平面解析几何(直线和圆的方程圆锥曲线)专题

平面解析几何（直线和圆的方程、圆锥曲线）专题

17.0 圆锥曲线几何性质

如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或 “离心率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.

椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,

2,

2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+

双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线

以无轨迹

方程为双曲线

21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-

圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹．简言之就是 “e =点点距点线距

（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图.

当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线；

当0=e 时，轨迹为圆（a

c

e =，当b a c ==,0时）．

圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中c e a

=，椭圆中

b a =、双曲线中b a

=. 圆锥曲线的焦半径公式如下图：

特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.

17.1 圆锥曲线中的精要结论：

1.焦半径：(1)椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>：0201,ex a PF ex a PF -=+=； （左“+”右“-”）

； 椭圆22

221(0)x y a b b a +=>>：

22

10002000()(0),()(0)

a a PF e x a ex x PF e x ex a x c c

=+=+<=-=->d (a -

(2)双曲线

12

22

2=-b y a x ：

“长加短减”原则：

a

ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-

a

ex F M a ex F M +-='--='0201

（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

双曲线22

221x y b a

-=：

1020MF ey a MF ey a =-=+；1020M F ey a

M F ey a ''=-+''=--

(2)抛物线：20p

x PF +

=

2.弦长公式：]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=

]4)[()1

1(1

1212212122

y y y y k

y y k -+⋅+

=-⋅+

=； 【注】：(1)焦点弦长：i ．椭圆：)(2||21x x e a AB +±=；

ii ．抛物线：AB ＝1222sin p

x x p α

++=

；

(2)通径（最短弦）：i ．椭圆、双曲线：2

2b a

；

ii ．抛物线：2p .

3.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：12

2=+ny mx （n m ,同时大于0时表示椭圆，0

(1)内接矩形最大面积：2ab ；

(2)P ，Q 为椭圆上任意两点，且OP OQ ⊥，则2222

1111

||||OP OQ a b

+=+ ； (3)椭圆焦点三角形：

i ．12

2tan

2

PF F S b θ

∆=，（12F PF θ=∠）；

ii ．点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则c

a

MN PM =||||；

(4)当点P 与椭圆短轴顶点重合时21PF F ∠最大； (5)共离心率的椭圆系的方程：椭圆

)0(12

22

2 b a b y a x =+

的离心率是)(22b a c a

c

e -==

，方程t t b y a x (2

22

2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a

c

e =

，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程． 5.双曲线中的结论：

(1)双曲线12222=-b y a x （0,0a b >>）的渐近线：02

222

=-b y a x ；

(2)共渐进线x a b

y ±=的双曲线标准方程为λλ(2

222

=-b

y a x 为参数，λ≠0）；

(3)双曲线焦点三角形：

i ．2

cot

221θ

b S F PF =∆，（21PF F ∠=θ）；

ii ．P 是双曲线22a x －22

b

y =1(a ＞0，b ＞0)的左（右）支上一点，F 1、F 2分别为左、右焦点，则△PF 1F 2

的内切圆的圆心横坐标为)(,a a -；

(4)等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=(渐近线互相垂直)，离心率2=e ．

(5)共渐近线的双曲线系方程：

)0(2

22

2≠=-

λλb

y a

x 的渐近线方程为

02

22

2=-

b

y a

x 如果双曲线的渐近线为

0=±b y

a x 时，它的双曲线方程可设为)0(22

22≠=-λλb

y a x ． (6) 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲

线．λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：022

22=-b

y a x ．

(7) 若P 在双曲线

12

22

2=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的

距离为m = n ，

则P 到两准线的距离比为m ︰n ．

简证：e

PF e PF d d 21

21= = n

m

．

常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b ． (8) 直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线．

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条．

若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号． 6.抛物线中的结论：

(1)抛物线22y px =(0)p >的焦点弦AB 性质：

i ．2124

p x x =；212y y p =-； ii ．

p

BF AF 2

||1||1=+ ； iii ．以AB 为直径的圆与准线相切；

iv ．以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切； v ．α

sin 22

p S AOB

=∆. (2)抛物线22y px =(0)p >内结直角三角形OAB 的性质： i ． 2

212

214,4P y y P x x -==； ii ．AB l 恒过定点)0,2(p ；

iii ．B A ,中点轨迹方程：)2(2

p x p y -=；

iv ．AB OM ⊥，则M 轨迹方程为：2

2

2

)(p y p x =+-；