多元函数的可微性

摘要
对于多元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念和它们之间因果关系的研究是多元微分学中的一个难点.此文在分别给出了一系列关于多元函数可微、连续，偏导存在的定理之后，本文主要以二元函数为例，通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的关系进行了一些研究.多元函数微分学和一元微分学相比，虽然多元微分学有许多和一元微分学情形相似，但多元函数确也有不少质的飞跃，而从二元到三元以上的函数，则只有技复杂程度上的差别，而无本质上的不同.学习多元微分学就要抓住这两个特点，我们要看到它们的相同之处，又要分清它们不同之处.
关键词
连续性偏导存在性可微性
Abstract
For continuous multivariate function, the existence of partial derivation, differentiability of concept and Research on the causal relationship between them, is a difficult problem in multivariate differential science. In this paper respectively gives a series on the differentiability of multivariate function, can be partial to guide, after the continuous theorem, mainly two unary as a function of example, through concrete examples for some discussion on the relations of several important concepts of differential calculus of differential calculus. And compared, although there are many multivariate differential calculus and differential calculus similar, but a function of many qualitative leap has multiple functions, and from two unary to three unary, function above, only the skills of the differences, but not essentially different. Study of differential calculus to seize these two characteristics, only to see their similarities, pay attention to different points again.
Keywords
Continuity the existence of partial derivation differentiability
内蒙古财经学院本科毕业论文
多元函数的可微性
作者姚淑艳
系别统计与数学学院
专业数学与应用数学
年级 09 级
学号 902091125
指导教师王君
导师职称
一、绪论
在这里我们讨论多元函数的可微性，多元函数是一元函数的推广，所以它保留着一
元函数的一些性质，由于自变量有一个增加多个，就有了某些新的内容.
以前学习的时候，我们主要学习了一元函数，对于函数()0y f x =在x 极限存在、连续、可微，以及这三个概念之间的关系.例如它们之间有一些性质：可微必连续，但连续不一定可微，连续必有极限，但有极限不一定连续.
多元函数微分学是我们在大学时学习中的一个重点和难点，它涉及的内容是微积分学在多元函数中的体现，有关多元函数的连续性，可微性及偏导数存在之间的关系是我们在学习中容易发生模糊和不易把握的一个知识点. 在学习的时候容易混淆它们之间的关系。

对于多元函数，我们学到的主要是二元函数，它与一元函数有些不同，如它没有一元函数可导与可微的等价关系，也没有一元函数的“可导必连续”的关系.但二元函数的可微性是证明的.从二元函数的性质中，我们知道：若二元函数(),z f x y =在点
()000,p x y 可微，则函数(),f x y 在点0p 连续.因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续，有下列关系：偏导连续推出可微，可微推出连续，偏导存在；他们的反方向结论不成立，但其可加一些特定的条件使其成立.下面我们分别从二元函数的可微性、偏导存在性、连续性进行探讨，从而到它们之间进行探讨.
二、补充概念
（一）一元函数连续性的定义
设函数f 在某()0U x 内上定义，若()()0
0lim ,x x f x f x →=则称f 在点0x 连续.
（二）一元函数可微性的定义
设函数(),y f x =当自变量0x x =有增量x ∆时，若存在于无关的常数()0A x ，使得函数的增量()()00y f x x f x ∆=+∆-可表示为()()0y A x x x ο∆=∆+∆ ()0x ∆→，则称
()0f x x x =在处可微，()0A x x ∆称为()0f x x x =在处的微积分，记为
()()00
001
2
x x x x dy A x x df A x x ===∆=∆或.
（三）二元函数连续性的定义
设f 为定义在点点集2D R ∈上的二元函数，0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的
孤立点)，对于人给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()0P U P D δ∈⋂；,就有 ()()0f P f P -<ε， 则称f 关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数.
（四）二元函数可微性的定义
设函数)(,z f x y =在点()000,P x y ，的某邻域()0U p 内有定义，对于()0U p 中的点
()(),,P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为：
()()00,,z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-
()A x B y ορ=∆+∆+ （1）
其中,A B 是仅与点0P 有关的常数，ρ()ορ是较ρ较高的无穷小量，则称函数f 在点0P 可微，并称（1）式中关于,x y ∆∆的线性函数A x B y =∆+∆为函数f 在
点0P 的全微分，记作
()0
00,P dz df x y A x B y ==∆+∆ （2）
由（1）、（2）可见dz 是z ∆的线性主部，特别当,x y ∆∆充分小时，全微分dz 可作为全增量z ∆的近似值，即
()()()()0000,,f x y f x y A x x B y y ≈+-+-.
（五）二元函数偏导数的定义
设函数(),z f x y =，(),x y D ∈，若()00,x y D ∈，且()0,f x y 在0x 的某邻域内有定义，则当极限
()()()
00000000,,,lim
lim x x x f x y f x x y f x y x x
∆→∆→∆+∆-=∆∆，
存在时，称这个极限为函数f 在点()00,x y 关于x 的偏导数，记作
()00,x f x y 或
()
00,x y f
x ∂∂．
若(),z f x y =在点()
000,P x y 存在()00,f x y x ∂∂与()00,f x y y
∂∂，称(),z f x y =在点
()000,P x y 可偏导.
三、多元函数的连续性
若一元函数在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数在这点连续，但对于二元函数(),f x y 来说，即使它在某点()000,p x y 即存在关于x 的偏导数()00,x f x y ，又存在关于y 的偏导数()00,y f x y ，(),f x y 在()000,p x y 也不一定连续.甚至，即使在()000,p x y 的某邻域()0U p 存在偏导数(),x f x y （或(),y f x y ），而且(),x f x y （或(),y f x y ）在
()000,p x y 连续，也不能保证(),f x y 在()000,p x y 连续.但是，我们却有如下的定理. 定理 1 设函数(),f x y 在点()000,p x y 的某邻域()0U p 内有定义，若()0,f x y 作为y 的一元函数在点0y y =连续，(),x f x y 在()0U p 内有界，则(),f x y 在点()000,p x y 连续. 证明 任取)(()000,,x x y y U p ++∈则 )()(0000,,f x x y y f x y ++-
)()()()(00000000,,,,f x x y y f x y y f x y y f x y =++-+++- （3） 由于(),x f x y 在()0U p 存在，故对于取定的()000,,y y f x y +作为x 的一元函数在以
00x x x +和为端点的闭区间上可导，从而由一元函数微分学中的Lagrange 中值定理知，
存在(0,1)θ∈，使
0000(,)(,)f x x y y f x y y +∆+∆-+∆= 00(,)x f x x y y x θ+∆+∆∆
将它代入（3）式得
0000(,)(,)f x x y y f x y +∆+∆-
000000(,)(,)(,)x f x x y y x f x y y f x y θ=+∆+∆∆++∆- （4） 由于00(,)x x y y θ+∆+∆0()U p ∈，故00(,)x f x x y y θ+∆+∆有界，因而当(,)(0,0)x y ∆∆→时，有
00(,)0x f x x y y x θ+∆+∆∆→
又，据定理的条件知，0(,)f x y 在0y y =连续，故当(,)(0,0)x y ∆∆→时，又有
0000(,)(,)0f x y y f x y +∆-→
所以，由（4）知，有
00000
lim (,)(,)y x f x x y y f x y →→+∆+∆-=0
这说明(,)f x y 在00(,)x y 连续. 同理可证如下的定理
定理2 设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 有定义，(,)y f x y 在0()U p 内有界，
0(,)f x y 作为x 的一元函数在点0x x =连续，则(,)f x y 在点000(,)p x y 连续.
定理1和定理2可推广到更多元的情形中去.
四、多元函数的偏导数
由一元函数微分学可知，若()0f x x 在点可微，则函数增量
()()()()000,=f x x f x A x x A f x ο'+∆-=∆+∆其中.同样，若二元函数f 在点()00,x y 可微，则f 在()00,x y 处的全微分可表示成()()()0000,,f x x y y f x y A x B y ορ+∆+∆-=∆+∆+.下面我们来了解一下下面的定理.
定理3 若函数(,)f x y 在0p 00(,)x y 的某邻域内偏导数/x f ，/y f 及//yx f 存在，且//
yx f 在0p 对
y 连续，则偏导数//xy f 在0p 存在，且 ////0000(,)(,)xy yx f x y f x y =
证明 设000(,)p x y 的邻域为 ：{}000()(,)(,),(,)U p x y x U x y y δδ=∈∈ 又设x 在0x 有增量x ∆00(0,(,))x x x U x δ∆≠+∆∈，y 在0y 有增量y
00(0,(,))y y y U y δ∆≠+∆∈，则要证极限
////0000000(,)(,)
(,)lim x x xy
y f x y y f x y f x y y
→+∆-=∆ （5）
存在且值为//
00(,)xy f x y .
因为/x f 在0()U p 存在，所以
/0000000(,)(,)
(,)lim
x x f x x y y f x y y f x y y x
∆→+∆+∆-+∆+∆=∆
及 /0000000(,)(,)
(,)lim x x f x x y f x y f x y x
∆→+∆-=∆
都存在，将其代入（5）式右端得 //00(,)xy f x y 00
lim lim
y x ∆→∆→=
[][]
00000000(,)(,)(,)(,)f x x y y f x y y f x x y f x y y x +∆+∆-+∆-+∆-∆⋅∆
（6）
作辅助函数 (,)(,)(,)x y f x x y f x y ϕ=+∆-
因为/y f 在0()U p 存在，所以/
//(,)(,)(,)y y y x y f x x y f x y ϕ=+∆-在0()U p 存在，故对函数
0(,)x y ϕ，在以0y 和0y y +∆为端点的区间上应用Lagrange 中值定理，得
/
000000(,)(,)(,)y x y y x y x y y y ϕϕϕθ+∆-=+∆∆ (01)θ<<
而由(,)x y ϕ的构造可知，上式即
[]0000(,)(,)f x x y y f x y y +∆+∆-+∆[]0000(,)(,)f x x y f x y -+∆-
//0000(,)(,)y y f x x y y f x y y θθ⎡⎤=+∆+∆-+∆⎣⎦
y (01)θ<<
将其代入（6）式右端得
//
0000//
0000(,)(,)(,)lim lim
y y xy y x f x x y y f x y y y f x y y x θθ∆→∆→⎡⎤+∆+∆-+∆∆⎣⎦=∆∆ //000000(,)(,)
lim lim y y y x f x x y y f x y y x
θθ∆→∆→+∆+∆-+∆=∆ (0)y ∆≠ 又因为//
yx f 在0()U p 存在，所以
//00000
(,)(,)
lim
y y x f x x y y f x y y x
θθ∆→+∆+∆-+∆∆//
00(,)yx f x y y θ=+∆
//////
0000000
(,)lim (,)(,)xy yx yx y f x y f x y y f x y θ∆→=+∆= （//yx f 在0p 对y 连续）
定理得证.
五、多元函数的可微性
首先我们来介绍一下多元函数可微性的判定定理.
（一）判定定理
定理 4 如果函数(),z f x y =在点(),x y 的某一邻域内偏导数z
x
∂∂和z y ∂∂都存在， 且
z y ∂∂在(),x y 关于x 连续（或z
x ∂∂在(),x y 关于y 连续），则(),z f x y =在点(),x y 可微分. 证明 因为
()(),,z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-
()()()(),,,,f x x y y f x x y f x x y f x y =+∆+∆-+∆++∆- 又因为
()()()1,,,x f x x y f x y f x y x x ε+∆-=∆+∆，
()()()2,,,y f x x y y f x x y f x x y y y ε+∆+∆-+∆=+∆∆+∆,
其中120
lim 0,lim 0x x εε∆→∆→==.
又因为(),y f x y 在(),x y 关于x 连续，所以
()()3,,y f x x y f x y ε+∆=+，
其中30
lim 0x ε∆→=.
所以
()()()23,,,y f x x y y f x x y f x x y y y y εε+∆+∆-+∆=+∆∆+∆+∆，
所以
()()123,,x y z f x y x f x y y x y y εεε∆=∆+∆+∆+∆+∆.
又因为
123εεε≤++,
所以
()()(),,x y z f x y x f x y y ορ∆=∆+∆+，
所以函数(),z f x y =在点(),x y 可微分. 由该定理可得到如下两个推论.
推论 1 如果函数(),z f x y =在点(),x y 的某一邻域内偏导数z
x
∂∂和z y ∂∂都存在，且z y ∂∂ 在点(),x y 连续，则函数(),z f x y =在点(),x y 可微分.
推论 2 如果函数(),z f x y =在点(),x y 的某一邻域内有连续的偏导数z
x
∂∂和z y ∂∂，则函 数(),z f x y =在点(),x y 可微分.
六、多元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系
上面我们分别介绍了多元函数的连续性，偏导存在性和可微性的定义及一些性
质，为了更好的掌握多元函数可微性，下面我们来讨论一下它们之间的关系。

再根据例题及定理来具体了解以便于更好地把握它们之间的关系。

（一）不确定性关系
1. 函数(),f x y 在点()000,P x y 连续，但偏导不一定存在. 例1
证明函数z =()0,0连续但偏导数不存在. 证明 因为
()(
(),0,0lim
00,0x y z →==
，所以z =()0,0连续，又因为
()()0,00,0x
z x z x x
∆+∆-=∆∆，当0x ∆→时，极限不存在，因此()0,0x z 不存在.同理可得，
()0,0y z 也不存在.
2. 函数(),f x y 在点()000,P x y 偏导存在，但同极限不存在，不连续不可微.
例2
证明函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=⎪⎪+=⎩
在原点两个偏导存在，但不可微.
证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00
(0,0)lim lim 0x x x f x f f x
x ∆→∆→+∆--===∆∆
同理可求得(0,0)0y f =
下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则
[
](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=
⎣⎦
应是较ρ=
22
0lim
lim
f df
x y
x y ρρρ
→→∆-∆∆=∆+∆
当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则
(,)(0,0)2222(,)(0,0)lim
lim 11x y y mx
x y xy m m
x y m m →=→==+++ 由于动点沿不同斜率的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.
例 3 函数22,0
(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+=⎪
=⎨⎪≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不
连续.
证明 由偏导数定义：0
0(0,0)(0,0)
(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x
∆→∆→+∆-==∆=∆ 同理可求得(0,0)0y f = 因为
22(,)(0,0)
(,)(0,0)
lim (,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=
+=≠=
故函数22,0
(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+=⎪
=⎨⎪≠⎩
在点(0,0)处不连续.
3. 函数(),f x y 在点()000,P x y 连续，偏导存在且可微，但偏导数不一定连续.
例4 证明函数()2222
22221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+⎪
=⎨⎪⎪+=⎩
在点（0，0）处可微，
但(,)x f x y ，(,)y f x y 在（0，0）点却不连续. 证明 对于任意的22(,),0x y x y +≠，有
222222121
(,)2sin
cos x x f x y x x y x y x y =-+++
222222
121
(,)2sin
cos y y f x y y x y x y x y
=-+++ （1）当y x =时，极限22
111
lim (,)lim(2sin
cos )22x x x f x x x x x x
→→=-不存在，则(,)x f x y 在（0，0）点间断.同理可证(,)y f x y 在（0，0）点间断.
（2）因
20
0(,0)(0,0)1
(0,0)lim
lim sin 0x x x f x f f x x x
→→-=== 20
0(0,)(0,0)1
(0,0)lim
lim sin 0y y y f y f f y y y
→→-=== 则
(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=
222
22222
11(,)(0,0)()sin
sin ((,):0)f f x y f x y x y x y x y ρρ
∆=-=+=+≠+对于任意 从而
22
2
1
sin
1
lim
lim
lim sin
0f df
ρρρρρρρρ
ρ
→→→∆-===
即函数(,)f x y 在点（0，0）可微.
4. 函数(),f x y 在点()000,P x y 有极限，连续且偏导数存在，但可能不可微.
例5
证明函数(,)f x y =
0，0）连续，但它在点（0，0）不可微.
证明 （1）
因为00
lim (,)0(0,0)x x y y f x y f →→→→===
故函数(,)f x y =在点(0,0)连
续.
（2）因为
(0,0)(0,0)f f x y f ∆=+∆+∆-=
(0,0)(0,0)0x y df f dx f dy =+=
所以
lim
x y f df
ρρ
∆→∆→→∆-=
当动点(,)x y 沿着线y mx = 趋于(0,0)时，有
0x y ∆→∆→=
≠
即0
lim
0f df
ρρ
→∆-≠，故(,)f x y 在原点(0,0)不可微.
（二）确定性关系
1. 函数(),f x y 在点()000,P x y 可微分，则函数(),f x y 在点()000,P x y 一定连续. 定理 5 设函数(),z f x y =在点(),p x y 可微，则函数(),z f x y =在该点连续. 证明：由全微分定义可知：函数).(y x f z =在点),(y x 的全增量
）
ρο()
,(),(+∆+∆=∆-∆+∆+=∆y B x A z y x f y y x x f z
可得0lim 0
=∆→z ρ.
从而
),(]),([lim ),(lim 0
)
0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ
因此函数).(y x f z =在点),(y x 处连续．
2. 函数(),f x y 偏导数存在且连续，则函数(),f x y 一定可微.
定理 6 设函数(),z f x y =在点()00,x y 的邻域内存在偏导数，并且偏导数连续，有
()()()0000,,x y z f x y x f x y y ορ''∆=∆+∆+，即可微. 证明： 我们把全增量z ∆写作
()()0000,,z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-
()()()()00000000,,,,f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 在第一个括号里，它是函数()0,f x y y +∆关于x 的偏增量；在第二个括号里，则是函数
()0,f x y 关于y 的偏增量.对它们分别用一元函数的拉格朗日中值定理，得
()()01000212,,,0,1x y z f x x y y x f x y y y θθθθ∆=+∆+∆∆++∆∆<< (7)
由于x f 与y f 在点()00,x y 连续，因此有
()()01000,,x x f x x y y x f x y θα+∆+∆∆=+ （8）
()()00200,,y y f x y y f x y θβ++∆=+ （9）
其中当()(),0,0x y ∆∆→时，0,0αβ→→，将（8），（9）带入（7）式，则得
()()0000,,x y z f x y x f x y y x y αβ∆=∆+∆+∆+∆，
故函数f 在点()00,x y 可微.
3. 函数(),f x y 在点(),P x y 可微分，则函数在(),P x y 的偏导数一定存在. 定理 7 设函数(),z f x y =在点(),P x y 可微，即()z A x B y ορ=++成立， 则函数(),z f x y =在该点的偏导数
,z z
A B x x
∂∂==∂∂. 证明：设函数).(y x f z =在点),(y x P 可微分．于是，对于点P 的某个领域内的任意一点),(y y x x P ∆+∆+'，式子(10)总成立
)(ρο+∆+∆=∆y B x A z （10） 特别当0=∆y 时，（10）式也应成立，这时x ∆=ρ，所以（10）式成为
)(),(),(x x A y x f y x x f ∆+∆⋅=-∆+ο．
上式两边各除以,x ∆在令0→∆x 而取得极限，就得
A x
y x f y x x f x =∆-∆+→∆)
,(),(lim
，
从而偏导数
x
z
∂∂存在，且等于A.同样可证B y z =∂∂.
所以该定理得证．
由于多元函数跟二元函数相同，只是自变量的个数不同以及他们的复杂的程度不同.
所以由二元推广到三元及以上其性质不变.
综上所述，我们可以知道，多元函数的偏导数连续则多元函数必可微，函数可微可推出多元函数连续以及多元函数偏导数存在，但是我们不能根据多元函数连续推出其函数的偏导数存在，同时也不能根据函数偏导数存在推出函数连续，函数连续、函数偏导存在都不能推出函数可微，函数可微也不能推出偏导数连续.因此，我们可以用下图来说明它们之间的关系：
七、结束语
这就是所讨论的多元函数的可微性，把握其定义和用法以及其解法能够解决很多问题，这即可以体现在理论研究中，又在处理许多实际问题时也有一定的使用价值.通过以上的内容，我们了解了连续性，偏导存在性和可微性以及他们之间的联系. 在这一过程中，我们分析了多元函数的可微性问题的类型，这让我们体会到前人探索的艰辛，同时也激发了我对数学的学习的向往.
参考文献
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师范大学自然科学学报，2006.1：32—34.
5.《2012数学复习全书》李永乐国家行政学院出版社 2011年
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