同济大学结构力学力法对称性

M1
3Pa 2
Pa 2
MP
5、按M = M 1 X 1 + M P 绘弯矩图。
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对称荷载下的等代结构 ①对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。 a）位于对称轴上的截面的位移 uc=0、θc=0 ， 内力 QC=0
C EI P EI EI P P
QC NC MC NC
C P P P
C P C P P
对称：uc=0,θc=0 中柱： vc=0
P
对称：uc=0, C θc=0 等代结构 偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法： c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：将对称轴 等代结构 上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。 上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。 中柱： vc=0 对称：uc=0 C b）奇数跨对称结 中柱： vc=0 P P 构的等代结构是将 对称轴上的截面设 P 等代结构 置成定向支座。 置成定向支座。
3）画单位弯矩图、荷载弯矩图， 4）用（A）式求系数和自由项
X2 M2
6
q=23kN/m
1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程；
X2 =1 6
↑↑↑↑↑↑↑ MP 81
414
δ 11 = δ 22
6×6 2× 6 6× 6× 6 × 2 = 144 δ 12 = = 108 = δ 21 2 3 2 6 × 414 3 × 6 6× 6 2× 6 3 = 3726 = + 6 = 288 1P = 3 4 2 3
QC
c）偶数跨对称结构的等代结构 c）偶数跨对称 P 将中柱刚度折半，结点形式不变 结构的等代结构
C P 2EI P
C P 等代结构 P 2EI
C P
EI C P 等代结构 EI P 2EI P
P
等代结构
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偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法
P/2 P/2
EA EA
+
Pa (× ) 28 P/2
EI=C
a
P
EA
P/2 P/2
P/2 M图 X1
0
EA 0
1 等 代 结 P/2 构
P/2
27
a
a a X1=1 P/2 P/2 基 本 体 系 X1
1、取基本结构； 2、力法方程：
δ 11 X 1+ 1P = 0
3、绘 M 1 , M P 求系数、 自由项 7a 3 5Pa 3 δ 11 = 1 P = 3EI 4 EI 4、解方程： X 1 = 1P = 15P δ 11 28
103.5
M kNm 135
5）解方程，求多余未知力 6）按 X1=36， 144X1+108X2－3726=0 M=∑MiXi+MP 叠加最后弯矩图 X2=－13.5 108X1+288X2=0 点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
2P = 0
198
转回叠加弯矩图 重新播放请点 重新播放
用力法计算作图示结构的弯矩图。
4.5 M图(kN.m) 9 18 3m 3m
X1=1
4.5
3kN/m 3m
X1
↑↑↑↑↑↑↑
↑↑↑↑↑↑↑
8kN/m
X2
MP
36
3 3
X2=1
1 33 18 δ 11 = ×2= , EI 3 EI 2 33 72 δ 22 = + 33 = 3 EI , EI δ 12 = δ 21 = 0
1 P =
M1
3 3 3
M2
3
δ 11 X 1 + 1P = 0 δ 22 X 2 + 2 P = 0
1 1 3× 3 81 1 1 108 × 3 × 36 × = , 2P = × 3 × 36 × 3 = 4 EI 3 EI EI 3 EI
解得：
X 1 = 4 .5 X 2 = 1 .5
等代结构
6m
转到等代结构的计算
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q=23kN/m
C EI A
EI EI B 6m
D 6m q=23kN/m
X1
X2
↑↑↑↑↑↑↑
X1
X1
X1 =1
↑↑↑↑↑↑↑
用力法解 等待结构
X2 M1 基本体系 6 6
δ11X1＋ δ12X2＋1P＝0 δ21X1＋ δ22X2 ＋2P＝0
ql 2 32 等代结构
（b）
M图
ql2 /8 l/2 X1
M1
↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓ ③绘制 M 1 , M P 如图 ④用图乘法求系数和自由项：
1 1l l l 1 1l l l3 （d） δ 11 = × + l = Mp EI 2 2 2 3 EI 2 2 3 8 EI 1 1 ql 2 l 3 l ql 4 1P = × = EI 3 8 2 4 2 128EI ql X 1 = 1P = ⑤解得 ⑥叠加弯矩图。 δ 11 16
M = ∑ Mi X i + M P
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例：试用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。 正对称结点荷载作 用下各杆弯矩为零 解：将荷载分为正对承和反对称两组 a P
EI=C
反对称荷载作用 15 15 取等代结构如下 P/2 1 P/2 27
=
P/2 P/2
EI=C EI=C
Fra Baidu bibliotekC P 2EI P P 2EI EI C P EI
QC
QC
P P EI EI EI
P
等代结构 由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力QC 当不考虑轴向变形时，QC对原结构的内力和变 形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后 再利用对称关系作出另半边结构的内力图。
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（e）
例：绘制图示结构的内力图。
EI
EI
EI 2EI 6m 6m EI
46kN/m
↑↑↑↑↑↑↑
6m
6m
23kN/m
EI EI EI
↑↑↑↑↑↑↑ ↑↑↑↑↑↑↑
81 81 81 207 103.5 103.5 103.5 kNm 135 135 198 198 198 396 kNm M K kNm 135
【例题】利用对称性计算图示结构,绘制弯矩图。（EI=常数） 解：①取等代结构；基本体系； ②列典型方程:δ11X1＋1P＝0 2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
3ql q ↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓ 32
ql 2 8 ↓↓ ↓↓ ↓ ↓↓ ↓ ↓
X1 基本体系 （c ）
l （a） l/2 l/2 l/2 l/2
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对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。 a）、位于对称轴上的截面的位移 vc=0 ， 内力 NC=0，MC=0
MC NC NC C b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆 将对称轴上的截面设置成支杆
EI P EI EI P P