第17章 线性电路简介

第十七章 非线性电路简介
◆ 重点：
1、含有单个非线性电阻的电路的分析
◆ 难点：
1、 非线性电路的小信号分析法
2、 求解简单非线性电路的三种方法
3、 理解牛顿-拉夫逊算法的意义及使用
分析非线性电阻电路的基本依据与分析线性电阻电路一样，依旧是克希霍夫定律。

在本书中，我们只讨论非线性非时变电阻电路。

本章只讨论一些简单的非线性电阻电路，为学习电子电路及进一步学习非线性电路理论提供基础，至于一般的非线性电阻电路的分析方法，超出了本书的范围。

有兴趣的同学可以参考相关的书籍。

17.1 非线性电阻元件
在实际生活中，线性是相对的，非线性是绝对的。

研究非线性现象，具有十分重要的意义。

在本章中，我们主要介绍非线性电阻元件。

17.1.1 非线性电阻的定义
所谓非线性电阻，是这样一种元件，其伏安关系可以用通过原点的遵循某种特定非线性关系，且该关系并不随着电路中的状态变化而变化。

在电子线路中，二极管与三极管是典型的非线性元件，如隧道二极管，其伏安关系为
17.1.2 非线性电阻的分类
u u 图17-1 非线性电阻的分类
17.1.3 静态电阻与动态电阻
一、静态电阻
αtg i u
R ==
二、动态电阻
β
tg di
du R d ==
工作点
i 图17-2 非线性电阻的静态电阻与动态电阻
注意在该图中，实际上其静态电阻值为正，而动态电阻值为负值。

所谓“负电阻”是可以发出能量的理想元件，在本书中，并未讨论。

17.2 含有单个非线性电阻的电路的分析
17.2.1 分析方法
含有单个非线性电阻的电路，可以将原电路看成是两个单口网络组成的网络：其一为电路的线性部分，另一个为电路的非线性部分（只含有一个非线性电阻）
12图17-2(a) 非线性电路分析示意图
N 1 N 2 图17-2(b) 非线性电路分析示意图
对于网络N 1，而言，其输出伏安关系为：i R u u o oc -=，而对于仅含一个非线性电阻的网络 N 2而言，其元件的伏安关系为：)(u f i =。

那么根据克希霍夫定律及元件的伏安关系可以确定电路的工作状态（具体的电量即为“工作点”）。

17.2.2 图解法
在上面的解决办法中，如果非线性元件的伏安关系可以写成确定的函数式，则可以通过解方程的方法求借电路的工作点，而大部分非线性元件的伏安特性不能用确定的函数式描述，我们就采用“图解法”来求解。

图解法的图示如下：
u
例如一个晶体管电路：
12图17-4晶体管电路
其中晶体管元件为三端双口元件，双口网络的特性必须用两个VAR 关系来表征，即输入特性与输出特性。

u BE 17-5 三极管工作点的确定
17.2.3 非线性电阻电路的功能
1．波形变换 2．整流
17.3 理想二极管电路的分析
17.3.1 理想二极管
一、定义
如果一个二端的非线性电阻在平面上的特性曲线由负轴和正轴这样的两直线段组成，称之为理想二极管。

二、符号
三、伏安特性曲线
四、理想二极管的开关特性
●
b a u u >，为正向偏置，二极管相当于一个闭合的开关，短路。

●
b a u u <，为反向偏置，二极管相当于一个开启的开关，断路。

17.3.2 仅含一个理想二极管的电路的分析
如果一个电路仅含一个理想二极管，则这类电路的分析可以充分利用戴维南定理。

即：将其中的二极管划出，对余下部分的电路求取其戴维南等效，由此便可以很容易判断电路中的二极管是否导通。

例1：
已知：电路如图(a)所示。

6kΩ
+12V
(b) (c)
图17-7 例1电路
求：二极管的电流
解：将二极管划出，其电路如图（b）所示，求取该图的戴维南等效将二极管加入原电路，可得等效电路如图（c）所示。

由于二极管阴极电位比阳极电位高2.4V，因此，二极管截止，所求电流为零。

例2：
已知：电路如图(a)所示。

6kΩ
+12V
(b) (c)
图17-8 例2电路
求：二极管的电流
解：将二极管划出，其电路如图（b）所示，求取该图的戴维南等效将二极管加入原电路，可得等效电路如图（c）所示。

由于二极管阴极电位比阳极电位高2.4V，因此，二极管截止，所求电流为零。

17.3.3 假定状态分析法（ASSUMED-STATE）
如果电路中含有多个理想二极管，可以先假设其中的二极管处于导通或截止状态，然后根据这样的假设来对电路进行分析计算，如果计算结果与假设矛盾，则另行假设，反复计算，最后得出结果；如果计算结果与假设情况一致，则认为假设正确，可以进一步确定电路的其他状态。

下面以“逻辑门”（Logic gates）为例，来学习这种方法。

（a）共阳极接法（b）共阴极接法
图17-9 二极管的共阳极接法与共阴极接法
如图17-9（a）所示，三个二极管的阳极接在一起，称这种接法为共阳极接法。

下面我们用假定状态分析法来分析该电路。

假定的状态有以下几种：
1．所有二极管或其中两个同时导通
由于此处的二极管为理想元件，那么如果是1中所述的情况，则各个二极管的阳极与阴极应该保持等电位，而二极管又为共阳极接法，因此其阳极不可能为不同的电位值，这与电路理论矛盾，所以这种情假设是错误的。

2．其中一个二极管导通
假设二极管D1导通，D2、D3截止，那么A点电位即为17V，此时由于A点电位比二极管D2、D3赶的阴极电位高，所以D2、D3也导通，这又与电路理论矛盾；同理二极管D2导通，D1、D3截止时的情况也类似。

而当二极管D3导通，D1、D2截止时，阳极电位为-4V，此时二极管D1、D2、同时保持截止，假定的状态合理。

因此可以得出结论，电路中二极管D3导通，D1、D2截止。

二极管的工作状态确定后，电路的其他参数等就可以得出了。

图17-9（b）中的情况可以完全类似地分析，其结论是二极管D1导通，D2、D3截止。

实际上，对于共阴极、共阳极这两种特殊的连接形式的二极管电路而言有如下的结论：
●共阴极接法的二极管中，阳极电位高者导通，阴极钳位。

●共阳极接法的二极管中，阴极电位低者导通，阳极钳位。

17.4 非线性电阻的串并联
首先介绍一个概念：
驱动点特性：一端口网络的端口电压与电流关系（伏安特性）称为该一端口的驱动点特性。

一、串联
图17-10 非线性电阻串联
如果设非线性电阻为电流控制的伏安关系，则
21i i i ==
)()(221121i f i f u u u +=+=
可见，电流控制的非线性电阻串联后的等效电阻仍然为一个电流控的非线性电阻。

二、并联
如果设非线性电阻为电压控制的伏安关系，则
21u u u ==
)()(221121u f u f i i i +=+=
可见，电压控制的非线性电阻串联后的等效电阻仍然为一个电压控的非线性电阻。

三、非线性电阻串并联电路的分析方法
一般来讲，非线性电阻的伏安关系不能直接写成确定的函数形式。

当非线性电阻串并联时，则应用图解法求解出相应的非线性电阻的等效电阻的伏安关系，然后再用前面讲到的方法求解。

（P1517）
例题：求如下电路中的输入输出电压关系。

R
图中支路1和支路2均为一个二极管与电压源串联，于是可以根据前面的图解法得出两条支路的伏安特性曲线如图17-12（b ）（c ）所示。

图17-12(c) 支路2的伏安特性曲线这样电路中的非线性部分的伏安特性即为两条支路并联，所以也可以得出非线性部分的伏安特性曲线如图17-12（d）所示。

然后就可以讲原电路等效为仅含一个非线性电阻的电路按照前面的方法，可以求得该电路得负载线为
iR
u
u
i
-
=，该负载线与轴的交点即为u
i
，由于为时变的，因此负载线平行移动。

如图17-12（e）所示。

图17-12(d) 非线性部分的伏安特性曲线
图17-12(e) 图解法示意图
容易看出，
当1
2
U
u
U
i
<
<时，
i
o
u
u=；
当1
U
u
i
>时，
1
U
u
o
=；
当2
U
u
i
<时，
2
U
u
o
-
=；
因此可以得出电路的输入输出电压转移特性如图17-12（f）所示。

图17-12(f) 输入输出转移特性
17.5 小信号分析法
在电子线路中，信号的变化幅度往往很小。

虽然电路本身为一个非线性系统，但是我们可以围绕一个工作点建立一个局部线性的模型，对于这一个小信号而言，就可以运用线性电路的分析方法来进行分析计算，这就是所谓的“小信号分析法”。

函数的泰勒展开式：
n
n
x
x
n
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f)
(
!
)
(
)
(
!3
)
('''
)
(
!2
)
(''
)
)(
('
)
(
)
(
)
(
3
2
-
+
+
-
+
-
+
-
+
=
在小信号情况下，电量函数可以取定前两项作为其近似。

一、含隧道二极管的电路
包含一个时变电压源和一个直流电源，其中电路中的信号（即u s）的大小总是远小于偏置电源（即U S）的大小，要求二极管的电压和电流。

在小信号情况下，可以将电路当作线性电路处理，电路满足叠加定理。

可以先求出直流偏置电压作用时，也就是说直流电压源单独作用时的电路（直流通路）状态，此时的电路状态称为电路的直流工作点（U Q ，I Q ）（用图解法或直接进行计算）。

u
U R
图17-13(a) 例题1电路
)()(t u U t u Q δ+= Q
U t u -)(
)()(t i I t i Q δ+= Q
I t i t i -=δ)()( 其中)(t u δ、)(t i δ可以看成是直流解（U Q ，I Q ）的扰动。

这种扰动是由信号源引起的。

如果隧道二极管的特性为)(u f i =，在工作点处对函数进行泰勒展开
n
Q Q n Q Q Q Q Q Q Q U u n U i U u U i U u U i U u U i U i u i )(!
)()(!
3)(''')(!
2)(''))((')()()(32-+
+-+
-+
-+=
由于S u 很小，也就是说，可以只取该展式的前两项，而)
(Q Q U f I =，所以
)
()(']
)()[(')()(t u U f I U t u U f U f t i Q Q Q Q Q δ+=-+≈
根据Q I t i t i -=δ)()(，可得)()(')(t u U f t i Q δδ≈，其中)('Q U f 即为二极管特性曲线在工
作点处的斜率，令r
g U f Q /1)('==
其中，g 为二极管在工作点处的增量电导(incremental conductance)，r 为增量电阻(incremental resistance)。

通过以上分析，我们就可以建立起电路相对于工作点的小信号电路模型，在该模型中，元件均为线性电阻模型，计算时，可以直接使用前面我们学到的关于电阻电路的分析方法。

由于小信号情况下，我们将电路当作线性电路处理，此时电路满足叠加定理，即可将电
路的直流工作电路与小信号模型电路分开计算。

最后得到待求量。

直流工作点计算电路——直流通路
u R
小信号电路——交流通路
r R t u t i S S +=
δ)()(，r R t ru t ri t u S S +==δδ)()()(，r R t ru U t u U t u S S
Q Q ++=+=δ)
()()(
下面我们来看另一个有关的例子。

二、例2
已知：稳压电路及稳压管特性曲线如图所示。

其中12V 为电源，而uS 为电压的波动部分，也称纹波电压（ripple ）
例题2电路
直流通路
直流通路的等效电路
小信号电路——交流通路
求：电压u 。

解：可以根据例题的电路得出计算电路直流工作点的电路与小信号电路如图所示。

由图可以得出找到电路的工作点的直流负载线：Z Z i u )3/2(8--=，根据图解法可以得到此时的工作点为（-12V ，-6mA ）。

然后可以根据在工作点附近的的函数模型得到其增量电阻（或者增量电导），绘制出其增量电路模型如图。

再根据电阻电路的计算得到其待求量。

另外，我们可以注意到，稳压电路由于在击穿区斜率很大，如图中所示，而该部分与横轴交于-6V ，其斜率为1/10，这样我们就可以用一个10欧姆电阻与一个-6V 电源来等效在该区工作时的稳压管。

从而可以通过下面的线性电路来进行计算。

可采用叠加原理进行。

线性化模型
直流模型
小信号模型
由小信号模型可以计算，S u u 2
10-δ≈，可见电源电压的波动只能在输出端产生百分之
一的影响。

注意，如果工作点不在击穿区的线性特性附近，或者纹波电压变化幅度太大，以致于工
作范围超出击穿区，就不能再使用线性化模型。

三、例3
已知：电路及非线性元件的特性曲线如图所示，A i S 101=，tA i S sin 2=，S G 3=。

+
_ 图17-14(a) 例题3电路 图17-14(b) 非线性元件特性
图17-14(c) 直流工作点计算电路
图17-14(d) 小信号电路
求：电压u 。

解：可以根据例题的电路得出计算电路直流工作点的电路与小信号电路如图17-(c)、(d)所示。

由图17-(c)可以计算电路的工作点：
0 0''2>=--u u Gu i s
由于，A i s 101=，S G 3=，所以0 0''3102
>=--u u u 。

解得：V u 2'=。

图17-(d)中的增量电导G 为：
S
u dt
u d dt u df G u u 42)()(2'2
'2===
===
这样根据图17-(d)中的电路可得
t
u sin 71
''=。

所以： )
( sin 71
2'''V t u u u +=+=。

四、小信号分析法的计算步骤小结
总结前面有关的计算方法，具体的计算步骤为：
1．绘出直流电路，求出直流偏置电压作用时电路的直流工作点（U Q ，I Q ）（或待求量）； 2．根据非线性元件的伏安特性求出对于工作点处的电导； 3．绘出电路的小信号模型电路，计算出相应的待求量； 4．将直流分量与小信号分量叠加起来。

17.17 分段线性分析法
思路：将非线性电路中的非线性元件特性适当分解成为数个线性区段，从而可以将非线
性电路求解过程化为几个线性电路的分析。

如
17.7 牛顿-拉夫逊法
由于含有非线性电阻元件的电路方程可以用非线性代数方程描述，因此，解决非线性电路就是要求解非线性代数方程。

往往非线性代数解的情况非常复杂，用一般代数求解的方法一般比较麻烦，所以常常采用数值计算解法求解其近似解，尤其在计算机辅助分析中常常用到。

其中牛顿-拉夫逊算法是其中较为常用的一种。

如图所示，任意选择初始点x 0，得到)(x f 在该初始点处的切线，将该切线与横轴的交点对应的函数值与一个指定的误差（接近于零）做比较，如果误差小于规定值，则停止计算；如果误差大于规定值，则将该处的x 值作为下一次计算的“初始点”，再重复上面的过程，直到计算的新的切线与横轴的交点处对应的函数)(x f 的值近似为零，此时得到的x 的值即为电路方程的解。

需要注意的问题： 1．叠代公式的获取
同样应用到函数的泰勒级数展开式：
+∆⨯⨯+∆⨯+
=∆+===+22
21
)(!21)()()(k x x k
x x k
k
k
k x dx
f
d x dx
df
x f x x f x
f k
k
取线性部分，并使得：k
x x k k k k x dx
df x f x x f x f k ∆⨯+
=∆+===+)()(0)(1，则：
)
(1
k x x k x f dx df x k
=-=∆
这样的话，只要导数不为零，则可以得到叠代公式为：
)
(1
1k x x k k k k x f dx df x x x x k
=+-=∆+=
2．初值的选取问题
如图所示，在该方法中，初值的选取非常重要，在选取不合适的情况下，就可能出现叠代过程振荡或者发散的问题，一般来说解决的方案是通过一定的叠代次数的判断来确定是否需要终止叠代，重新选取初始值。

可见该算法中，存在初值选取不当影响计算过程的缺点。

也可通过其他方法解决该算法中存在的初值问题。

可以参考相应的参考书。