回归本源用定义求解圆锥曲线问题

已 ３ ）求 拿Ｉ 最 知 （， ． ｌ ｌ ｌ １ Ｐ ＋ Ｐ的 Ａ Ｆ
小值 ． 网 ３
２ ．求 面积
２
例 如 １ ＦＦ是 圆 ２ 图 ， － 椭 去 没 ，
分 析 根 据 题 设 条 件 画 出 图 ３ 这 是 发 现 解 题 思 路 的 前 ，
提， √ ， 。＝ ３ ｂ＝１． ｃ ２ ｅ ，． ＝ ， ＝｛ ． ‘
中 运 用 余 弦 定 理 ，ｃｓ０ ＝ — ＝ 。６ 。 １
（ １＋ｒ） ｒ ２ 一２ ｌ２一（ ｃ ｒｒ ２）
２ ２ ｌ
＋； （ｃ ｒ一 ２）
２ ２ ｌ
点 Ｐ 的轨 迹．
（ 若 双 曲线 的 两 个 分 支 分 别 过 Ａ， 两 点 ， 以 ｃ为 ２） 口 且
一
１ ０—２ ｌ２—６ ０ ｒｒ ４
２ １ ２
个 焦 点 ， 另 一 个 焦 点 ９ 的轨 迹 ． 求
故 Ｓｍ ，＝ √ ． ， ３３
３ ．求 最 值
例 ３ （ ０ ９ 年 四 川 卷 －第 ９ 题 ） ２０ 如 图 ２， 知 直 线 ｆ ４ 已 ： ｘ一３ ＋６ ＝０ 和 ｙ 直 线 Ｚ ＝ 一ｌ 抛 物 线 Ｙ ： ， ＝４ 上 一 动 ｘ
义 ， ｌ ＰＩ Ｉ ＣＩ Ｉ Ｐｌ Ｉ 得 Ｊ ＋ Ａ ＝ ＋ ＢＣＩ ，
即 Ｉ ＢＰ Ｉ— ｌ Ｉ＝ 【 ＡＰ ＡＣＩ— １ 日ＣＩ ．
’ ．
点 Ｐ到 直 线 ｚ 直 线 Ｚ 距 离 之 和 的 和 ，的
最小值是 （ 分析 ） ．
图 ２
‘
Ｉ ＣＩ— Ｉ Ａ ＢＣ Ｉ＝ ２ ．
ｃ ｓ ０。：—１ 。６
：
２ １ ２
利 用 给
使 问 题 的解 决 变 得 容 易 ， 且 可 以避 免 大 量 的 计 算 ， 不 可 而 切
定 的椭 圆方 程容 易求 出 ｒｒ．
忽 视 定 义 在 解 题 中 的作 用 ． 而 事 实 证 明确 实 是 这 样 的 ． ”
分析
在 求 轨 迹 的 时候 ， 常 有 两 种 方 法 ， 巾 一 种 是 通 其
逐 步 分 析 找 关 系 ， 于 此 问 题 我 们 可 以 考 虑 直 接 用 定 义 去 对 求轨迹． 简 解 （ ） 轨 迹 上 任 一 点 Ｐ（ ， ）， １设 Ｙ 南椭 圆 的 第 一 定
ｚ４ ： 一３ ｙ＋６＝０的距 离 与 它 到 焦 点 Ｆ（ ， 的 距 离 之 和 的 １ ０）
Ｐ 的轨 迹 是 以 （ ， ） （一７ ０ 为 焦 点 ， ７０ ， ，） ２为 实 轴 长 的 双 曲 线
的左支．
最 小 值． 合 图 形 可 以 知 道 ， 最 小 值 等 于 焦 点 Ｆ（ ， ） 结 该 １ ０ 到
÷
１ ＰＡ ｌ＋
． ｒ／ ・ ＝ ． 三 ３
，
・ ．
＝
Ｆ。 ＝６ 。 要 求 面 积 ， 们 不 妨 设 Ｐ ＝ｒ ，Ｊ ＝ｒ， ＰＦ ０， 我 Ｆ ，， Ｆ ： 则
・ ． ．
’ ｌ ＇ｌ＝ ｌ ＰＩ ＰＡ ｌ＋ Ｊ ＰＨ Ｉ≥ Ｉ Ａ Ｉ Ｉ： ３ 一 ４
’
． ’
例 若Ｐ 双 线 ， １ ４ 是 曲 ÷一 右 １ ＝
支上的一个 动点 ， 是双 曲线右 焦点 ， Ｆ
Ｉ ＡＣＩ Ｊ ＋ ＢＣＩ＝２ ． ａ ｌ Ｉ ＱＩ ８＞１ ． ８，‘ ｏ ＋ ．Ｉ ＝２ ４
。
．
．
点 Ｑ的 轨 迹 是 以 Ａ， Ｂ为 焦 点 ， 轴 为 ２ 长 ８的椭 圆．
５
：３
ｒ ｒｓｎ １ １ ｉ ６０。 ＝
字．问 转 为 ｒ 的 ｒ，题 化 求ｌ ｒ ｒ ，
值 ． 目只 告 诉 我 们 Ｐ是 椭 圆 上 一 点 ， 们 尢 法 直 接 求 出 题 我
，
÷ １ｌ 尸ｌ 小 为 ． ．， ，Ｉ 的 值 பைடு நூலகம் Ｐ ＋ 最 １／ Ｆ ３
波利 亚 说 ： 当 你 不 能 解 决 一 个 问 题 时 ， 妨 回 到 定 义 “ 不
鼷 锥睦缝 题
２ １０ ２ ３ ０）
◎徐 婷 婷 （ 苏省 邳 州 运 河 中学 高 中北 校 江
解 设 Ｊ ｌ Ｐ ２＝ｒ， ｓ ｐ ＝ Ｆ Ｆ ２则
＝丁 ｒｒ ｉ ６０。 ＝ １ Ｉ ｎ ２ ｓ
ｒｒ 由椭 圆 的 第 一 定 义 ， ｒ ， 知 。＋ｒ ＝２ 。＝ｌ ．在 △Ｐ ， ０ Ｆ。 ：
记抛物线 Ｙ ＝４ 的 焦 点 为 ｘ
’
．
．
Ｉ Ｐ ｌ一 『 尸 ｌ＝ ２ ＜ １ ４．
Ｆ， Ｆ １０ ， 意 到 直 线 ｆ： 一１ 抛 物 线 Ｙ ＝４ 则 （ ，）注 ，Ｘ＝ 是 ｘ的准
线 ， 是抛 物线 ｙ 于 ＝４ ｘ上 的 动 点 Ｐ 到 直 线 ｚ ，的 距 离 等 于
直线 ｆ： 一３ ４ ｙ＋６＝０的距 离 ， 算 知 道 是 ２ 计 ．
（ 设 轨 迹 上 任 一 点 Ｑ（ Ｙ）， ２） ， 由双 曲线 的第 一 定 义 ， 得
Ｉ ＡＯＩ ｌ ｌ — ＡＣＪ＝ ＢＣｌ— ｌ ｌ 曰Ｑ ， 即Ｉ ＡＱＩ ｌ ＋ 口ＱＩ＝ ｌ ＡＣｌ Ｉ ＋ ＢＣ１ ．
●
脚 盯 （
ｌ ，
Ｆ Ａ
解 题 技 巧 与 方 法
。 ．
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●
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匣 衣濂 鏖
圆锥 曲线 定 义 是 圆 锥 曲 线 最 本 质 的 东 西 ．当 解 决 一 个 问题 毫 无 头 绪 的时 候 ， 不妨 回 归 本 源 ， 虑 用 圆 锥 曲线 的 定 考 义 去 解 决 问题 ． 于 圆 锥 曲 线 常 见题 型 现 归 纳 如 下 ： 对 １ ．求 轨 迹 例 １ 已知 三 点 ： Ａ（一７ ０） Ｂ（ ０） Ｃ（ １ ． ， ， ７， ， ２，２） （ ） 椭 圆过 ／， 两 点 ， 以 ｃ为 焦 点 ， 其 男 一 个 焦 １若 ｌ日 且 求
点 Ｐ到 两 定 点 （ ，） （一 ，） ７ ０ ， ７ ０ 的距 离 之 差 为 定 值 ２， 且
小 于 两 定 点 的 距 离 １ 由 双 曲 线 的 第 一 定 义 知 另 一 个 焦 点 ４，
Ｉ Ｆｌ 问 题 即 转 化 为 求 抛 物 线 Ｙ ４ ， Ｊ Ｅ ） ＝ ｘ上 的 动 点 Ｐ 到 直 线
数 学 学 习与 研 究
２０ ０． ３ １ ２
告＝ 的 ，是 上 ， １ 焦点Ｐ 椭圆 一点若
Ｆ， Ｐ ＝６ 。 求 ＡＰ Ｆ ０， Ｆ． ２的 面 积 ． 分 析 已 知 △ Ｐ Ｆ 的 一 角 Ｆ． 图 １
√ ３
解
・ ． ’
设 点 Ｐ到点 Ａ与 到准 线 的距 离 分 别 为 ｌ Ｈｌ ＩＡ Ｉ Ｐ ，Ａ ．
去 ， 义 是 解 决 问 题 的 原 牛 力 量．圆 锥 曲 线 的 定 义 是 灵 魂 ． 定 圆锥 曲线 的 问题 往 往 可 以从 定 义 人 手 ． 效 借 助 定 义 ， 但 有 不
ｒ 的值 ． 不妨 回到 椭 圆 的 定 义 上． 南椭 圆 的定 义 ， 以得 到 可
ｒ ＋ ２ ０ 结 合 Ｆ Ｐ ２＝６ 。 在 ＡＰ Ｉ２巾 运 用 余 弦 定 理 ｌ ｒ ：１ ． ｌＦ ０， ＦＦ