构造三角形巧解代数问题

构造三角形巧解代数问题

三角形是我们熟知的几何图形，它蕴含着正弦定理、余弦定理、面积公式等性质定理.如果在解决一些代数问题时，能根据题目条件，构造出合适的三角形，然后借助三角形自身的性质和结论，不仅可以使问题的解决简捷巧妙，还可以开阔我们的视野.本位通过实例谈谈三角形在以下几个问题中的应用

一 求值

例1 求22

sin 20cos 652sin160cos65++⋅的值

解：22sin 20cos 652sin160cos65++⋅变形可得： 22sin 20sin 252sin 20sin 25++⋅ 由2025135180++=可以构造出ABC ∆，如图1所示：

图1

其中20,25,135A B C ===，角,,A B C 的对边分别为,,a b c

由正弦定理可得：2sin 20sin 25sin135

a b c R ===，其中R 为ABC ∆的外接圆半径 则2sin 20,sin 25,sin1352222

a b c

R R R ==== 所以22222sin 20sin 252sin 20sin15=2

a b R ++++⋅（） （1） 又因为22222

2cos a b a b ab C c +=+-= 代入（1）可得：222

21sin 20sin 252sin 20sin15(2)2c R ++⋅== 二 求最值

例2 设,(0,)x y ∈+∞，若2241x y xy ++=，求2x y +的最大值

解：2241x y xy ++=变形可得：221

(2)22()14

x y x y +-⨯⨯⨯-= （*） （*）式与余弦定理222

2cos b c bc A a +-=类比可以出构造ABC ∆，如图2所示： C

B A

c a

b

图2 其中12,,1,cos 4

AB x AC y BC A ====- 由1cos 4

A =-

可得：sin 4A = 又因为1BC =

由正弦定理可得：215R =

,其中R 为ABC ∆外接圆的半径 于是22(sin sin )4sin cos 22

B C B C x y AB AC R B C R +-+=+=+=

又因为sin sin cos =2224

B C A A π+-==

所以2cos =154252

B C B C x y --+= 所以当且仅当B C =时，即ABC ∆为等腰三角形时，2x y +

三 解方程组

例3 已知,,(0,)a b c ∈+∞，且22222291625

a b ab b c bc c a ca ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求ab bc ac ++ 解：22222291625a b ab b c bc c a ca ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩变形可得：22222222222cos 3322cos 42322cos 53a b ab b c bc c a ca πππ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩

（1） （） （3） (1)式与余弦定理222

2cos a b ab C c +-=类比可以构造出AOB ∆，其中A

C B

1 y 2x

,,3OA a OB b AB ===， 23AOB π∠=

(2)式与余弦定理2222cos b c bc A a +-=类比可以构造出BOC ∆，其中

,,4OB b OC c BC ===，23BOC π∠=

(3)式与余弦定理2222cos a c ac B b +-=类比可以构造出AOC ∆的三个边长，其中

,,5OA a OC c AC ===, 23

AOC π∠= 由此可以构造出ABC ∆，如图3所示：

图3

其中ABC ∆是以角B 为直角的直角三角形

由图3可知：ABC AOB AOC BOC S S S S ∆∆∆∆=++ 代入数据可得：121212sin sin sin 6232323

ab bc ac πππ++=

化简可得：ab bc ac ++四 证明等式

例4 证明：231cos

cos cos 7772πππ-+= 证明：作7A π∠=，如图4所示：

图4

在A ∠的两边上分别取点,,,B C D E ,使得1AB BC CD DE ==== B

C D

E A B

C

5 3 4

O a

b c A

利用三角形性质可得： 23,,777

BCA CBD CDB DCE DEC ADE π

ππ∠=∠=∠=∠=∠=∠= 所以2=2cos 7BD π，=2cos 7AC π,3=2cos 7

CE π 即2312cos ,2cos 2cos 777

AD AB BD AE AC CE πππ=+=+=+=+ 又因为ADE ∆是等腰三角形

所以AD AE =，即2312cos 2cos 2cos 777

πππ+=+ 化简可得：231cos cos cos 7772πππ-+= 五 证明不等式

例5 已知01,01,01x y z <<<<<<，求证：(1)(1)(1)1x y y z z x -+-+-< 解:(1)(1)(1)1x y y z z x -+-+-<变形可得：

111(1)sin (1)sin (1)sin 232323x y y z z x πππ-+-+-< 111(1)sin ,(1)sin ,(1)sin 232323

x y y z z x πππ---与三角形面积公式 111sin ,sin ,sin 222

ab C ac B bc A 类比可以构造出ABC ∆，如图5所示： 图5

其中ABC ∆为边长1的等边三角形

设,,AF x BD y CE z ===，则1,1,1FC x AD y BE z =-=-=-

由图形可得： AFD BDE CEF ABC S S S S ∆∆∆∆++<

代入数据可得：111(1)sin (1)sin (1)sin 232323x y y z z x πππ-+-+-< 化简得：(1)(1)(1)1x y y z z x -+-+-< A

B C

•D •F

•E 1－y y 1－z z x

1－x