非对称磁场中小球单摆运动稳定性

系数矩阵：
0 A ( g b)3 a 2 g 2 ( g b )
1 k
模型求解

3.根据系数矩阵，判定平衡点x0的稳定性。所 得结果如下： （一）近似方程组有两个实部 为负的特征根。即，此时x0为 一渐进稳定解。
a g 且b a g B0 b 2a
2.利用两种方式求解方程，所得结论一致。
物理解释
此次研究，通过求解模型。找到了单摆运动中小 球的平衡位置，并得到了判断其稳定性的条件。
1.垂直位置附近找到一平衡点。
2.当x0稳定时，改变初始条件，小球仍在平衡位置附
近绕动。 3.当x0不稳定时，改变初始条件，小球运动将发生改 变。 4.当磁场强度相同时，符合马天结论。当不考虑磁 场强度之和时，与罗宏老师结论一致。
单摆运动的相关书籍和论文资料。
结合物理单摆运动、相关数学知识以及常微
分中稳定点的特性及判定方法，对非对称磁 场中小球单摆的运动规律进行了进一步的研 究和分析。
建立模型
方程，即：
y
1.根据问题，建立运动
F合 mgsin F阻 f cosx
d 2 d m 2 k T cos mg sin dt dt
（二）近似方程组有一正一负
的特征根。即，此时x0为不稳 定解。
a g 且b a g B 0 b 2a
模型验证
1.当a=0时（其中a为两磁场强度之差）即在对称
磁场中，b为和值. b g时，x0为一渐进稳定解，与 马天结论所得结论一致. 当不考虑磁场强度之和时，与罗宏老师结论一致
参阅资料
《常微分方程教程》丁同仁 李承治编.第2版.北


京:高等教育出版社，2011 许淞庆.常微分方程稳定性理论.上海:上海科学技 术出版社 ，1962 马天，汪守宏.非线性演化方程的稳定性与分歧 [M].北京：科学出版社，2007:22-25 《数学分析》华东师范大学数学系编.第四版.北 京:高等教育出版社，2010 丁同仁.常微分方程定性方法的应用.北京：高等 教育出版社，2004
参阅资料
马知恩，周义仓.常微分方程定性与稳定性方法
[M].北京：科学出版社，2001:65-72,294-296. 张锦炎，冯贝叶.常微分方程几何理论与分支问题 [M].第2次修订本.北京：北京大学出版社， 2006:160-163. 《非对称磁场中单摆运动的稳定性》 罗宏 扬州 大学学报（自然科学版）2011


模型求解
1.首先将方程在X0附近做Tayler展开，舍去高
次项，得到近似方程组
dx1 x2 dt dx2 ( g cos x b cos 2 x b sin 2 x a sin x ) x kx 0 0 0 0 1 2 dt
2.根据 g tan x0 a b sin x0 ，令sin x0 tan x0，线性方程组㈠的
LOGO
研究目的
对称磁场中ຫໍສະໝຸດ Baidu摆运动
有一渐近稳定平衡解(马天等)
不考虑磁场强度和值对运动的影响
考虑到了阻尼作用对于单摆运动的影响（罗宏）
非对称磁场中小球单摆运动稳定性
1.找出平衡点 2.得出判断其稳定性的条件 在前人基础上进一步修正模型，得到非对称磁场中单 摆运动稳定性的判定条件
理论准备
科创小组在认真阅读了非对称磁场以及小球
2.修正原有模型，保留
部分高次项
3.问题转化为求解 d 2
(1 2 )r 2 2(1 2 )F r sin f . 4 r
Cauthy问题
d g sin cos dt 2 k dt mg 0 1 d 0 2 dt
普通高中标准实验教科书必修1,第一章,第二节 函数的基本性质
主讲人：李玥
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终期总结
研究内容
终期 总结
研究目标 模型建立 模型求解 物理解释
研究内容
小球在非对称磁场中的单摆运动的稳
定性。从物理背景出发，研究非对称 磁场中的单摆运动。
由相关物理、数学知识建立非对称磁场
中单摆的运动控制方程，讨论方程在不 同条件下平衡点的稳定性。找到了单摆 运动中小球的平衡位置，并得到了判断 其稳定性的条件 。