中考数学复习课一次函数与反比例函数综合

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设抛物线与 x 轴两交点的横坐标为 x ，x ．
12
则
x ＋x ＝
12
1
2a a
，
x1·
x＝
2
2
3a ． a
令 ︱x － x ︱＝ 3．
12
则
（x －x ）－
12
4x1x2＝
9．
即
2
1 2a
2 3a 4
9．
a
a
2
整理，得 7a － 4a＋ 1＝ 0．
2
∵ Δ ＝（－ 4） － 4× 7×1＝－ 12＜ 0，
写出自变量 m 的取值范围；
（ 3）当△ OCD 的面积等于 S 时，试判断过 A、 B 两点的抛物线在 x 轴上截得 2
的线段能否等于 3．如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由．
解：（ 1）过点 B 作 BH ⊥ x 轴于点 H ． ……… 1 分
在 Rt△ OHB 中， HO ＝ 3BH ． ……………… 2 分
的几何条件及几何结论，利用双曲线上的点的代数、几何性质，建立方程进行求解及利用坐
标糸解决不规则三角形面积计算问题。注意勾股定理、完全平方式、整体代入、图形变换等
结合及点坐标的应用。要求学生熟练掌握反比例函数代数性质：函数图像上任意点的横、纵
坐标的积为 k。
一、知识回顾
1．若反比例函数 y k 与一次函数 y＝ 3x＋ b 都经过点 (1，4)，则 kb＝ ________． x
12、已知一次函数 y 2x 的图象与反比例函数 y
x 的取值范围．
k
的图象交于 M 、 N 两点，且
x
MN 2 5 ．
（ l）求反比例函数的解析式；
（ 2）若抛物线 y ax2 bx c 经过 M 、N 两点，证明：这条抛物线与
x 轴一定有两个交点；
（ 3）设（ 2）中的抛物线与 x 轴的两个交点为 A 、 B（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，连结 AC 、 BC. 若 tan CAB tan CBA 3，求抛物线的解析式．
∵ 点 B 在反比例函数的图象上，
∴ 反比例函数的解析式为
y
3
． …… 4 分
x
（ 2）设直线 AB 的解析式为 y＝k2x＋ b（ k ≠0）．
由点 A 在第一象限，得 m＞ 0．
又由点 A 在函数 y
3
的图像上，可求得点
x
3
∵ 点 B（－ 3，－ 1），点 A（m， ），
m
A 的纵坐标为 3 ． m
2
DO·GA＝
2
2
DO（ BH＋GA）＝
2
m
31
．
m
由已知，直线经过第一、三、四象限， ∵ m＞ 0， ∴ 3－ m＞0．由此得
∴ b＞ 0 时，即
3 m 0． m
0＜ m＜ 3． ……………………… 6 分
∴ S＝ 1 （ 3－m）（ 1＋ 3 ）．
2
m
9 m2
即 S＝
（ 0＜ m＜ 3） ……… 7 分
．
x
y=kx+b 与反比例函数 y= 2 的图象，则关于 x 的方程 kx+b= 2 的
x
x
A ． xl=1 ， x2= 2 ； B． x l= - 2， x 2= - 1 ； C．x l=1， x 2= - 2 D． xl=2， x2= - 1
4、 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于
A 、 B 两点，则图中使反比例函数
y
P(a,3)
O
x
（ 20XX 年） 20、如图所示，反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=kx-3 的 图象在第一象限内相交于点 A （ 4，m）．
（ 1）求 m 的值及一次函数的解析式； （ 2）若直线 x=2 与反比例和一次函数的图象分别交于点
B、 C，求线段
BC 的长． 五、今年中考预测 与以往类同，都是利用交点坐标解题
2m
（ 3）过 A、B 两点的抛物点线在 x 轴上截得的线段长不能等于 3． 证明如下：
2
1
1
3m 3m
S
△OCD
＝
2
DO · OC＝
2
︱ m－3︱·
＝
m
2m
．
S 由 S△OCD ＝ 2 ，
3 m 2 1 9 m2
得
．
2m 2 2m
解得 m ＝ 1， m ＝ 3．
1
2
经检验， m ＝ 1， m ＝3 都是这个方程的根．
y＝ kx＋ b 的
AC
图象经过点 A 和点 C( 0， 4），且与反比例函数的图象相交于另一点 B．
B
( 1) 求这两个函数的解析式；
O
x
( 2) 求点 B 的坐标．
23、（本题满分 9 分）（ 20XX 年）如图所示，一次函数 y
比例函数 y
m1 (m
x
1)的图象在第一象限内的交点为
⑴求 a 的值及这两个函数的解析式；
2
∴ 方程 7a － 4a＋1＝ 0 无实数根．
Leabharlann Baidu
因此过 A、 B 两点的抛物线在 x 轴上截得的线段长不能等于 3． ……………… 10 分
三、巩固知识
中考宝典 P40-41 18、 19 题
四、感受中考
20．（本题满分 9 分）（ 20XX 年）
y
如图，已知反比例函数
y＝
m x
的图象经过点
A( － 1， 3) ，一次函数
的值小于一次函数的值的 x 的取值范围是（
）．
A ． x＜－ 1
5、已知 k1
B． x＞2 C．－ 1＜ x＜0，或 x＞ 2
D ． x＜－ 1，或 0＜ x＜ 2
0 k 2 ，则函数 y k1x 和 y k2 的图象大致是（
）
x
y
y
y
y
y 第3题
3
2
A
1
－3 －2 －1 O －1
B －2 －3
123x
2．已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交
于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D．OB＝ 求反比例函数的解析式：
10 ，tan∠ DOB＝ 1 ． 3
（ 1）
（ 2）设点 A 的横坐标为 m，△ ABO 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式，并
1
2
∵ 0＜ m＜ 3，
∴ m＝ 3 不合题意，舍去，
∴ A（ 1， 3）． …………………………… 8 分
2
设过 A（ 1， 3）、 B（－ 3，－ 1）两点的抛物线的解析式 y＝ ax ＋ bx＋ c（a≠ 0）．
a b c 3，
b 1 2a，
∴
由此得
9a 3b c 1．
c 2 3a．
2
即 y＝ ax ＋（ 1+2a） x+2－ 3a． ………………………………… 9 分
2．反比例函数 y
6 的图象一定经过点 (－ 2， ________)． x
第 4题
3．若点 A(7， y1)，B(5， y2)在双曲线 y
3 上，则
y1、 y2 中较小的是 ________．
x
4．如图，反比例函数的图象在第一象限内经过点
A，过点 A 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足分别
若矩形 APOQ 的面积为 8，则这个反比例函数的解析式为 ________．
x
y＝－ x＋ 1
沿 y 轴向上平移 2 个单位，所得直线与函数 y 2 的图象的交点共有 ________个． x
m 11、如图，一次函数 y＝kx＋ b 的图象与反比例函数 y 的图象相交于 A、 B 两点，
x (1) 利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的
二、学习新知：
P、Q，
1. 如图，已知 A(n ，-2) ， B(1 ， 4) 是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 AB与 y 轴交于点 C．
y= m 的图象的两个交点，直线 x
(1) 求反比例函数和一次函数的关系式；
(2) 求△ AOC的面积；
(3) 求不等式 kx+b- m <0 的解集 ( 直接写出答案 ) ． x
O
x
x O
x O
x O
第4题
（A）
（B
（ C）
（ D）
6、.已知关于 x 的一次函数 y＝－ 2x＋ m 和反比例函数 y n 1 的图象都经过 A( －2，1)，则 m＝ __，n＝___． x
7、 .直线 y＝2x 与双曲线 y 8 有一交点 (2， 4)，则它们的另一交点为 x
8、已知 y＝ (a－1) xa 是反比例函数，则它的图象在 (
六、课后练习
1．若正比例函数 y k1x 的图象与反比例函数
y k2 的图象相交于 A 、 B 两点，其中点 A 的坐标为 x
（ 3,2 3 ），则 k1k2=____________ ．
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2、已知反比例函数 y
3、如图，是一次函数 解为 ( )
k
的图象与直线 y=2x 和 y=x+1 的图象过同一点， 则 k=
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反比例函数与一次函数综合复习课
学习目标 : 能够应用一次函数与反比例函数的图象与性质分析解决一次函数与反比例函数的
综合题。
重点： 熟练应用一次函数与反比例函数的图象与性质进行解题
难点： 进一步利用数形结合的思想方法进行解题
考点透视：
考查反比例函数的基本性质在几何中的应用。适当设双曲线上的点的坐标，用坐标转化题中
2
2
2
由勾股定理，得 BH ＋ HO ＝ OB ．
2
2
2
又∵ OB＝ 10 ．∴ BH ＋（ 3BH） ＝（ 10 ） ．
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∵ BH ＞0， ∴ BH ＝ 1，HO＝ 3． ∴ 点 B（－ 3，－ 1）． ……………………… 3 分
设反比例函数的解析式为
y k1 （ k≠ 0）． x
∴
3k2 b 1，
mk2
b
3． m
解关于 k 、 b 的方程组，得
2
k2
1， m
b 3 m． m
∴ 直线 AB 的解析式为
y
1 x
3
m．
………………………
5分
m
m
令 y＝0， 求得点 D 的横坐标为 x＝m－3． 过点 A 作 AG⊥ x 轴于点 G．
1
1
1
1
3
S＝
S △
＋
BDO
S △
ADO
＝
DO·BH＋
⑵根据图象，直接写出在第一象限内，使反
比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围．
x m 和反 P( a,3) ．
20．（本题满分 8 分）（ 20XX 年）
已知点 P（ 1， 2）在反比例函数 y （ 1）当 x 2 时，求 y 的值；
k (k
x
0 )的图象上．
（ 2）当 1＜ x ＜ 4 时，求 y 的取值范围．
)．
________ ．
(A) 第一、三象限
(B) 第二、四象限 (C)第一、二象限
(D) 第三、四象限
2
9、观察函数 y
的图象，当 x＝ 2 时， y＝ ________；当 x＜ 2 时， y 的取值范围是 ________；
x
当 y≥－ 1 时， x 的取值范围是 ________．
2 10、 .函数 y 在第一象限内的图象如图所示，在同一直角坐标系中，将直线