第一章_力学基础

1、点的应力状态
材料力学的知识告诉我们，应力 状态是指受力构件内任意点各不同截面 方位上的应力情况。
为了解冲压生产时板料的变形规 律，就必须先研究点的应力状态。
全应力的数学表达
全应力S：一极小面积上的内力ΔF与内力 作用面积ΔA的比值的极限。
S lim F dF A0 A dA
它可以分解成两个分量，垂直于作用面的叫 正应力，用σ表示；平行于作用面的叫剪应力， 用τ表示。
点的应力状态描述
描述一点的应力状态是通过在改点周围截取微小 的（正）六面体——单元体上各个互相垂直面上的应力 来表示的。一般可沿坐标方向将这些应力分解成6个应 力分量，即3个正应力和3个剪应力。
点的应力状态 a)任意坐标系 b)主轴坐标系
单元体
单元体是研究应力应变状态的理想 模型，它一般是一个微小的正六面体， 每个面的面积趋近于零。单元体有以下 一些特点：
τmax =±（σ3-σ1）/2
应力状态分类
单向应力状态：只有一个主应力不等于零
二向应力状态：只有一个主应力等于零， 其它两个主应力不等于零。（平面应力状态）
三向应力状态：三个主应力都不等于零
y
x
x
y y
x
x
x
y
x
x
z z
zx
zy
xz
yz
xy
yx
y
y
应力状态的分解
几个重要概念
1.球应力状态：三个主应力大小相等的应力状态。 2.静水压力：三向等压应力。 3.平均应力：单元体上三个正应力的平均值。
1 2
1 2
(
x
y
)
1 4
(
x
-
y
)2
2 xy
主切应力为：
1 2
1 2
(
1
-
2
)
等效应力
在塑性加工中常用到等效应力的概念， 它是一种假想的应力，表示一点的应力强度， 其值为（假设σz=σ3=0）：
σ=
σ12
-σ1σ2
+σ
2 2
在物体塑性变形过程中，可根据等效应 力値的变化来判断是加载还是卸载。增加为 加载，减小为卸载。
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
应用说明
增量理论具有普遍性，但实用不便； 全量理论由增量理论得到，对于简单加
载正确； 对于非简单加载，只要变形过程中主轴
方向的变化不是太大，全量理论误差不 大； 在冲压工艺中常用全量理论。
全量理论在冲压变形中的定性分析
（1）在球应力状态时，毛坯不产生塑性变形，仅有弹性 变形存在。
物体变形时,单元体相对应变(无可加应 变有九个分量,写成矩阵形式为:
ij yxx
xy y
x y
z z
zx zy z
与主应力对应的主应变为:
1 0 0
ij
0
2
0
0 0 3
在与主应变主轴成±45度的方向上,
其切应变有极值,叫主切应变,其大小为:
12 }
21
1 2
(1
两种应变的区别实例
在做低碳钢拉伸试 验时，将50cm长的板试 件拉伸至总长80cm时， 总应变等于ε=（80-50） /50=60%，若将此变形 过程视为两个阶段，即 由50cm拉长到70cm， 再由70cm拉长至80cm， 则相应的应变量为ε1= （70-50）/50=40%, ε2= （80-70）/70=14.3%,显 然有ε1+ε2≠ε。
1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的。 2.两个相互平行侧面上的应力情况是相同的。 3.代表该点三个相互垂直方向上的应力情况。
主应力
对任何一种应力状态来说， 总存在这样一组坐标系，使得单元 体表面上只出现正应力，而没有剪 应力。这样的坐标系称为主轴坐标 系。这时三个正应力叫做主应力。 其数值从大到小依次用σ1、σ2和 σ3表示，正负号分别代表拉应力和 压应力。3个主应力的作用平面称为 主平面。表示主应力个数及其符号 的简图，简称主应力图，共9种。如 下图所示。
σ1—σ3 = βσs
式中β值的变化范围为1~1.155，体现了中间主应力的 影响。
屈服轨迹在冲压中的应用
右图为轴对称平面应力状态下 屈服轨迹上的应力分区，、 分别为平板内径向与周向应 力：
第1象限( >0, >0)为拉拉应力状态类型,与胀形及翻边 工序相对应;
第3象限( <0, <0)为压 -压应力状态类型,与缩口工序 相对应;
塑性变形阶段，加载、卸载应力应变的 关系有不同的变化路线，关系不确定。
在变形过程中的任一时刻，变形体的应 力状态只与该时刻的受力情况有关，与 整个加载过程无关；
而此时的塑性应变值却是该时刻以前经 历过的变形过程中应变的积累的结果；
两者不存在对应关系，两者的主轴方向 也不可能一致。
增量理论
（2）平面变形时，在主应力与平均应力相等的方向上不 产生塑性变形。（如宽板弯曲）
（3）在平板毛坯胀形的中心部位是双向等拉的平面应力 状态。此时，厚度方向的压缩变形值是长、宽方向伸 长变形值的两倍。
（4）当毛坯变形区三向受压时，在最大压应力的方向上 一定是压缩变形，在最小压应力的方向上必为伸长变 形。三向受拉的情况与其类似。
2、点的应变状态
点的应变可以用相对应变（又称工程应 变）或真实应变（又称对数应变）两种方法 来表示。
a.相对应变：以线尺寸的增量与初始线尺寸之 比来表示。即：
l l1 l0
l
l0
式中 l0——初始长度尺寸 l1——变形后长度尺寸
b.真实应变：变形后的线尺寸与变形前的线尺 寸之比的自然对数值，即：
m
1 3
x
y
z
任何一种应力状态都可以分解为2种应力状态。 一种是各应力分量大小等于平均应力的球应力状态， 称为应力球张量；另一种是应力分量等于各面的真 实应力与平均应力差值的应力状态，称为应力偏张 量。
板材成形中点的应力状态分析
冲压加工的对象多为金属板材。对于板
材成形，经常忽略板厚方向的应力分量。即 z=0，τyz=τxz=0，为二向应力，由材料力学 知，二向应力主应力为：
第2、4象限AH(ma = >0) 和CD(ma= >0)为拉-压应力 状态类型, CD对应扩口工序;
第2、4象限GH(ma = <0) 和DE(ma= <0)为压-拉应力 状态类型, GH对应拉深工序。
平面应力屈服轨迹上的应力分区
冲压应力图
冲压变形图
5、应力应变关系
1. 塑性变形时的体积不变规律
数学表达式：
3.屈服准则的几何表示
在平面应力状态时，屈服准则可用屈服轨
迹来表示。
平面应力状态的屈服轨迹
三向应力状态下两屈服准则表达
通过大量的试验表明，对于绝大多数金属材料， Mises准则比Tresca准则更接近于实验数据。当有两个 主应力相等的应力状态下两者是一致的。为了使用上的 方便， Mises准则可改写成接近Tresca准则的形式：
增量理论表示每个应变增量的分量与对应 的偏应力分量成正比
由此可见，塑性变形时，每一瞬间的应力 只与该瞬间的应变增量有关，而与该瞬间 的应变值（全量应变）无关。
d1 d 2 d 2 d3 d3 d1 C 1 2 2 3 3 1
全量理论
全量理论——主应力差与主应变差成比 例（比值为正）。在简单加载条件下，可对增 量理论公式进行积分得到全量理论。其表达式 如下:
-
2
),
23}
32
1 2
(
2
-
3)
31} 13
1 2
(1
- 3 ),如果1
≥ 2
≥
，
3
则最大与最小切应变为：
m a x}
m in
1 2
(1
-3)
等效应变
塑性变形时的等效应变
2 ε=
3
( ε1 - ε2 )2 + ( ε2 - ε3 )2 + ( ε3 - ε1 )2
它是衡量各应变分量总的作用效果的一个 可比指标，也称应变强度。
lim∑ e
n li l1 dl ln l
l l→0 i1 i
l0 l
l0
两种应变的区别在于，相对应变的主要缺陷在
于它忽略了变化基长对应变的影响，从而造成变形 过程中的总应变不等于各个阶段应变之和，无可加 性。而真实应变具有可加性，更能反映物体的实际 应变程度。但当物体变形很小时，相对应变值和绝 对应变值是非常接近的。
冲压变形的理论基础（2）
力学基础
主要内容
1、点的应力状态 2、点的应变状态 3、真实应力－应变曲线 4、屈服准则（屈服条件、塑性条件） 5、应力应变关系
重点掌握：4、5
冲压理论主要研究材料的塑性变形过程。
在一般情况下，变形区内各处的应力和应变 是不同的。
研究变形规律，即研究变形区内各处的应力 状态和应变状态，以及它们之间的关系。
料中的某点的应力满足屈服准则，该点就进入塑 性状态。
Leabharlann Baidu
1.屈雷斯加(H·Tresca)屈服准则
当材料（质点）中的最大剪应力达到一定值
时，材料就开始屈服。
数学表达式：τmax =（σ1-σ3）/2= σs /2
2. 米赛斯(Von Mises)屈服准则
当材料（质点）中的等效应力达到材料的
屈服点σs 时，材料就开始屈服。
几种常用冲压板材的硬化曲线
硬化指数
n 称为材料的硬化指数（或n 值），是表 明材料冷变形硬化的重要参数。n大表示在冷 变形过程中材料的变形抗力随变形的增加而迅 速增加，材料的塑性变形稳定性好，不易出现 局部的集中变形和破坏，有利于提高伸长类变 形的成形极限。
4、屈服准则（屈服条件、塑性条件）
屈服准则：材料进入塑性状态的力学条件。当材
单元体变形及其分解
板材的应力应变状态的四种类型
拉-拉 (>0, >0, ma >0, mi >0) 拉-压 (<0, <0, ma >0, mi <0 , ma >0, mi <0) 压-拉 (<0, <0, ma <0, mi >0 , ma <0, mi >0) 压-压 (>0, >0, ma <0, mi <0 , ma <0, mi <0)
9种主应力图
主剪应力
除主平面不存在剪应力外，单元体其他方向截 面上都有剪应力，在与主平面成45°角的截面上，剪 应力达到极大值，称为主剪应力。其作用面称为主剪应 力面。它共有3组。值分别为：
τ12 =±（σ1-σ2）/2
τ23 =±（σ2-σ3）/2 τ31 =±（σ3-σ1）/2
其中绝对值最大的剪应力称为改点的最大剪应力， 用τmax表示。因为σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ，故
金属塑性变形时，根据体积不变条件，对于原始长宽 高为l0 、b0 、t0的长方体试样，有
两边取对数，得
lbt/l0b0t0 =1
lnl/l0 + lnb/b0 + lnt/t0 =0 即
ε1+ε2 +ε3 =0 上式说明在塑性变形时，3个主应力之和等于零。
主变形图只可能有三种形 式，且符合体积不变定律：
板材的应力与应变状态及其对应关系 a)板材的应力状态 b)板材的应变状态
3、真实应力－应变曲线
真实应力——应变曲线（硬化曲线） 1.弹塑性变形共存规律：材料进入塑性变形阶段时，同时
存在弹性变形和塑性变形。
拉伸曲线
单向拉应力－应变曲线
实际应力曲线与假象应力曲线
2.真实应力-应变表达式
σ=Kεn
式中：K——与材料有关的系数（MPa） n——硬化指数
1 2 3 0
三种主应变状态图
ε1+ε2 +ε3 =0
1、三个应变分量不可能全部都是同号的。 2、而且只可能有三向和平面应变状态，不可
能有单向应变状态。 3、三种应变状态如图示。 4、在平面应变状态下，根据体积不变规律，
两个主应力绝对值相等，符号相反。
加载历史不同，应力应变关系不确定
弹性变形阶段，应力与应变成正比，应 力应变关系与加载历史无关。