空间角度谈傅立叶变换、gabor变换小波及变换

空间角度谈傅立叶变换、gabor变换小波及变换
电气与自动化工程学院王欣博1014203044
对于空间的概念，我们最熟悉的就是欧式空间，这个定义了距离概念的空间，代表了我们生活中的空间概念。

在泛函分析中，空间概念得到了扩展，比较著名的有希尔伯特空间、banach空间。

它们的出现，极大的拓展了数学概念的内涵，并提供给我们一系列全新的工具来构建完整的数学大厦。

在泛函分析中，傅立叶变换、gabor变换及小波变换都可以理解为空间概念下的一组正交基底，虽然其各自具有不同的性质，但是比较相似的就是，他们都代表了函数空间表达，是对空间中任意函数的级数表达，相应的，我们也可以理解为展开在傅立叶、gabor或小波张成空间的频域表达。

一、傅立叶变换
为了在空间角度理解傅立叶变换，我们需要了解傅立叶变换的概念。

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。

最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。

要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。

傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。

而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。

它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。

在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

同样，在泛函分析或空间概念下，傅立叶变换的所对应的正弦余弦函数，可作为函数空间的正交基底，并表示任意该空间下的函数。

二、gabor变换
Gabor变换又被称做加窗傅立叶变换，Gabor函数可以在频域不同尺度、不同方向上提取相关的特征。

另外Gabor函数与人眼的生物作用相仿，所以经常用作纹理识别上，并取得了较好的效果。

Gabor变换是短时Fourier变换中当窗函数取为高斯函数时的一种特殊情况。

由于经典傅立叶变换只能反映信号的整体特性，另外，要求信号满足平稳特性，因此，引入了gabor变换。

事实上，Gabor用公式表示出如何将一个讯号分解成简单的波形，他这个开创性的想法变成现今时频分析的标准模型。

为了要同时将时间和频率的局部性质用一个转换方程式求出，Gabor引用了Gabor transform(或是windowed Forier transform)，他的主要想法是使用一个局部时间的窗函数（window function），ga(t−b)去找出傅立叶变换中的局部信息，而参数a代表window的宽度，参数b被用来转化window为了要包含全部的时间区域。

这个想法是用window局部地找出傅立叶变换的性质。

从空间角度来看，gabor函数同样张成了一组基底，并且该基地具有自己的测度，并可以表示该空间下的任意函数。

因此，我们可以将其看作泛函分析下一组完备的赋范空间。

同时，它具有傅立叶变换很多不具备的性质，如表示局部特性。

但是，加窗傅立叶变换同样具有其局限性，而小波变换则成为一个更灵活更有效的工具，下面我们就来比较小波变换。

三、小波变换
小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。

它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，能对时间（空间）频率的局部化分析，通过伸缩平移运算对信号（函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了傅立叶变换的困难问题，成为继傅立叶变换以来在科学方法上的重大突破。

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。

它已经在科
技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。

电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图像和信号处理。

从数学地角度来看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理（图像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。

对于其性质随时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。

但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。

从空间角度来考虑，小波变换根据不同的小波函数，可以构成不同的基底，同样也可以形成不同的空间，但根据用途，他们可以实现不同的目的，完成对某个空间内函数的完整表述。

从这个角度来说，小波变换是比傅立叶变换和gabor 变换更加灵活，同样，也可以解决更多不同种类的问题。

四、总结
傅立叶变换是信号在整个时域内的积分，傅立叶频谱只是信号频率的统计特性，没有局部化分析的功能，它虽然能将信号的时域和频域特征联系起来，但却不能将它们有机的结合起来进行分析。

gabor变换在一定程度上克服了傅立叶变换不具有局部化分析能力的问题，但gabor变换的时频窗口的形状一旦选定不可改变，而其变换所得结果受窗口函数影响，有一定失真。

小波变换不但具有时频两域局部化分析的能力，而且品质因数恒定不变，并且小波变换能做多分辨率分析。

小波变换是傅立叶变换的新发展，。