第九章 几何学的变革

几何学的变革

9.1 欧几里得平行公设

直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下．解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧氏几何本身的内容．解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位．许多数学家都相信欧里几得几何是绝对真理，例如巴罗就曾列举8点理由来肯定欧氏几何，说它概念清晰；定义明确；公理直观可靠而且普遍成立；公设清楚可信且易于想象；公理数目少；引出量的方式易于接受；证明顺序自然；避免未知事物，他因而极立主张将数学包括微积分都建立在几何基础之上．17、18世纪的哲学家从霍布斯(Hobbes)、洛克(Locke)到康德(I ．Kant)，也都从不同的出发点认为欧氏几何是明白的和必然的。难怪笛卡儿在发明了解析几何以后仍坚持对每一个几何作图给出综合证明，牛顿在首次公开他的微积分发明时也坚持给它披上几何的外衣.

然而，这个近乎科学“圣经”的欧几里得几何并非无懈可击．事实上，公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但有一件事却始终让他们耿耿于怀，这就是欧几里得第五公设，也称平行公设．在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得比较特殊．它的叙述不像其他公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更像是一个定理，并产生了从其他公设和定理推出这条公设的想法．欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的使用，一直到卷I 命题29才不得不利用它．

因此，从古希腊时代开始，数学家们就一直没有放弃消除对第五公设疑问的努力．他们或者寻求以一个比较容易接受、更加自然的等价公设来代替它，或者试图把它当作一条定理由其他公设、公理推导出来．在众多的替代公设中，今天最常用的是：

“过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”．

—般将这个替代公设归功于苏格兰数学家、物理学家普莱菲尔(J.Playfair ，1748—1819)，所以有时也叫普莱菲尔公设．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世纪就陈述过它，然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受、更加“自然”．

历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫(Ptolemy ，约公元150)作出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线平行于该直线，这就是上面提到的普莱菲尔公设．

如第4章所述，中世纪的阿拉伯数学家奥玛·海雅姆和纳西尔丁等也尝试过第五公设的“证明”．

文艺复兴时期对希腊学术兴趣的恢复使欧洲数学家重新关注起第五公设．在17世纪研究过第五公设的数学家有沃利斯等．但每一种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存在着其他形式的推理错误．而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义．因此，在18世纪中叶，达朗贝尔曾把平行公设的证明问题称为“几何原理中的家丑”．但就在这一时期前后，对第五公设的研究开始出现有意义的进展．在这方面的代表人物是意大利数学家萨凯里(G.Saccheri)、德国数学家克吕格尔(G.S.Klugel)和瑞士数学家兰伯特．

萨凯里最先使用归谬法来证明平行公设．他在一本名叫《欧几里得无懈可击》(1733)的书中，从著名的“萨凯里四边形”出发来证明平行公设．萨凯里四边形是一个等腰双直角四边形，如图，其中,BD AC ∠A =∠B 且为直角．

不用平行公设容易证明∠C=∠D．萨凯里指出，顶角具有三种可能性并分别将它们命名为

1．直角假设：∠C和∠D是直角；

2．钝角假设：∠C和∠D是钝角；

3．锐角假设：∠C和∠D是锐角．

可以证明，直角假设与第五公设等价．萨凯里的计划是证明后两个假设可以导致矛盾，根据归谬法就只剩下第一个假设成立，这样就证明了第五公设．萨凯里在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中他获得了一系列新奇有趣的结果，如三角形三内角之和小于两个直角；过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交，等等．虽然这些结果实际上并不包含任何矛盾，但萨凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实的．

萨凯里的工作激发了数学家们进一步的思考．1763年，克吕格尔在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论．克吕格尔是第一位对平行公设能否由其他公理加以证明表示怀疑的数学家．他的见解启迪兰伯特对这一问题进行了更加深入的探讨．

1766年，兰伯特写出了《平行线理论》一书，在这本书中，他也像萨凯里那样考虑了一个四边形，不过他是从一个三直角四边形出发，按照第四个角是直角、钝角还是锐角作出了三个假设．由于钝角假设导致矛盾，所以他很快就放弃了它．与萨凯里不同的是，兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何．因此，兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路．

萨凯里、克吕格尔和兰伯特等，都可以看成是非欧几何的先行者．然而，当他们走到了非欧几何的门槛前，却由于各自不同的原因或则却步后退(如萨凯里在证明了一系列非欧几何的定理后却宣布“欧几里得无懈可击”)，或则徘徊不前(兰伯特在生前对是否发表自己的结论一直踌躇不定，《平行线理论》一书是他死后由朋友发表的)．突破具有两千年根基的欧氏几何传统的束缚，需要更高大的巨人，这样的时机在19世纪初逐渐成熟，并且也像解析几何、微积分的创立一样，这样的人物出现了不止一位．对非欧几何来说，他们是高斯、波约(J.Bolyai，1802—1860)和罗巴切夫斯基(N.I.Lobachevsky,1793-1856)．

9.2 非欧几何的诞生

前面讲过，在非欧几何正式建立之前，它的技术性内容已经被大量地推导出来．但最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间、像欧氏几何一样正确的新几何学的是高斯．

从高斯的遗稿中可以了解到，他从1799年开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来，并从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何．他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”，所以“非欧几何”这个名称正是来自高斯．但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何的思想有所透露外，高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著．这主要是因为他感到自己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触，担心世俗的攻击．他曾在给贝塞尔(P.W.Bessel)的一封信中说：如果他公布自己的这些发现，“黄蜂就会围着耳朵飞”，并会“引起波哀提亚人的叫嚣”．这里所讲的波哀提