数值分析第三章(王兵团版)线性方程组解法
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第三章
线性方程组解 法
讲授： 大型线性方程组计算机求解的常用 方法的构造和原理； 重点论述: Jacobi迭代法、Seidel迭代法、 Guass消元法及LU分解法的原理、构 造、收敛性等。
第3章
线性方程组解法
§3.2
基本概念
线性方程组的解？ 迭代法？直接法？
©
*线性方程组的行列式解法
对于 n 个方程的 n元线性方程组 其系数矩阵
Seidel迭代并不能取代Jacobi迭代!
©
Sor法
k 1得到 用Seidel迭代格式算出的x k 1记为x
k 1 k x x x , 做加速处理:
x
k 1
x
k
x 1 x
k
k 1 x
g, k 0 ,1, 2
给定一个初始向量x ,由迭代公式算出逼近解的向量序列 : x1 , x 2 , x k ,
©
二、构造原理 1、Jacobi方法的构造模式 2、Seidel方法的构造模式
3、Sor方法的构造模式
©
Jacobi
迭代法：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
j列
a1n a2 n ann
x1 b1 a11 x b 令 x 2 ， b 2 , B j a21 an1 x b n n
3）取定初始向量
©
x
0
x1 , x2 ,, xn
1 2
0
0
0
T
可逐次算出向量序列
x , x ,, x
k
Seldel迭代法
在Jacobi迭代格式的基础上做及时换上新值的方法做修改 :
Seidel 迭代格式
1 ( k 1) (k ) (k ) (k ) x ( b a x a x … a x 1 12 2 13 3 1n n ) 1 a11 1 ( k 1) ( k 1) (k ) (k ) x ( b a x a x … a x 2 2 21 1 23 3 2n n ) a22 3.3 …… 1 ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) x ( b a x a x … a x n n1 1 n2 2 nn 1 n 1 ) n ann
*线性方程组的解 对于 n 个方程的 n元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
得到Sor法迭代格式
x
k 1 i
1 x
k i
迭代法 用迭代公式来求满足精度要求的近似解的方法。
迭代法是一种逐次逼近线性方程组解的方法。
第3章
线性方程组解法
§3.3
线性方程组的迭代解法
x
k 1
Bx
k
g
©
一、基本思想
将线性方程组 Ax=b 等价变形为 x=Bx+g ,
然后构造向量迭代公式
x
k 1
Bx
0
k
3.1
式中aij 称 为系数，bi 称为右端项，它们都是已知量；
* * * 若有x1 , x2 , , xn 使方程组3.1成立，则称 * * * x1 , x2 , , xn 为方程组3.1的解。
在数值计算中，
解线性方程组的方法有
直接法和迭代法两大类。
直接法
用计算公式直接计算出线性方程组的解的方法。
2）写成迭代格式
将方程组右端 xi 写成 xik , 左端 xi 写成 xik +1 :
( k 1) 1 (k ) (k ) (k ) x ( b a x a x … a x 1 12 2 13 3 1n n ) 1 a11 Jacobi 1 ( k 1) (k ) (k ) (k ) 迭代格式 x ( b a x a x … a x 2 2 21 1 23 3 2n n ) a22 3.2 …… 1 ( k 1) (k ) (k ) (k ) x ( b a x a x … a x n n1 1 n2 2 nn 1 n 1 ) n ann
b1 b2 bn
a1n a2 n ( j 1,2,, n) ann
方法很优美， 但可行性不好！
Baidu Nhomakorabea
如果 | A | ≠ 0， 则方程组 Ax =b 有唯一解
| Bn | | B1 | | B2 | 且 x1 , x2 , , xn . | A |© | A| | A|
a11 x1 a12 x2 a1 n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 . an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
a11 a12 a a A 21 22 an1 an 2
方法： 1）将
等价 变形
1 x1 a (b1 a12 x2 a13 x3 a1n xn ) 11 1 (b2 a21 x1 a23 x3 a2 n xn ) x2 a22 不动点方程组 …… 1 xn a (bn an1 x1 an 2 x2 ann 1 xn 1 ) nn
线性方程组解 法
讲授： 大型线性方程组计算机求解的常用 方法的构造和原理； 重点论述: Jacobi迭代法、Seidel迭代法、 Guass消元法及LU分解法的原理、构 造、收敛性等。
第3章
线性方程组解法
§3.2
基本概念
线性方程组的解？ 迭代法？直接法？
©
*线性方程组的行列式解法
对于 n 个方程的 n元线性方程组 其系数矩阵
Seidel迭代并不能取代Jacobi迭代!
©
Sor法
k 1得到 用Seidel迭代格式算出的x k 1记为x
k 1 k x x x , 做加速处理:
x
k 1
x
k
x 1 x
k
k 1 x
g, k 0 ,1, 2
给定一个初始向量x ,由迭代公式算出逼近解的向量序列 : x1 , x 2 , x k ,
©
二、构造原理 1、Jacobi方法的构造模式 2、Seidel方法的构造模式
3、Sor方法的构造模式
©
Jacobi
迭代法：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
j列
a1n a2 n ann
x1 b1 a11 x b 令 x 2 ， b 2 , B j a21 an1 x b n n
3）取定初始向量
©
x
0
x1 , x2 ,, xn
1 2
0
0
0
T
可逐次算出向量序列
x , x ,, x
k
Seldel迭代法
在Jacobi迭代格式的基础上做及时换上新值的方法做修改 :
Seidel 迭代格式
1 ( k 1) (k ) (k ) (k ) x ( b a x a x … a x 1 12 2 13 3 1n n ) 1 a11 1 ( k 1) ( k 1) (k ) (k ) x ( b a x a x … a x 2 2 21 1 23 3 2n n ) a22 3.3 …… 1 ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) x ( b a x a x … a x n n1 1 n2 2 nn 1 n 1 ) n ann
*线性方程组的解 对于 n 个方程的 n元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
得到Sor法迭代格式
x
k 1 i
1 x
k i
迭代法 用迭代公式来求满足精度要求的近似解的方法。
迭代法是一种逐次逼近线性方程组解的方法。
第3章
线性方程组解法
§3.3
线性方程组的迭代解法
x
k 1
Bx
k
g
©
一、基本思想
将线性方程组 Ax=b 等价变形为 x=Bx+g ,
然后构造向量迭代公式
x
k 1
Bx
0
k
3.1
式中aij 称 为系数，bi 称为右端项，它们都是已知量；
* * * 若有x1 , x2 , , xn 使方程组3.1成立，则称 * * * x1 , x2 , , xn 为方程组3.1的解。
在数值计算中，
解线性方程组的方法有
直接法和迭代法两大类。
直接法
用计算公式直接计算出线性方程组的解的方法。
2）写成迭代格式
将方程组右端 xi 写成 xik , 左端 xi 写成 xik +1 :
( k 1) 1 (k ) (k ) (k ) x ( b a x a x … a x 1 12 2 13 3 1n n ) 1 a11 Jacobi 1 ( k 1) (k ) (k ) (k ) 迭代格式 x ( b a x a x … a x 2 2 21 1 23 3 2n n ) a22 3.2 …… 1 ( k 1) (k ) (k ) (k ) x ( b a x a x … a x n n1 1 n2 2 nn 1 n 1 ) n ann
b1 b2 bn
a1n a2 n ( j 1,2,, n) ann
方法很优美， 但可行性不好！
Baidu Nhomakorabea
如果 | A | ≠ 0， 则方程组 Ax =b 有唯一解
| Bn | | B1 | | B2 | 且 x1 , x2 , , xn . | A |© | A| | A|
a11 x1 a12 x2 a1 n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 . an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
a11 a12 a a A 21 22 an1 an 2
方法： 1）将
等价 变形
1 x1 a (b1 a12 x2 a13 x3 a1n xn ) 11 1 (b2 a21 x1 a23 x3 a2 n xn ) x2 a22 不动点方程组 …… 1 xn a (bn an1 x1 an 2 x2 ann 1 xn 1 ) nn