,只要举出“两个无理数之和是有理数”
的例子就可以确定这个命题是假命题.,如2与-2。

2、反证法：是间接证明的一种，常常用在直接证明有困难的那些命
题上，它的步骤为：先假设结论不成立（即结论的反面是正确的）（反设），然后通过逻辑推理、推出与公理、已证的定理、定义或
已知条件相矛盾（归谬），说明假设的不成立，从而得出原结论是
正确的（结论）．
三、反证法的关键是对结论否定的正确性，要熟悉常用的互为否定
的表述方式：如
是——不是；存在——不存在；平行——不平行；垂直——不垂直；等于——不等于；都是——不都是；大于——不大于；小于——不
小于；至少有一个——一个也没有；至少有三个——至多有两个；
至少有n个——至多有(n-1)个。

范文三：反证法”教学案例
数学组梁华超
教学内容：人教版九年义务教育四年制几何第三册第14—16页。

教学目的：
1、知识技能：了解反证法，掌握反证法证题的过程。

2、过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生装经历问
题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。

3、情感态度：让学生感情感悟数学与日常生活的联系，激发学生学
习数学的兴趣。

重点难点：反证法证明命题的过程
教学方法：互动式教学
教学过程：
（一）导入（3分钟）：
师：中国古代有一个成语故事——自相矛盾，哪一位同学能讲述这
个故事
呢？
（让学生讲这个故事）
师：这个故事蕴含什么道理？
生：这个故事告诉我们要实事求是，不要夸大其辞。

师：很好，虽然这个故事是贬义的，但在数学中，我们常常借鉴这
种“以
子之矛，攻子之盾”的做法来证明数学命题，这就是我们今天要学习
的“反证法”。

（板书课题）
（二）掀起你的盖头来——认识反证法（10分钟）。

师：请同学们试证明命题“400人中至少有两个人的生日相同。

”（课件
演示）
（让学生分组讨论后交流）
生：写出每个人的生日，对比一下就知道了。

师：可以，有没有比他更简单的方法呢？
生：假设400人中每两人的生日不同，那么一年会有400天，这与
一年有365
天不符合，因此是不可能的。

师：很好，这位同学没有从正面去证明，而是从结论的反面出发，
引出矛盾，
从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

它的特点是快捷、方便，请同
学们尝试证明命题：一个三角形中不可能有两个直角。

（让学生模
仿1的证明方
式，尝试证明此命题。

）
生：假设有两个直角，则三角形的内角和就大于180度，这与三角
形内角和
定理矛盾，因此原命题成立
师：很好，通过以上两个命题的证明，同学们能不能归纳出反证法
的证题步
骤，各小组分开讨论，看看哪一个小组的结论最合理。

（让学生分
组讨论后进行
交流）
生：我们小组的讨论结果是：
（1）假设命题的结论不成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

师：很好，其他小组有没有补充的（让同学们各抒己见，互相补充，归纳出
反证法证明命题的步骤）
师：在这三个步骤中，最重要的是第一步，如果找不到问题的反面，证明就
没有力度，同学们在运用反证法的时候要注意这个问题。

下面我们
一起来证明一
个命题，大家仔细体会反证法的证明过程：已知：a、b、c三点在
同一条直线上。

求证：过a、b、c三点不能作圆。

(引导学生分析，写出假设，推出错误的结论，教师板书证明过程。

)（三）小试牛刀——尝试反证法（12分钟）。

师：下面我们做一组练习
练习1：用反证法证明下列命题（多媒体显示）。

①一个三角形中不可能有两个钝角。

②梯形的两条对角线不能互相平分。

③两条直线相交，交点只有一个。

（让学生分组讨论，合作完成以上3个命题的证明，熟练反证法的
证明过程）。

练习2：已知：如图三角形abc中，d、e两点分别在ab、ac上。

求证：cd、be不能互相平分。

（让学生独立思考完成，进一步巩固训练，然后交流解题思路）（四）举一反三——妙用反证法（13分钟）。

1、诸葛亮与反证法（3分钟）。

师：设计情景：三国时代，蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时，派
大将魏
延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司
马懿率大队兵
马杀来，靠几个老弱兵士出城迎战，犹如鸡蛋碰石头，怎么办？诸
葛亮冷静思考
之后，传令打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上
城楼，摆好香c
案，端坐弹琴，态度从容，琴声优雅。

司马懿来到城前，见此情景，心中疑惑，他想：“诸葛亮一生聪明过人，谨慎有余，从不冒险。

今
天如此这般，与其一生表现矛盾，恐怕城内必有伏兵，故意诱我入城，决不中计也！”于是急令退兵。

这就是家喻户晓的“空城计”。

②展开讨论：诸葛亮面临的问题是什么？从正面考虑该如何解决这
个问题？诸葛亮是如何考虑的？
③名家点评：诸葛亮利用了司马懿的心理上的矛盾，才以“不守城”
来达到暂时“守住城”的目的。

诸葛亮从问题（守住城）的反面（不
守城）考虑，来解决用直接或正面的方法（用少数老弱军士去拼杀）很难或根本无法解决的问题，在历史上传为美谈。

这就是家喻户晓
的“空城计”。

2、律师与反证法（10分钟）。

师：①设置情景：这是生活中的一个真实的案例：一公司老总在某
酒店设宴款待自己的朋友，他们点的菜中有一道叫做水煮鸡围虾，
酒宴过半，客人突然提出这道菜中有一只红头大苍蝇，要求酒店方
面给予赔偿，双方为此争执不休，酒店经理为了证实那不是苍蝇，
情急之下，把这个疑似红头苍蝇的东西吃了下去。

对方一看证物被毁，更加有恃无恐，一纸诉状将酒店告上法庭，酒店经理对自己的
冲动很后悔，深知庭审对自己将非常不利，但事情已无法挽回，为
打赢官司，他们聘请了一个著名的律师为自己辩护。

法庭上，双方
律师围绕着是不是红头苍蝇展开辩论，原告律师自恃证据确凿，咄
咄逼人，形式对被告很不利。

这时，被告律师站了起来，要求对原
告方提问，法官允许后，被告律师问：“你真的看到一只红头大苍蝇吗？”“是的。

”“你肯定是红色的吗？”“是的，我肯定。

”接着，被告
律师用了一个巧妙的方法证实了原告说了谎话，这个方法就是我们
今天学习的反证法。

假如你是被告方律师，你会怎么证实原告说的
是谎话呢？②开讨论：让学生以小组为单位合作探讨，寻找最佳方法。

③模拟法庭：让各个小组的代表说出自己的做法，发言的同学作为“律师”，不发言的同学作为“法官”，看看哪位“律师”的说法能让“法官”们信服。

④真相大白：不少小组的做法非常接近律师的方法，让我们看看这
位律师的做法：把提前准备的五只红头大苍蝇放到酒精锅里，当庭
开煮，几分钟后，呈现在众人面前的是五只黑色的大苍蝇，法官当
场宣布：原告败诉。

反证法在社会实践中和数学各个领域中都有着
广泛的应用，它还是创造发明的一种工具，例如无理数和非欧几何
的发现都得益于反证法。

（五）矢志不渝——情系反证法（3分钟）。

（课件演示）。

师：我们在感受反证法的快捷、方便的同时，不能忘记那些利用反
证法作出突出贡献的科学家，让我们一起来认识矢志不渝——情系
反证法的俄国科学家
讲述数学家利用反证法发现非欧几何的故事。

1815年俄国罗巴切夫斯基础过直线外一点有且只有一条直线与已
知直线平行。

1826年非欧几何遭到讥讽和打击高斯欧洲数学之王。

1856年在苦闷和抑郁中度过生命的最后一段路程。

1868年几何学中的哥白尼。

1893年喀山大学世界史上第一个为数学家立的雕塑。

师：通过讲述上面的故事，同学们有什么感触？
生：我们了解了反证法背后的辛酸历史，学习数学家坚持真理畏权势、锲而不舍的奋斗精神。

师：在科学探索的征途中，一个人经得
住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗。

我们再学习数学知识的同时，更应该学习数学家的这种品质，
这也是我们学习数学的真谛。

（六）小结：
师：通过本节课的学习，同学们有哪些收获？（2分钟）
生：了解反证法证明命题的过程。

生：感受了反证法的妙用。

生：感受到数学家不畏权势，坚持真理，锲而不舍的奋斗精神。

师：同学们总结的很好。

本节课表现较好的是1、3、4、8组。

（让学生归纳总结本节课的收获，根据学生的回答教师及时补充，
并对表现突出的小组和个人给予表扬和鼓励。

）
（七）作业（2分钟）：
用反证法证明下列命题：
①等腰三角形的底角必定是锐角。

②直径是圆上的最大弦。

师：通过本节课的学习，我们了解了反证法在生活中有广泛的应用，由于时间的关系，我们不能一一列举，课后以小组为单位收集相关
的资料，以《生活中的反证法》为题写一篇小论文，时间两个周，
届时我们将评选出优秀论文若干篇。

教学反思：
1、准确定位教学目标。

新课程标准十分重视学生“双基”的培养，也
十分关注学生的学习过程以及情感、态度、能力等方面的发展，在
设计教学目标时，我从三个方面即知识技能目标、过程性目标和情
感态度目标进行了详细准确的定位。

体现了“立足双基，着眼发展”
的教育理念。

2、创造性的使用教材。

教材的内容相对来说比较简单，具有一定的
权威性，但同时又肯有相对的滞后性、封闭性、静止性等缺陷，不
能适应新课程的要求。

因此，再设计本节课时，以课本的基本内容
为蓝本，结合学生的认知规律和生活经验，改造和充实所教的内容，尤其是诸葛亮与反证法、律师与反证法、科学家的故事的引入，体
现了学数学、用数学的思想，注重对学生的情感态度和价值观
的教育。

努力使课堂教学充满趣味性、挑战性，让学生感知数学来
源于生活，同时又服务于生活。

3、突出学生的主体地位。

课堂上教师把学习的主动权交给学生，让
学生学会参与、学会发现、学会应用、学会创新。

本节课师生围绕
情景-问题-解决的思路，步步深入地经历了问题解决的过程。

课堂气
氛自始至终和谐、生动、自然，既有学生的独立思考，更有师生间
的相互交流、激烈的讨论。

范文四：《反证法》教学设计与反思
德兴二中叶慧敏
“反证法”是九年级上册第二十四章圆和圆的位置关系中的一部分内容。

它是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它
有着独特，简便，实用的方法。

故反证法的学习非常重要。

本节课
主要目标是了解反证法的基本原理，掌握反证法的一般步骤，会用
反证法证明数学中的一些简单命题。

一、首先从课程分析和学情分析着手。

综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，是解决数
学问题时常用的思维方式。

反证法是间接证明的一种基本方法，但反证法的应用需要逆向思维，是学习和掌握中的一个难点，所以本节课的重点是使学生在动脑思考，动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵，建立应用反证法
的感觉。

反证法的本质就是通过证明逆否命题的真来肯定原命题。

二、让学生自己去发现问题，解决问题。

先巧用趣味故事引入，并以视频的形式呈现，激发了学生的学习兴趣，并从故事中体会反证法的内涵。

学生共同探讨总结出反证法的含义：
反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。

这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。

”这种证明的方法，叫做反证法。

附：故事一
南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。

乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。

”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。

”
实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即
可得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。

风水先生当然不会承认这个事实了。

那么，显然，他说的就是谬论了。

这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。

如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二。

故事二
相传在古代有一个贤臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他过去对国有功，采用了一个由命运来最后裁定的办法，用两张纸片，一张上写活字，一张上写死字，处决前由它来抽，抽到活字可赦免，而奸臣阴险歹毒，命人用两张纸片上都写上死字，凑巧这个诡计被贤臣的朋友知道了，悲痛地告诉了他，并表示要和他一起揭露奸臣的阴谋，这个贤臣想了想，高兴地说：“我有救了！”他叫这个朋友不要声张，处决前抽纸片时，只见他抽出一张纸片谁也不让看就吞了下去，监斩官只好看剩下的纸片是什么字了。

剩下的字无疑是个“死”字，于是这个贤臣就被赦免了。

贤臣为什么能死里逃生？贤臣运用了反证法。

“死”字的反面是“生”字。

三、从生活实际问题出发：
问题1、13个人中至少有两个人的生日在同一个月。

这一结论是否
正确？问题2、a、b、c三个人，a说b撒谎，b说c撒谎，c说a、b都撒谎。

则c必定是在撒谎，为什么？（分析:假设c没有撒谎,
则c话为真.那么a话为假且b话为假，由a话为假, 知b话为真. 这
与b话为假矛盾.那么假设c没有撒谎不成立;则c必定是在撒谎.）
让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉
反证法的步骤。

接着给出问题：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的
作用，你能不能总结一下应用反证法的步骤？
经过小组讨论学生不难总结其步骤，教师对其不完整的地方给以补充。

四、反证法的基本步骤：
（1）、反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真。

（2）、归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。

（3）、存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.
让学生在体验，探究中学到了知识，体现了学生的主体地位。

五、在此基础上又开始应用反证法证明数学问题：
思考：应用反证法的情形：
⑴直接证明困难;
⑵需分成很多类进行讨论．
⑶结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”-类命题；
⑷结论为“唯一”类命题；
反证法的思维方法：正难则反反设是反证法的基础，为了正确地作
出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的.
例如：
六、练习题1、一个三角形中不能有两个角是直角。

练习题2、两直线平行，同位角相等。

通过两个练习题，使学生在运用数学方法解决问题的过程中巩固方法。

七、我对设计的反思和分析：。