沪深两市股票指数的长记忆性

个。 且对收盘价进行了收益率变换, 即R t=
lo g
P t+ 1 , Pt
其中R t 为 t 时刻收益率, P t 为 t 时刻收盘价。
在使用各种R S 分析方法时, 值得说明的问题
是R S 序列中 n 的选取。 本文中使用的取法是:
n1 = N , n2 = [N 2 ], …, n6 = [N 6 ],
型 (au to 2reg ressive m oving average, A RM A ) 结合
起来的产物[5]。 数学表达式如下:
<(B ) (1 - B ) dX t = Η(B ) Ε.t
收稿日期: 2004201206 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 (79970120) 作者简介: 姜仁娜 (19792) , 女 (满) , 吉林, 硕士。 通讯联系人: 叶俊, 副教授, E2m ail: jye@m ath. tsinghua. edu. cn
lg (R 3 S) n = a + b lg (n) + Εn,
(2)
其中, 回归系数b 就是H u rst 指数, 且分数差分阶数d
= b- 0. 5。
尽管经典R S 统计量在分析长记忆性方面具有
某些优越性, 但它的一个缺点就是对短记忆性的敏
感性。 文[ 4 ]中发现, 如果所研究的时间序列数据存
∑∞ d (- B ) j。Εt 服从独立的白噪声过程。
j= 0 j
2 R S 统计方法
对A R F IM A 模型进行参数估计时, 重点也是难
点都集中在分整参数d 的估计Βιβλιοθήκη Baidu。本文也采用H u rst
指数方法对 d 进行估计。
经典R S 方法表述为
(R 3 S) n =
k
n
∑ ∑ 1
Ρn
m ax
1≤k ≤n
本文利用R S 方法及修正R S 方法对深证成指 和上证指数的收益率构建A R F IM A 模型并进行长 记忆性分析。由于国内股市尚处于起步阶段, 体系制 度有待于进一步完善, 股价收益率规律性还不是很 强, 因此本文的分析尚属于探索性的研究。
1 分整自回归移动平均模型
长记忆性是指相隔较远的观测值之间仍具有相
样本量, [ ]指取最接近 0 的整数。 详见文[ 7 ]。
对上证指数和深证成指的收盘价进行收益率变
1698
清 华 大 学 学 报 (自 然 科 学 版)
2004, 44 (12)
换后, 各有 1 106 个收益率数据, 对两组收益率数据 分别用经典R S 统计量、修正的 (R S) ′统计量和无 偏修正的 (R S) n″统计量给出d 的估计。对两种修正 R S 统计量, 根据样本量, 作者发现q 取10 以内比较 合适, 而太小体现不出修正意义, 因此此处 q 的取值 分别 为 3、4、5、6、7、8、9、10。d 的 估 计 值 如 表 1 所列。
J IANG Re nna , YE J un
(D epartm en t of M a thema tica l Sc iences, Tsinghua Un iversity, Be ij ing 100084, Ch ina)
Abstract: T he A u to2reg ressive F ractional In teg rated M oving A verage (A R F IM A (p , d , q) ) m odel w as u sed to analyze the retu rn rates in the Shanghai and Shenzhen stock m arkets. T he H u rst Exponen t m ethod w as u sed to estim ate the d param eter. T he classical R S m ethod, the b iased m od ified R S m ethod, and the unb iased m od if ied R S m ethod w ere u sed to study the retu rn rates of the Shanghai and Shenzhen stock m arkets. T he resu lts ind icate that the Ch inese stock m arkets show long2term m em o ry effects. T he p aper gives the op tim um rank s and estim ates of all param eters in the A R F IM A (p , d , q) m odel fo r the op tim um A R F IM A m odels fo r the retu rn rates of the Shanghai and Shenzhen stock m arkets.
姜仁娜, 等: 沪深两市股票指数的长记忆性
其中
<(B ) = 1 - <1B - <2B 2 + … - <pB p , Η(B ) = Η1B + Η2B 2 + … + ΗqB q
分别是自回归滞后 p 阶算子与移动平均滞后 q 阶算 子。<(B ) = 0 和 Η(B ) = 0 的根都在单位圆外, 且没 有重根。p , q 为整数, B 为滞后算子。 (1- B ) d 为 分数维差分算子, d 为实数, 且- 0. 5< d < 0. 5 时过 程 是稳定的。 当 d < 0. 5 时, 零 均 值 的 A R F IM A (p , d , q) 过程是协方差平稳的; 当 0< d < 0. 5 时, 过 程是长记忆的; 当- 0. 5< d < 0 时, 过程是中等记 忆; d > - 1 时, 过 程 是 可 逆 的。 且 ( 1 - B ) d =
n7 = [ n6 1. 15 ], n8 = [ n7 1. 15 ], ….
序列{n }确定之后, 由式 (1)、 (3)、 (4) 分别计
算出与n 对应的R S 统计量的值, 然后再由式 (2) 中
n 与R S 值之间的关系, 利用最小二乘法得出斜率
b, 进一步由h = b- 0. 5 得到H u rst 指数h。其中N 是
ICSNSN11120202022300N54
清华大学学报 (自然科学版) J T singhua U n iv (Sci & T ech) ,
2004 年 第 44 卷 第 12 期 2004, V o l. 44, N o. 12
沪深两市股票指数的长记忆性
姜仁娜, 叶 俊
(清华大学 数学科学系, 北京 100084)
在短相关性, 则使用经典R S 统计量会得出不正确
的结果。 为了消除短相关性对均值偏差的影响, 文
[ 1 ]中提出了修正的R S 统计量 (R S) ′。表达式为
(R S) n′(q) = R n S n (q).
(3)
其中:
k
n
∑ ∑ R n =
m ax
1≤k ≤n
j=
1
(X
j
-
M n) -
m in
关键词: 股票; 概率论; A R F IM A (p , d , q) 模型; 长记忆性; R S 统计方法
中图分类号: F 830. 91; O 211 文章编号: 100020054 (2004) 1221696204
文献标识码: A
L ong- term m em ory in Shangha i and Shenzhen stock markets
严重偏离样本的渐近极限; q 太小则滞后项太少以
至于起不到修正的作用。在现有的用修正R S 方法
进行实证分析的文献中, 也都是相对于各自的样本
量, 给出q 大致适合的范围进行比较讨论。本文的实
证分析中也采用这一方式。
3 实证分析结果
本文利用A R F IM A 模型分析了深证成指和上证 指数的收益率的长记忆性问题, 分整参数的估计采用 R S 系列方法。 所选数据为上证指数和深证成指 (1999203201—2003210215) 每日收盘价数据, 共 1 107
量后, 发现修正的统计量本身就是一个有偏的统计
量。为了克服这一点, 他们提出了新的修正R S 统计 量 (R S) n″, 并说明了这一新的统计量是无偏的。 表
达式如下:
(R
S) n″(q) =
Rn
S
3 n
(q) ;
(4)
S
3 n
(q)
=
q
∑ 1 +
2 Σj (q)
j= 1
n
n2
j
Ρδn2 +
q
n
∑ ∑ 2
1≤k ≤n
j=
1
(X
j
-
M n);
1697
Sn =
n
∑ 1
n
i= 1
(X i -
M n) 2 +
q
n
∑ ∑ 2
n j= 1
Σj (q)
(X i -
i= j + 1
M n ) (X i- j -
M n)
12
;
Σj (q) = 1 -
j q+
1, q <
n.
文[ 6 ]在研究了R S 统计量和修正 (R S) ′统计
j=
1
(X
j
-
M n) -
m in
1≤k ≤n
j=
1
(X
j
-
M n) .
(1)
∑ 其中M n 为样本均值, 即M n=
1 n
n
X j,
j= 1
Ρn 为样本方
差, 即
Ρn = 具体见文[ 5 ]。
∑ 1
n
n j= 1
(X j
-
M n) 2
12
.
对于一定长度的子序列, H u rst 指数由下式用
OL S 回归:
一种。 对A R F IM A 模型的参数估计, 目前广泛使用的
两种方法是文[ 2 ]中提出的 GPH 特殊回归估计和文 [ 3 ]中提出的 EM L E (exact t im e dom a in m ax im um 2 likelihood estim a to r)。GPH 估计法的优点是计算 简单, 缺点是它只能估计分整参数, 相对来讲效率较 低且易受谱函数低频率的影响; EM L E 方法是渐近 有 效 的, 但 是 计 算 量 太 大, 尤 其 对 于 阶 数 较 高 的 A RM A 模型, 计算量和速度均难以承受。 与以上两 种估计方法相比, 文[ 4 ]中使用的基于R S 统计量的 非参数估计方法, 对于具有无限方差和条件异方差 的序列具有一定的优越性。 近年来已有越来越多的 学者使用R S 方法对A R F IM A 模型进行研究, 并给 出了一些修正方法, 其结果充分显示了R S 方法的 优越性。
n j= 1
Σj (q)
(X i -
i= j + 1
M n ) (X i- j -
M n)
12
;
n
∑ Ρδn2 =
1 n-
1 k= 1 (X t -
M n) 2.
对于修正的R S 统计方法, q 的选取是非常复
杂的, L o 主张在实证分析中针对不同的q 进行比较
说明[4]。而且相对于所选样本量, q 太大则估计值会
Key words: stock; p robab ility; A R F IM A (p , d , q) long2term m em o ry; R S statist ical m ethod
m odel;
H u rst 通过对潮汐数据的研究发现了时间序列 中的长记忆性[1], 引起了人们对长记忆性的广泛关 注。近年来, 对长记忆性的研究已经取得了很大的进 展, 特 别 对 分 整 模 型 的 研 究 成 果 较 为 显 著。 A R F IM A 模型就是分整模型中使用较为广泛的
30 31 169621699
摘 要: 针对中国股票市场的长记忆性问题, 讨论了分整自 回归移动平均 (A u to 2reg ressive fractiona l in teg ra ted m oving average, A R F IM A (p , d , q) ) 模型中的参数估计问题, 重点 集中在对分整参数d 的估计。使用H u rst 指数方法估计d , 并 分别用经典 R S 方法、有偏修正 R S 方法和无偏修正 R S 方法进行估计, 并结合上证指数和深证成指的收益率数据, 给出了 3 种方法的估计结果。 实证结果表明, 中国股票市场 已初步显示出了长记忆性。 给出A R F IM A 模型的最优阶数 和全部参数估计值。得出了上证指数和深证成指收益率所适 合的最优的A R F IM A 模型。
关性, 长记忆性可以描述为: 时间序列X t 的 k 阶滞
n
∑ 后自相关函数 rx (k ) ,
如果 lim n→∞k= - n
rx (k )
= ∞,
则
序列X t 是长记忆性的。
A R F IM A 模 型 是 将 分 数 维 噪 声 ( fractiona l
d ifferenced no ise, FDN ) 模型与自回归移动平均模