学年高中数学16微积分基本定理课件新人教A版选修
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数学：16《微积分基本定理》PPT课件新人教A版-选修
变速直线运动中路程为
T2 v(t)dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T 2)s(T 1)
T T 12v(t)d ts(T 2)s(T 1).其s中 (t)v(t).
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4
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5
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6
物体的位移是函数在两个端点处的函数值 之差，即 Ss(b)s(a)
从几何意义上看，由导数的几何意义知
S i h i t a n D P C t s '( t i 1 ) t v ( t i 1 ) t ,
求和得近似值
n
n
n
n
S S i h i v(ti 1) t s'(ti 1) t.
i 1
i 1
i 1
i 1
取极限，由定积分的定义得
b
b
Sav(t)dtas'(t)dts(b)s(a)
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的 关系．
编辑ppt
9
例1 求 02(2cox ssix n 1)d.x
解
原式
(2sinxcosxx)|0 2
3பைடு நூலகம்
. 2
例2 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0
f
(x)d.x
解
2
1
2
y
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
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1
1.6《微积分基本定理》
编辑ppt
2
教学目标
❖ 了解牛顿-莱布尼兹公式 ❖ 教学重点： ❖ 牛顿-莱布尼兹公式
高中数学_1.6微积分基本定理(1)课件_新人教A版选修2-2
并且F’(x)=f(x),则
b a
b
a
f ( x )dx F(b) F(a )
或 f ( x )dx F ( x ) |b a F (b ) F ( a )
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
关 b b f ( x)dx F ( x) |a F (b) F (a) 键： a
a a
b
b
复习回顾： 定积分的基本性质
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
y f ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1 1 ( ) 2 x x
1 3 1 1 76 3 3 =x | | 1 (3 1 ) ( ) x 3 1 3
3 3 1
练习：
(1) (-3t + 2)dt ______ 1
2 0
1
1 2 23/6 (2) (x + ) dx = ______ 1 x
2
9 (3) (3x + 2x -1) dx = ______
s (b ) ) s (a
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
b a
b
a
f ( x )dx F(b) F(a )
或 f ( x )dx F ( x ) |b a F (b ) F ( a )
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
关 b b f ( x)dx F ( x) |a F (b) F (a) 键： a
a a
b
b
复习回顾： 定积分的基本性质
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
y f ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1 1 ( ) 2 x x
1 3 1 1 76 3 3 =x | | 1 (3 1 ) ( ) x 3 1 3
3 3 1
练习：
(1) (-3t + 2)dt ______ 1
2 0
1
1 2 23/6 (2) (x + ) dx = ______ 1 x
2
9 (3) (3x + 2x -1) dx = ______
s (b ) ) s (a
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
高中数学 1.6微积分基本定理课件 新人教A版选修2-2
首页 1 2
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
练一练 1
若 f'(x)=ex ,则 f(x)可以是( ) A.ex +x B.ex +x2 C.ex +ln x D.ex +C(C 为常数) 答案 :D
练一练 2
2 1
1 + ������
试一试
曲线 y=cos x ������∈ 0, 为
3π 2
与 x 轴、y 轴围成的图形的面积
. 解析 :如图,阴影部分面积即为所求.
∴S=
sin
3π 2
0
π 2
cos xd x-
-sin
π 2
3 π 2 π 2
cos xd x=sin x|0 -sin x|
π 2
3π 2 π 2
= sin -sin0 −
(4) 思路分析:根据导数与定积分的关系,求定积分要先找到一个导数等于 被积函数的原函数,再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案,找原函数可结合 导数公式表.
首页 探究 一
∴
探究 探究 探究 二 三 四 1 3 解 :(1)∵ ������ + ������ 2 + 3������ '=x2+2x+3,
首页 探究 一 探究 二 探究 三 探究 四
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
典型例题 1
计算下列定积分: 2 (1) 1 (x2+2x+3)d x; (2) (3)
0 x (cos xe )d x; -π e 1 d x; 1 ������ 3 2 ������3-1 d x. 1 ������2
最新人教版高中数学选修1.6微积分基本定理 (6)ppt课件
＝
3dx＋
1xdx＝3x|
2 1
＋ln
x|
2 1
＝3＋ln
2.
12．计算下列定积分：
(1) |2－30 x|dx；(2) －cos2xdx .
解析：(1)
|2－x|dx
＝ (2－x)dx＋ (x－2)dx
＝2x－21x2
2 0
＋12x2－2x
3 2
＝2＋12＝52.
(2)
(1) (2x1＋3)dx； 0
(3)
2 1
x－xd2x＋ ；1x
(2) (1－t3)dt；1 2
(4) (cos x＋ex)0dx.
分析：利用微积分基本定理，关键是求出相应被积函数
的一个原函数．
解析：(1)∵(x2＋3x)′＝2x＋3，
∴ (2x＋3)dx＝(x2＋3x)|10＝1＋3＝4.
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则 (ax＋b)dx＝ axdx＋ bdx
＝12ax2
1 0
＋bx
1 0
＝12a＋b，
x(ax＋b)dx＝ (ax2＋bx)dx
＝13ax3
1 0
＋12bx2
1 0
＝13a＋12b，
由2131aa＋ ＋12bb＝＝51， 67，
解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.
（ B）
4.由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图阴阴
部分)是( )
C
A. (2x2－1)dx 0
B. (x22－1)dx 0
C. |x22－1|dx 0
D. (02x2－1)dx＋ (x2－112)dx
5.
最新人教版高中数学选修1.6微积分基本定理 (1)ppt课件
b
a
v(t )dt s (b) s (a)
b b a a
s '(t ) v (t )
S v(t )dt s '(t )dt s(b) s(a)
S v(t )dt s '(t )dt s(b) s(a)
a a
b
b
一般地，如果函数 f(x) 在区间上连续 ， 并且 F’ (x)=f(x)， 那 b 么 a f ( x)dx F (b) F (a)
为了方便, 我们常常把Fb Fa记成Fx |b a ,即
b f x dx F x | . a Fb Fa a b 微积分基本定理表明 , 计算定积分 f x dx的关键 b
a
是找到满足F' x f x 的函数Fx .通常, 我们可以 运用基本初等函数的求 导公式和导数的四则运 算 法则从反方向求出 Fx .
V t i1 Δt
i 1
n
' s t i1 Δt与S的近似程度就越好 . i 1 n
n
ba 由定积分的定义有 S lim v t i1 n n i 1 n ba ' b b ' lim s t i1 v t dt s t dt. n a a)dx F (b) F (a ) .
F(b)记 :F(a) F(x) |b a
则:
注意:
1. 当 a 2.
b 时， a f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立.
f ( x ), 则F ( x )称为f ( x )的一个原函数
b
若 F ( x )
结合 ①
高中数学 1.6微积分基本定理课件 新人教A版选修22
＝12π2－π6＋14sinπ－sinπ3
＝π6＋14－
23＝π6－
3 8.
第二十七页，共36页。
分段函数的定积分(jīfēn)计算
2
求－2|x2－x|dx. [分析] 由于被积函数是含绝对值的函数，需在积分区间 (qū jiān)[－2,2]上分段积分，这里零点是x＝0，x＝1.
第二十八页，共36页。
典例探究学案
第十九页，共36页。
利用牛顿—莱布尼茨公式(gōngshì)求定积分
求下列定积分：
(1)21xdx； 1
(2)1x3dx； 0
1
(3)
exdx.
－1
[分析] 根据导数(dǎo shù)与积分的关系，求定积分要先找
到一个导数(dǎo shù)等于被积函数的原函数，再根据牛顿—莱
布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数(dǎo shù)公式表．
[答案(dáàn)] 4x＋3
第十二页，共36页。
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
1f(x)dx＝1(ax＋b)dx
0
0
＝12ax2＋bx01 ＝12a＋b＝5，
①
10xf(x)dx＝10(ax2＋bx)dx＝13ax3＋12bx201
＝13a＋12b＝167.
②
由①②得ab＝ ＝43 ，∴f(x)＝4x＋3.
第七页，共36页。
微积分基本(jīběn)定理 思维导航 我们已经(yǐ jing)知道利用定积分可以解决一些实际问题， 但用定义求解却很麻烦，有没有简捷有效的计算方法呢？
第八页，共36页。
新知导学 1．微积分基本定理 如果F(x)是区间[a，b]上的连_续__(l_iá_n_x函ù) 数，并且F ′(x)＝ __f_(x_)___，那么bf(x)dx＝_F_(_b)_－__F_(_a_)_．
2020-2021学年高中人教A版数学选修课件-1.6-微积分基本定理
1x
=
A.e-1
B.e
() C.e+1
【解析】选B.因为(x+ln x)′=1+ ,1
x
所以定积分
e 1
(1
1 x
)dx
（x
ln
x）|1e
=(e+ln e)-(1+ln 1)=e.
D.1+ 1
e
2.下列值等于1的是 ( )
1
A.0 xdx
B. （1 x＋1）dx 0
1
C.01dx
11
D.0 2 dx
调性求出函数的值域.
【解析】（1 1 0
2x
2t）dt
［（1
2x）t
t 2］|10
2
2x，
即f(x)=2-2x.因为x∈[1,2],
所以f(2)≤f(x)≤f(1),即-2≤f(x)≤0,
所以函数f(x)的值域是[-2,0].
答案:[-2,0]
【解题策略】 含有参数的定积分问题的处理办法与注意点 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查,先利用微积 分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提. (2)计算含有参数的定积分,必须分清参数、积分变量与被积函数f(x)、积分 上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.
解得t=3或-2,因为t>0,所以t=3.
答案:3
【变式探究】
1.(变条件)若将题中的条件改为
t
0
f
x dx＝f
(t) 2
,求t.
【解析】由
t
0
f
x
dx＝ t 0
(2x－1)dx＝t
2－t，
又 f ( t=) t-1,所以t2-t=t-1,解得t=1.
=
A.e-1
B.e
() C.e+1
【解析】选B.因为(x+ln x)′=1+ ,1
x
所以定积分
e 1
(1
1 x
)dx
（x
ln
x）|1e
=(e+ln e)-(1+ln 1)=e.
D.1+ 1
e
2.下列值等于1的是 ( )
1
A.0 xdx
B. （1 x＋1）dx 0
1
C.01dx
11
D.0 2 dx
调性求出函数的值域.
【解析】（1 1 0
2x
2t）dt
［（1
2x）t
t 2］|10
2
2x，
即f(x)=2-2x.因为x∈[1,2],
所以f(2)≤f(x)≤f(1),即-2≤f(x)≤0,
所以函数f(x)的值域是[-2,0].
答案:[-2,0]
【解题策略】 含有参数的定积分问题的处理办法与注意点 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查,先利用微积 分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提. (2)计算含有参数的定积分,必须分清参数、积分变量与被积函数f(x)、积分 上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.
解得t=3或-2,因为t>0,所以t=3.
答案:3
【变式探究】
1.(变条件)若将题中的条件改为
t
0
f
x dx＝f
(t) 2
,求t.
【解析】由
t
0
f
x
dx＝ t 0
(2x－1)dx＝t
2－t，
又 f ( t=) t-1,所以t2-t=t-1,解得t=1.
(vip免费)【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现 。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题 ，她能很快找到问题的原因，并马上拿 出解决办法。
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
a
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
作业：P６２ A 1 (2)(3)(5)(6)
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
最新人教版高中数学选修1.6微积分基本定理 (7)ppt课件
1,2,,
n,
每个小区间的长度为x
1
i n
1 i 1 1
n n
（2）近似代替
取 1 i 1 i 1,2,, n,
i
n
（3）求和
2 1
1
dx x
Sn
n i 1
f 1 i 1 x
牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。
莱布尼兹
莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿 同为微积分的创始人；1646年7月1日生于 莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺 威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家 庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年 入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学 学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文
三、新知建构，典例分析
由定积分的定义得：
s = lim n b - av
n n →∞ i=1
t i-1
= lim n b - ay' t
n n →∞ i=1
= b v t dt = b y'dt
a
a
结合s=y(b)-y(a)得：
s
=
b
a
v
t dt
= b y' t dt a
-
F
a
令 x = 即b,得
b
a
f
x dx
=
F
b
-
F
a
.
回顾：基本初等函数的导数公式
函数f(x) c xn
导函数 0nxn1
f′(x)
高中数学16微积分基本定理课件新人教A选修PPT课件
则 下．
b
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则
a
f(x)dx＝
__S_上___．
第6页/共37页
b
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②，则af(x)dx＝ ____－__S_下___．
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如
图
③
，
则
b
a
f(x)dx
＝
_S_上_－__S_下____
第26页/共37页
定积分的应用
已知
f(x)＝
2x＋1，x∈[－2，2]， 1＋x2，x∈2，4]，
3
求
使
k
f(x)dx
＝
430恒成立的 k 值．
第27页/共37页
• [思路点拨] 第28页/共37页
(1)当k∈(2,3]时，
3
3
kf(x)dx＝k
(1＋x2)dx＝x＋13x3|
3 k
＝3＋13×33－k＋13k3
2
[提示2] 由定积分的几何意义得0 (2x＋1)dx＝6.
第3页/共37页
• [问题3] 求F(2)－F(0)的值． • [提示3] F(2)－F(0)＝4＋2＝6. • [问题4] 你得出什么结论？
2
[提示4] 0f(x)dx＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．
第4页/共37页
微积分基本定理
第12页/共37页
合作探究 课堂互动
第13页/共37页
求简单函数的定积分
•
求下列定积分：
2
(1) (3x2＋x－1)dx； 0 2π
(2)π (cos x＋sin x)dx；
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a
• 1．微积分基本定理
• 2.定积分和曲边梯形面积的关系 • 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)，则bf(x)dx a
＝S 上 ．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)，则bf(x)dx a
＝－S 下．
• 1．6 微积分基本定理
• 1．通过实例，直观了解微积分基本定理的含义； • 2．利用微积分基本定理，求函数的定积分．
• 本节重点：微积分基本定理． • 本节难点：导数与积分的关系；利用微积分基本定理求函数的定积分．
• 1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被 积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等 函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，
如图(3)，则bf(x)dx＝S 上－S 下，若 S 上＝S 下，则bf(x)dx＝0.
a
a
• [例1] 求下列定积分
• [数分，析(再1])根2据根1xd牛据x顿导；—数(与莱2布积)分尼1x的茨3d公关x系式；写，(求出3)答定积案分，找要1－先原函找1e到数xd可一x个结. 导合数导等数于公被式积表函．数的原函
二、填空题
4．已知 f(x)是一次函数，且1f(x)dx＝5，1xf(x)dx＝167，
0
0
那么 f(x)＝________.
• [答案] 4x＋3
• [解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
[答案] －2
感谢下 载
＝1(x4＋2cx3＋c2x2＋2cx2＋2c2x＋c2)dx 0
＝15x5＋24cx4＋c32x3＋23cx3＋22c2x2＋c2x10 ＝15＋12c＋c32＋23c＋c2＋c2
＝15＋76c＋73c2＝73c＋142＋15－478 所以当 c＝－14时，y 最小．
• [点评] 本题考查了如何求定积分，同时考查了函数求最值．对本题中的乘方形式， 先用公式展开，表示成和的形式，然后分别求出，再求和．
设 f(x)是连续函数，且 f(x)＝x＋21f(t)dt，求 f(x)．
[解析] ∵21f(t)dt 是一个常数 0 0
∴可设 f(x)＝x＋c
∴01f(t)dt＝01(t＋c)dt＝12t2＋ct10 ＝12＋c ∴c＝21f(t)dt＝1＋2c
0
∴c＝－1 ∴f(x)＝x－1.
一、选择题
1
0
• [点评] 求定积分主要是要找到被积函数的原函数．也就是说，要找到一个函数，它 的导数等于被积函数．由此可见，求导运算与求原函数运算互为逆运算．
• [分析] 由于被积函数是绝对值函数，需在积分区间[－2,2]上分段积分，这里零点 是x＝0，x＝1.
• [点评给定区间上不能用 统一的形式表示，需分段积分．
1.π(cosx＋1)dx 等于 0
A．1
B．0
C．π＋1
• [答案] D
D．π
()
A．0 C．2 [答案] C
π B.4 D．4
3．若1a2x＋1xdx＝3＋ln2，则 a 的值是 (
)
• A．6
B．4
• C．3
D．2
• [答案] D
[解析] 1a2x＋1xdx＝(x2＋lnx)a1 ＝a2－1＋lna＝3＋ln2， 所以aa2＝－21＝3 ， 解得 a＝2.故应选 D.
[例 3] [分析]
求 c 的值，使1(x2＋cx＋c)2dx 最小． 0
对于一个确定的 c 的值，1(x2＋cx＋c)2dx 是 0
一个确定的数，因而1(x2＋cx＋c)2dx 可看成一个关于 c 的 0
函数，再求 c 取何值时，此函数有最小值．
[解析] 令 y＝1(x2＋cx＋c)2dx 0
• 2．利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．
3．被积函数的原函数有很多，即若 F(x)是被积函数 f(x)的一个原函数，那么 F(x)＋C(C 为常数)也是被积函数 f(x)的原函数．但是在实际运算时，不论如何选择常数 C(或 者是忽略 C)都没有关系，事实上，以 F(x)＋C 代替式中的 F(x)有bf(x)dx＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)．