【课件】高二数学 必修5 第1章_余弦定理

A
AD=4sin600,CD=4cos600,
BD=3－4cos600,
∴ AB2=AD2+BD2=(4sin600)2+(3－4 cos600)2
=42+32－2×3×4cos600
∴ AB= 13
猜想：AB²=AC²+BC²－2AC×BC×cosC 对任意三角形是否成立？
B D C
定理的推导
A
什么叫正弦定理 ？ 正弦定理 在一个三角形中，各边和 它所对角的正弦值的比相等，即
a b c sin A sin B sinC
正弦定理可以解哪几类的三角形问题？
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 （进而求出其他的边和角）。
若A为直角或钝角时: a b 无解
a b一解锐角
若A为锐角时:
ab
b sin A a b
a b sin A
a b sin A
一解锐角 二解一锐、一钝
一解直角
无解
判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20, B=30o 两解
(2)c=54, b=39, C=120o 一解 (3)b=26, c=15, C=30o 两解 (4)a=2,b=6,A=30o 无解
13 14
,求最
解：c2 a2 b2 2abcosC 72 82 2781143 9
c3
则有：b是最大边，那么B 是最大角
cos
B
a2
c2b2 2ac
327282 237
1 7
公 式 的
cosA= b2 c 2 a 2
பைடு நூலகம்
变
2bc
形
a2 c2 b2
cosB=
2ac
cosC= a 2 b2 c2 2ab
已知三角形三边长为a,b,c
设a是最长边,则 △ABC是直角三角形a2=b2+c2 △ABC是锐角三角形a2<b2+c2 △ABC是钝角三角形a2>b2+c2
利用余弦定理，还可以解决:
1.已知，在ΔABC中， a=22cm,b=25cm,A=133。 解三角形
2.已知在 ABC中, b 3, B 60, c 1 ,
求 a 和 A,C
特殊到一般,发现定理
令∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.
A
B
D
C
已知∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.
解: 过A作BC边上的高AD,则
△ABC是钝角三角形a2>b2+c2
d、已知两边及其中一边所对的角.求第三
边，进而可求出其它两个角
作业:
1.b 8, c 3, A 600 , 求a;
2.a 2, b 2, c 3 1, 求A.
3.在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC=
13 14
,求最大
角的余弦值
作业:在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC= 大角的余弦值
A
B
C
余弦定理
A a2=b2+c2-2bc·cosA
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
B a C c2=a2+b2-2ab·cosC 三角形任何一边的平方
你等于能其用他两文边字平方说的明和减吗去？
这两边与它们夹角的余弦值 的积的两倍。
定理的应用
1.令∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.
A
B
C
例3：在⊿ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41°,解三角形 （角度精确到1°，边长精确到1cm）.
解：根据余弦定理，a²=b²+c²－2bccosA
=60²+34²－2×60×34× cos41°≈1676.82
所以 a≈41(cm)
由正弦定理得，
sin C csin A 34sin 41 34 0.656 0.5440.
2bc
2 87.8 161.7
A≈56°20′;
cos B c2 a2 b2 134.62 161.72 87.82 0.8398,
2ca
2 134.6 161.7
B≈32°53′
C= 180°－（A+B）≈ 180°－（ 56°20′＋ 32°53′ ） ＝90°47′
定理的应用
2.已知:a=7,b=8,c=3,求A. 并判断此三角形的形状.
a
41
41
因为c不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用计算器得
C≈33°
B=180°－（A+C）=180°－（41°＋33°）＝106°
例4，在⊿ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三 角形（角度精确到1′）。
解：由余弦定理的推论得：
cos A b2 c2 a2 87.82 161.72 134.62 0.5543,
已知两边和其中一边所对的角，求 第三边和其他两个角；
（1）余弦定理适用于任何三角形
（2）余弦定理的作用：
总
a、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进
结:
而可求出其它两个角 b、已知三边，求三个角
c、判断三角形的形状
设a是最长边,则
△ABC是直角三角形a2=b2+c2
△ABC是锐角三角形a2<b2+c2
C
B
定理的证明
A
B
C
证明：在三角形ABC中，AB、BC、CA的长分别为c,a,b.
AB AC CB
AB • AB ( AC CB) • ( AC CB)
2
2
AC 2AC • CB CB
2
AC
2
AC
•
CB
c os (1800
C)
2
CB
b2 2abcosC a2
即c2 a2 b2 2ab cosC