曲线与方程(含答案)

曲线与方程

一、知识疏理：

1

、直线截曲线所得弦长的计算公式：

12AB x x =-=

或

12AB y y =-= 2、求曲线方程的步骤：

（1）建立平面直角坐标系；（2）设(),P x y 为轨迹上任意一点；（3）写出动点所满足的轨迹条件；（4）将轨迹条件转化为对应的含,x y 的解析式，并将所得结果化简，即得轨迹的方程；（5）证明满足方程的任意一组实数解(),x y 的对应点必在轨迹上。

3、求轨迹方程的一般方法：（1）直接法；（2）代入法；（3）参数法。 二、典型例题：

1、若直线1y x =+与曲线2

2

3ax y -=仅有一个公共点，求实数a 的值。

解：()22

2

1

12403

y x a x x ax y =+⎧⇒---=⎨-=⎩ 当1a =时，方程有唯一解，符合题意；当1a ≠时，由0∆=得34

a =； 综上所述，1a =或

34

。 2、（求动点的轨迹方程）（1）已知两个定点,A B ，且2(0)A B a a =>，动点M 到点A 的距离与到点B 的距离之比为2:1，求动点M 的轨迹方程；

（2）ABC ∆的边AB 长为2a ，BC 边上的中线长为m ，试求顶点C 的轨迹方程；

（3）已知(1,1)Q -，动点P 在曲线2

2

1625400x y +=上运动，求线段QP 中点M 的轨迹方程； （4）求直线220x y k --=与直线230x y k --=的交点的轨迹方程。 解：（1）以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系 设()()(),0,,0,,A a B a M x y -，由已知可得

2=，故所求轨迹方程为222331030x y ax a +-+=；

（2）以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系

设()()(),0,,0,,A a B a C x y -，由中点公式得,22x a y D +⎛⎫

⎪⎝⎭

()()2

22340x a y m y ∴++=≠

（3）设(),M x y ，由中点公式得()21,21P x y -+

()()

22

16212521400

x y ∴-++=，即所求轨迹方程为()()2

2

2121125

16

x y -++

=；

（4）

220

230x y k x y k --=⎧⇒⎨

--=⎩

交点为()4,3k k -- 设4,3x k y k =-=-，消参得340x y -=，即所求轨迹方程为340x y -=。 3、已知曲线C 的方程是2

22y x x =-+

求：（1）曲线C 关于点()2,1-对称的曲线1C 的方程；（2）曲线C 关于直线30x y --=对称的曲线2C 的方程。

解：（1）在曲线1C 上任取一点(),P x y ，它关于()2,1-的对称点为()4,2Q x y ---

则点Q 在曲线C 上，得()()2

24242y x x -=-----+，即曲线1C 的方程为2

2

1024y x x =---；

（2）在曲线2C 上任取一点(),P x y ，它关于直线30x y --=的对称点为()3,3Q y x +- 则点Q 在曲线C 上，得()()2

33232x y y -=+-++，即曲线2C 的方程为2

480y y x +-+=。

4、（弦长公式）若直线20x y t -+=与抛物线2

y x =交于两点,A B ，且AB =，求实数t 的值。

解：由2

2

2020x y t x x t y x

-+=⎧⇒-++=⎨=⎩，12121,22t x x x x ∴+==-

5AB =12x x ∴-=

=

15

8t ⇒==。

三、基础知识巩固：

1、下列各组方程中表示同一曲线的是（ D ）

(),

1y

A y x x

==； (),B y x y ==； ()C y x =； 22(),D y x y x ==

2、若曲线2

1y mx x =-+与x 轴有公共点，则m 的取值范围是14

m ≤

3、直线21y x =-被曲线22

210x y y +--=截得的线段的长为5

4、方程2

2

2

22

(4)()0x x y -+-=表示的曲线是（ B ）

()A 两个点； ()B 四个点； ()C 两条直线； ()D 四条直线。

5、点P 到两直线0,0x y x y -=+=的距离之积为2，则点P 的轨迹方程为2

2

4x y -=± 6、已知(1,3)A ，点B 在2360x y +-=上运动，则AB 的中点P 的轨迹方程为46170x y +-= 四、能力提高：

1、已知直线1l 和2l 的夹角平分线为0x y +=，如果直线1l 的方程为0ax by c ++=，则2l 的方程为

0bx ay c +-=

2、方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点57(0,3),(0,4),(4,0),,34⎛⎫

--

⎪⎝⎭

中的（ C ） ()A 4个； ()B 3个； ()C 2个； ()D 1个。

3、以曲线2

2y x =与曲线2

2

20x y y +-= 4、在平面直角坐标系内，方程log log x y y x =表示的曲线与直线210x y -+=的交点个数为 0个 5、方程(,)0f x y =表示的曲线关于直线10x y -+=对称的曲线的方程为()1,10f y x -+=

6、若点(,)P x y 在曲线1x y +=上，O 是原点，则OP 的最小值为2

7、设两点(4,1),(2,3)P Q -，求

（1）以PQ 为一条直角边的Rt PQA ∆的顶点A 的轨迹方程； （2）满足PQB ∆面积为20的点B 的轨迹方程； （3）以PQ 为斜边的Rt PQC ∆的顶点C 的轨迹方程；

（4）以PQ 为一条边的矩形PQRS （,,,P Q R S 按逆时针方向排列）的顶点S 的轨迹方程。