飞行器结构力学电子教案4-1
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还必需进行位移的校核。
例4-1 求解图所示静不定桁架的内 力，已知桁架水平杆及垂直杆的截 面面积均为A，斜杆的断面面积 为 2A，各杆子的材料相同。
解 (1) 分析静不定次数。结构具有4个自由结点，有8个自由度， 而杆子数目为10，相当于10个约束。故 f = 2。 (2) 选取基本系统。 选杆2-4及杆 3-5的轴力为多余约束力，切断杆 2-4及杆3-5的静定系统为基本系 统。求出<P>状态和单位状态<1>、 <2>的内力图。
所谓静不定结构是指：具有多余约束的几何不变体。 或 f > 0 的几何不变体。
所谓多余约束是指：去掉该约束后，不会改变原结构 的几何不变性。
从静不定结构的运动学上：
结构的自由度数 N
< 结构的约束数 C
从静不定结构的 静力学上：
独立的静力平衡方程数目N < 未知力的数目C
通常，将多余约束(多余未知力)的数目称为结构的静 不定次数或静不定度。
移呢？
静定结构的 内力和位移 计算方法
静不定结构中各元件的内力
SiR
静不定结构
当 X1 和 X2 为已知时， 静不定结 构中各元件的内力便可以用叠加 原理，通过下式求出：
SiR SiP Si1 X1 Si2 X 2
问题关键是： 如何确定 X1 和 X2 呢？
4.2 力法基本原理与力法正则方程
1 2
24 2P 55
1 2
21 55
P
其它各杆的轴向力均可如上法求出， 最后绘制内力图。
例4-2 求图示刚架的内力。刚架几何形 状、截面惯性矩、载荷及约束情况均如 图示。
解 (1) 分析刚架的静不定次数。外部约 束多余2个，故 f = 2。
(2) 选取基本系统。 选1点处的两个支座 反力为多余约束力，去掉1点的支座的系 统为基本系统。求出<P>状态和单位状 态<1>、<2>的内力图。
(3) 计算位移影响系数，可利用图形互乘法。
11
a3 6EJ1
a3 EJ1
7a3 6EJ1
12
21
a3 2EJ1
53Pa3 1P 96EJ1
Pa3 2P 4EJ1
22
a3 3EJ1
(4) 建立力法正则方程，并解之。
7 6
X1
1 2
X
2
53 96
P
0
1 2
X1
1 3
X
2
1 4
P
0
17 X1 40 P
力单独作用下产生在用下外的的载效内荷应力作之和。
分解为三
个力状态
的叠加
SiR
＝
SiR
＝
< R >状态 外载荷在基 本系统上引 起的内力
未知力X1 在 基本系统上 引起的内力
未知力X2 在 基本系统上 引起的内力
SiP
＋
SiX1
＋
SiX 2
< P >状态
< X 1 >状态
< X 2 >状态
由叠加原理：一线弹性体在诸外力作用下产生的效应等于每个 力单独作用下产生的效应之和。
建立补 充方程
4.2 力法基本原理与力法正则方程
本节将通过一个2次静 不定结构的例子，说 明力法基本原理和力
法正则方程。
4.2 力法基本原理与力法正则方程
对于具有2个多余约 束的静不定结构。
静不定结构
选取1处的2个约束为多余约束，解除 之，代之以约束力。
注 意：
1、解除多余 约束，不是简 单地将约束去 掉，而必须用 相应的约束力 来代替。
由线性代数的知识可知： 当方程的数目小于未知量的数目时，满足这组方程
的未知量的解有无穷多组。
因此，对于静不定结构：
在满足静力平衡方程的无穷多组解中，只有其中一 组解是真实的，这组解必须同时满足变形协调方程。
换句话讲，仅满足静力平衡方程的解，不一定是静 不定结构的真实内力解。
只有满足静力平衡条件，同时又满足变形协调条件 的内力，才是静不定结构的真正的内力。
外载荷或< P >状态
Δ iP δi j
外载荷在第 i 个位移方向上引起的位移。
所求位移的第位2个置下1和、标方表δ向示i i载>荷0作用位置； 第1个2下、标δ表i示j =所δ求j位i 移位置。
单位力 ( i ≠ j )
第 j 个单位力在第 i 个位移方向上引起的位移。
所求位移的位置和方向
一般地，对于一个 n 次静不定结构：
在切口X1和X2方 切口将X1<和XX12>方状态和切 < X口2 X>1状和X2方
向的相对位移为 向的态相的对位位移移，分别向用的单相位对状位移
Δ1P和Δ2P 。
为δ11态和<δ211 。>和单位状为态δ1<2和2 δ>22 。
Δ11 11 X1 Δ21 的 21位X1移Δ来12 表 示12 X。2 Δ 22 22 X 2
X2
9 80
P
(5) 利用叠加原理求刚架内力，内力可按 下式计算，
M A M p M1X1 M2X2
例如，刚架中点A、2、3处的弯矩分别为
M
A
0
17 40
P
a 2
9P 80
0
17 80
Pa
Pa 17
9P
3
M2
2
P a 0 Pa
40
80 40
M3
Pa 2
17 40
Pa
9P 80
a
3 80
根据结构几何组成分析，正确判断多余约束数——静不定次 数。
解除多余约束，转化为静定的基本系统。多余约束代以多余 未知力——基本未知力。
分析基本系统在单位基本未知力和外界因素作用下的位移， 建立位移协调条件——力法典型方程或正则方程。
从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。静 不定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。
4.2 力法基本原理与力法正则方程
对于具有2个多余约 束的静不定结构。
静不定结构
选取1处的2个约束为多余约束，解除 之，代之以约束力。
注 意：
2、约束力必 须是成对的出 现，且大小相 等、方向相反。 这样的一对约 束力构成一对 自平衡力系。
4.2
力法基本原理与力法正则方程 与原静不定
对于具有2个多余约 结解构除相多余比约较束后，,
P
静不定结构
转化为
1 X1 X2
X1 和 X2 应满足1点处的变形协
调条件：Δ1 = 0， Δ2 = 0
分别求出< P > 、< X 1 >、 < X 2 >三个状态在1处的位移值：
< P>
<X1>
<X2>
外力单独作用在 X1 单独作用在
基本系统上，在 基本系统上，
切口X意须尽欢，莫使金樽空对月。05:39:5605:39:5605:3910/22/2020 5:39:56 AM
•
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20.10.2205:39:5605:39Oc t-2022- Oct-20
•
加强交通建设管理，确保工程建设质 量。05:39:5605:39:5605:39Thursday, October 22, 2020
将已知外力和多 余未知力作用在
束的静不定结构。 差原别静在不定哪结里构转？ 基本系统上。
化成静定的。
P
静不定结构
X1
解除多余约束后的结构，
X2
称之为基静本不系定统结构的基本X1 和X2 应满足
系统或或基基本本结结构构。
约束处的
变形协调条件
由叠加原理：一线静 不弹定性结体构在诸外力作用下产生的效应等于每个
4.3 静不定结构内力计算
(1) 准确判断系统的静不定次数 f ； (2) 选取并解除多余约束(即选取基本系统)，分别求出< P >状
态和各单位状态< i >内力，并作出各自的内力图； (3) 利用单位载荷法求位移影响系数； (4) 建立力法正则方程，并解此方程，首先求出多余未知力； (5) 利用叠加原理求出结构真实内力，并绘制内力图。 (6) 对计算结果进行校核。对计算结果除需进行力的校核外，
Pa
最后绘制内力图。
轴力图和剪力图也可以按下式计算，具体计算从略。
N NP N1X1 N2 X 2 Q QP Q1X 2 Q2 X 2
从静不定问题转化为静定问题，多余约束的选取不 是唯一的，因此力法求解的基本系统也不是唯一的。
例如：对于图示的两次静不定刚架，可以选取不同的 多余约束，形成不同的基本系统。
•
安全在于心细，事故出在麻痹。20.10.2220.10.2205:39:5605:39:56October 22, 2020
< 2 >状态
X 1 =1时，在 基本系统上 引起的内力
X 2 =1时，在 基本系统上 引起的内力
SiR SiP ＋ Si1 X1 ＋ Si2 X 2
< P > 状态和< 1 >状态、 < 2 >状态的内力求解：
P
SiP
Si1
Si2
< P >状态
< 1 >状态 １
< 2 >状态 １
如何求这三个状 态下的内力和位
δii = <i> ×<i> δij = <i> ×<j>
= δji ΔiP =<i>×<P>
解此正则方程，求出多余未知力X1、X2、……Xn。
叠加< P >状态和 n 个单位状态< i > 的内力，求出静不定结构
的全部内力：
n
SiR SiP Sij X j
j 1
将静不定问题转化为静定问题，以多余未知力作为基本未知 量，利用变形协调条件建立补充方程，从而求解结构内力的方 法，称为力法( force method )。
首先解除n个多余约束代之以n个多余未知力，需要作( n+1 ) 个状态，即一个< P >状态和 n 个单位状态< i > ( i=1~n )。
按照其变形协调条件组成的力法正则方程为
11X1 12 X 2 1n X n 1P 0
21
X
1
22 X 2
2n Xn
2P
0
n1 X1 n2 X 2 nn X n nP 0
SiR SiP Si1 X1 Si2 X 2
求出静不定结构的全部内力
δ11、δ21、δ12、δ22 — 单位状态影响系数。 Δ1P、Δ2P — 载荷影响系数。
可用单位 载荷法计
算获得
Δ1P ＝< 1 > ×< P > Δ2P ＝< 2 > ×< P >
δ11 ＝< 1> ×< 1 > δ12 ＝ δ12 ＝ < 1 > ×< 2 > δ22 ＝< 2 > ×< 2 >
(3) 计算位移影响系数
(4) 建立力法正则方程，并解之。
1 4X1 2 X2 0
1 2
X1
7 2
X2
3
2 2
P
0
X1
32 55
P
X2
24 2 55
P
(5) 利用叠加原理求各杆内力。各杆的内力可按下式计算，
N N P N1 X1 N2 X 2
例如，杆2-5的轴力为
N 25
0
3
2P 55
飞行器结构力学基础
——电子教学教案
西北工业大学航空学院 航空结构工程系
第四章
静不定结构的内力与变形计算
Internal Forces and Deformations of Statically Indeterminate Structures
第一讲 静不定结构的概念 力法基本原理与力法正则方程
4.1 静不定结构的概念
1211XX11
12 X 2 22 X 2
Δ1P Δ2P
Δ1 0 Δ2 0
这就是2次静不定结 构的典型方程，也称 为正则方程。
1211XX11
12 X 2 22 X 2
Δ1P Δ2P
Δ1 0 Δ2 0
求出多余未知力：X1 和 X2
叠加< P > 状态和单位状态< 1 >和 < 2 >
静定结构
运动学： 具有最少必需约束。
静力学： 静力平衡方程数目等于
未知力数目。 内力求解方法：
仅由静力平衡条件即可 求出全部未知力，或满足 静力平衡条件的内力即为 其真实内力。
静不定结构
运动学：
具有多余约束。
静力学：
静力平衡方程数目小于未知
力数目。
内力求解方法： 静力平衡条件
平衡方程
变形协调条件 物理关系式
的相对位移为 方向的相对位
Δ1P和Δ2P 。
移为Δ11和Δ21 。
由叠加原理和变形协调条件：
Δ11 Δ 21
Δ12 Δ 22
Δ1P Δ2P
Δ1 0 Δ2 0
X2 单独作用在 基本系统上， 在切口X1和X2 方向的相对位 移为Δ12和Δ22 。
变形协 调方程
<P> 状态下： <1>状态下：在 <2>状态下：在
解法 1：
解法 2： 解法3： 原静不定问题
解法 4： 解法 5： 原静不定问题
力法求解的基本系统不同，计算得到的多余未知力的 值可能不相同，但叠加得到的静不定结构的最终内力 是相同的。
不同的基本系统，带来不同的计算工作量。因此，要 合理选取基本系统，以减少计算工作量。
•
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20.10.2220.10.22Thursday, October 22, 2020
SiR
＝
SiR
＝
< R >状态
SiR SiP SiX1 SiX 2
SiP
＋
SiX1
＋
SiX 2
< P >状态
< X 1 >状态
< X 2 >状态
将< X 1 >状态、 < X 2 >状态分别用单位状态来表示，
单位状态
单位状态
SiP
＋
Si1 X1 ＋
Si2 X 2
< P >状态
< 1 >状态
例4-1 求解图所示静不定桁架的内 力，已知桁架水平杆及垂直杆的截 面面积均为A，斜杆的断面面积 为 2A，各杆子的材料相同。
解 (1) 分析静不定次数。结构具有4个自由结点，有8个自由度， 而杆子数目为10，相当于10个约束。故 f = 2。 (2) 选取基本系统。 选杆2-4及杆 3-5的轴力为多余约束力，切断杆 2-4及杆3-5的静定系统为基本系 统。求出<P>状态和单位状态<1>、 <2>的内力图。
所谓静不定结构是指：具有多余约束的几何不变体。 或 f > 0 的几何不变体。
所谓多余约束是指：去掉该约束后，不会改变原结构 的几何不变性。
从静不定结构的运动学上：
结构的自由度数 N
< 结构的约束数 C
从静不定结构的 静力学上：
独立的静力平衡方程数目N < 未知力的数目C
通常，将多余约束(多余未知力)的数目称为结构的静 不定次数或静不定度。
移呢？
静定结构的 内力和位移 计算方法
静不定结构中各元件的内力
SiR
静不定结构
当 X1 和 X2 为已知时， 静不定结 构中各元件的内力便可以用叠加 原理，通过下式求出：
SiR SiP Si1 X1 Si2 X 2
问题关键是： 如何确定 X1 和 X2 呢？
4.2 力法基本原理与力法正则方程
1 2
24 2P 55
1 2
21 55
P
其它各杆的轴向力均可如上法求出， 最后绘制内力图。
例4-2 求图示刚架的内力。刚架几何形 状、截面惯性矩、载荷及约束情况均如 图示。
解 (1) 分析刚架的静不定次数。外部约 束多余2个，故 f = 2。
(2) 选取基本系统。 选1点处的两个支座 反力为多余约束力，去掉1点的支座的系 统为基本系统。求出<P>状态和单位状 态<1>、<2>的内力图。
(3) 计算位移影响系数，可利用图形互乘法。
11
a3 6EJ1
a3 EJ1
7a3 6EJ1
12
21
a3 2EJ1
53Pa3 1P 96EJ1
Pa3 2P 4EJ1
22
a3 3EJ1
(4) 建立力法正则方程，并解之。
7 6
X1
1 2
X
2
53 96
P
0
1 2
X1
1 3
X
2
1 4
P
0
17 X1 40 P
力单独作用下产生在用下外的的载效内荷应力作之和。
分解为三
个力状态
的叠加
SiR
＝
SiR
＝
< R >状态 外载荷在基 本系统上引 起的内力
未知力X1 在 基本系统上 引起的内力
未知力X2 在 基本系统上 引起的内力
SiP
＋
SiX1
＋
SiX 2
< P >状态
< X 1 >状态
< X 2 >状态
由叠加原理：一线弹性体在诸外力作用下产生的效应等于每个 力单独作用下产生的效应之和。
建立补 充方程
4.2 力法基本原理与力法正则方程
本节将通过一个2次静 不定结构的例子，说 明力法基本原理和力
法正则方程。
4.2 力法基本原理与力法正则方程
对于具有2个多余约 束的静不定结构。
静不定结构
选取1处的2个约束为多余约束，解除 之，代之以约束力。
注 意：
1、解除多余 约束，不是简 单地将约束去 掉，而必须用 相应的约束力 来代替。
由线性代数的知识可知： 当方程的数目小于未知量的数目时，满足这组方程
的未知量的解有无穷多组。
因此，对于静不定结构：
在满足静力平衡方程的无穷多组解中，只有其中一 组解是真实的，这组解必须同时满足变形协调方程。
换句话讲，仅满足静力平衡方程的解，不一定是静 不定结构的真实内力解。
只有满足静力平衡条件，同时又满足变形协调条件 的内力，才是静不定结构的真正的内力。
外载荷或< P >状态
Δ iP δi j
外载荷在第 i 个位移方向上引起的位移。
所求位移的第位2个置下1和、标方表δ向示i i载>荷0作用位置； 第1个2下、标δ表i示j =所δ求j位i 移位置。
单位力 ( i ≠ j )
第 j 个单位力在第 i 个位移方向上引起的位移。
所求位移的位置和方向
一般地，对于一个 n 次静不定结构：
在切口X1和X2方 切口将X1<和XX12>方状态和切 < X口2 X>1状和X2方
向的相对位移为 向的态相的对位位移移，分别向用的单相位对状位移
Δ1P和Δ2P 。
为δ11态和<δ211 。>和单位状为态δ1<2和2 δ>22 。
Δ11 11 X1 Δ21 的 21位X1移Δ来12 表 示12 X。2 Δ 22 22 X 2
X2
9 80
P
(5) 利用叠加原理求刚架内力，内力可按 下式计算，
M A M p M1X1 M2X2
例如，刚架中点A、2、3处的弯矩分别为
M
A
0
17 40
P
a 2
9P 80
0
17 80
Pa
Pa 17
9P
3
M2
2
P a 0 Pa
40
80 40
M3
Pa 2
17 40
Pa
9P 80
a
3 80
根据结构几何组成分析，正确判断多余约束数——静不定次 数。
解除多余约束，转化为静定的基本系统。多余约束代以多余 未知力——基本未知力。
分析基本系统在单位基本未知力和外界因素作用下的位移， 建立位移协调条件——力法典型方程或正则方程。
从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。静 不定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。
4.2 力法基本原理与力法正则方程
对于具有2个多余约 束的静不定结构。
静不定结构
选取1处的2个约束为多余约束，解除 之，代之以约束力。
注 意：
2、约束力必 须是成对的出 现，且大小相 等、方向相反。 这样的一对约 束力构成一对 自平衡力系。
4.2
力法基本原理与力法正则方程 与原静不定
对于具有2个多余约 结解构除相多余比约较束后，,
P
静不定结构
转化为
1 X1 X2
X1 和 X2 应满足1点处的变形协
调条件：Δ1 = 0， Δ2 = 0
分别求出< P > 、< X 1 >、 < X 2 >三个状态在1处的位移值：
< P>
<X1>
<X2>
外力单独作用在 X1 单独作用在
基本系统上，在 基本系统上，
切口X意须尽欢，莫使金樽空对月。05:39:5605:39:5605:3910/22/2020 5:39:56 AM
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将已知外力和多 余未知力作用在
束的静不定结构。 差原别静在不定哪结里构转？ 基本系统上。
化成静定的。
P
静不定结构
X1
解除多余约束后的结构，
X2
称之为基静本不系定统结构的基本X1 和X2 应满足
系统或或基基本本结结构构。
约束处的
变形协调条件
由叠加原理：一线静 不弹定性结体构在诸外力作用下产生的效应等于每个
4.3 静不定结构内力计算
(1) 准确判断系统的静不定次数 f ； (2) 选取并解除多余约束(即选取基本系统)，分别求出< P >状
态和各单位状态< i >内力，并作出各自的内力图； (3) 利用单位载荷法求位移影响系数； (4) 建立力法正则方程，并解此方程，首先求出多余未知力； (5) 利用叠加原理求出结构真实内力，并绘制内力图。 (6) 对计算结果进行校核。对计算结果除需进行力的校核外，
Pa
最后绘制内力图。
轴力图和剪力图也可以按下式计算，具体计算从略。
N NP N1X1 N2 X 2 Q QP Q1X 2 Q2 X 2
从静不定问题转化为静定问题，多余约束的选取不 是唯一的，因此力法求解的基本系统也不是唯一的。
例如：对于图示的两次静不定刚架，可以选取不同的 多余约束，形成不同的基本系统。
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安全在于心细，事故出在麻痹。20.10.2220.10.2205:39:5605:39:56October 22, 2020
< 2 >状态
X 1 =1时，在 基本系统上 引起的内力
X 2 =1时，在 基本系统上 引起的内力
SiR SiP ＋ Si1 X1 ＋ Si2 X 2
< P > 状态和< 1 >状态、 < 2 >状态的内力求解：
P
SiP
Si1
Si2
< P >状态
< 1 >状态 １
< 2 >状态 １
如何求这三个状 态下的内力和位
δii = <i> ×<i> δij = <i> ×<j>
= δji ΔiP =<i>×<P>
解此正则方程，求出多余未知力X1、X2、……Xn。
叠加< P >状态和 n 个单位状态< i > 的内力，求出静不定结构
的全部内力：
n
SiR SiP Sij X j
j 1
将静不定问题转化为静定问题，以多余未知力作为基本未知 量，利用变形协调条件建立补充方程，从而求解结构内力的方 法，称为力法( force method )。
首先解除n个多余约束代之以n个多余未知力，需要作( n+1 ) 个状态，即一个< P >状态和 n 个单位状态< i > ( i=1~n )。
按照其变形协调条件组成的力法正则方程为
11X1 12 X 2 1n X n 1P 0
21
X
1
22 X 2
2n Xn
2P
0
n1 X1 n2 X 2 nn X n nP 0
SiR SiP Si1 X1 Si2 X 2
求出静不定结构的全部内力
δ11、δ21、δ12、δ22 — 单位状态影响系数。 Δ1P、Δ2P — 载荷影响系数。
可用单位 载荷法计
算获得
Δ1P ＝< 1 > ×< P > Δ2P ＝< 2 > ×< P >
δ11 ＝< 1> ×< 1 > δ12 ＝ δ12 ＝ < 1 > ×< 2 > δ22 ＝< 2 > ×< 2 >
(3) 计算位移影响系数
(4) 建立力法正则方程，并解之。
1 4X1 2 X2 0
1 2
X1
7 2
X2
3
2 2
P
0
X1
32 55
P
X2
24 2 55
P
(5) 利用叠加原理求各杆内力。各杆的内力可按下式计算，
N N P N1 X1 N2 X 2
例如，杆2-5的轴力为
N 25
0
3
2P 55
飞行器结构力学基础
——电子教学教案
西北工业大学航空学院 航空结构工程系
第四章
静不定结构的内力与变形计算
Internal Forces and Deformations of Statically Indeterminate Structures
第一讲 静不定结构的概念 力法基本原理与力法正则方程
4.1 静不定结构的概念
1211XX11
12 X 2 22 X 2
Δ1P Δ2P
Δ1 0 Δ2 0
这就是2次静不定结 构的典型方程，也称 为正则方程。
1211XX11
12 X 2 22 X 2
Δ1P Δ2P
Δ1 0 Δ2 0
求出多余未知力：X1 和 X2
叠加< P > 状态和单位状态< 1 >和 < 2 >
静定结构
运动学： 具有最少必需约束。
静力学： 静力平衡方程数目等于
未知力数目。 内力求解方法：
仅由静力平衡条件即可 求出全部未知力，或满足 静力平衡条件的内力即为 其真实内力。
静不定结构
运动学：
具有多余约束。
静力学：
静力平衡方程数目小于未知
力数目。
内力求解方法： 静力平衡条件
平衡方程
变形协调条件 物理关系式
的相对位移为 方向的相对位
Δ1P和Δ2P 。
移为Δ11和Δ21 。
由叠加原理和变形协调条件：
Δ11 Δ 21
Δ12 Δ 22
Δ1P Δ2P
Δ1 0 Δ2 0
X2 单独作用在 基本系统上， 在切口X1和X2 方向的相对位 移为Δ12和Δ22 。
变形协 调方程
<P> 状态下： <1>状态下：在 <2>状态下：在
解法 1：
解法 2： 解法3： 原静不定问题
解法 4： 解法 5： 原静不定问题
力法求解的基本系统不同，计算得到的多余未知力的 值可能不相同，但叠加得到的静不定结构的最终内力 是相同的。
不同的基本系统，带来不同的计算工作量。因此，要 合理选取基本系统，以减少计算工作量。
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树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20.10.2220.10.22Thursday, October 22, 2020
SiR
＝
SiR
＝
< R >状态
SiR SiP SiX1 SiX 2
SiP
＋
SiX1
＋
SiX 2
< P >状态
< X 1 >状态
< X 2 >状态
将< X 1 >状态、 < X 2 >状态分别用单位状态来表示，
单位状态
单位状态
SiP
＋
Si1 X1 ＋
Si2 X 2
< P >状态
< 1 >状态