浅谈容斥原理在概率论中的应用

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浅谈容斥原理在概率论中的应用

李策

(1236303班 6120610306)

摘要:容斥原理是解决有限集合计数问题的重要原理之一。事实上我们在利用加法原理计数时, 就是先将问题分划成若干个两两互不相交的子集(分类讨论),再求各个集合中元素的个数。但是在许多问题中, 将其划分为若干个两两互不相交的集合并非易事, 而容斥原理在一定程度上解决了这个问题。又因为古典概型和排列组合有着密不可分的关系,因此容斥原理在概率论中也有着十分重要的地位。

关键词:容斥原理;古典概型;错位排列

一、 定理内容

如果A 1,A 2,A 3,…,A n 为n 个事件,则有

()()()()

n n n j i j i n i i n i i A A A A P A A P A P A P 32111111-≤<≤==-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑。 特别的,当n=2时,有()()()() B A P B P A P B A P -+=,即一般概率加法公式。[1]

由对偶定律可得如下概率公式:

()()()

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑≤≤-==n j i n n j i n i i n i i A A A A P A A P A P A P ,132111111 。 二、 错位排列

集合中的元素按照某种规定(比如字典序)排成一个序列,同时指定了每个元素的位置,利用容斥原理可以讨论构造新的排列,使得所有元素不在原来指定的位置上;或者部分元素不在禁止摆放的位子上的排列计数问题。[2]

2.1 绝对错位排列

例题:一名同学写了4封信,同时准备了4个信封,假设这名同学随机将这4封信装入这4个信封,求任何一封信都未被装入相应信封的概率。

首先,将4封信随机装入4个信封,共有44A 种情况。欲求任何一封信都未被装入相应信封的概率,只需要求得任何一封信都未被装入相应信封的所有情况出现次数。概率为任何一封信都未被装入相应信封的所有情况出现次数与4封信随机装入4个信封所有情况出现次数的比值。

解法一:假设4封信为A ,B ,C ,D ,信封为a ,b ,c ,d ,进行分类讨论。 A 装入某个信封,有3种选择,不妨设A 装入b 信封,则B 信有3种选择。若B 信装入a 信封中,则C 信只能装入d 信封且D 信只能装入c 信封。如果B 信未装入a 信封,则可选择c 或d 信封,不妨设装入c 信封中,则C 信只能装入d 信封且D 信只

能装入a 信封。综上所述,任何一封信都未被装入相应信封的所有情况出现次数为()6213=+⨯。

解法二:运用容斥原理

假设4封信为A ,B ,C ,D ,信封为a ,b ,c ,d ,记A=A 信装入a 信封,B=B 信装入b 信封,C=C 信装入c 信封,D=D 信装入d 信封,S 为4封信随机装入信封的总情况数。任何一封信都未被装入相应信封的所有情况出现次数为

D C B A S D C B A -=。

经过计算,结果为9111342224331444

=+⨯-⨯+⨯-A C A C A C A 。 下面我们推导一般情况的错位排列公式。

由于元素性质与讨论不相干, 设n 个元素的集合X={1,2,3,…,n},n 个元素依次给予标号1,2,…,n 。在n 个元素的全排列中, 求每个元素都不在自己原来位置上的排列数。

首先每个错排都是原集合的一个全排列, 记为i 1,i 2,…i n ,并且元素满足i 1≠1,i 2≠2,…,i n ≠n, 用D n 表示{1,2,3,…,n}的错位排列的个数。[3]

对于1≥n ,()⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=!11!

31!21!111!n n D n n 。 证明:设A i 表示在1,2,3,…,n 的全排列中,i 处在第i 个位置,S 为1,2,3,…,n 的全排列

的个数。 n

i i n i i n A S A

D 11==-== 由容斥原理,

()()1111111222111⨯-+⨯-++⨯+⨯-=------n n n

n n n n n n n n n n n n C A C A C A C A D 将上式左边提取因式n!,

即()⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=!11!

31!21!111!n n D n n 证毕!

2.2 相对的禁排位置问题

对于每个正整数n ,令Q n 表示集合{1, 2, 3, … , n }中没有12, 23, …, (n-1)n 模式的排列的个数,利用容斥原理求的Q n 值。

对于n ≥1,()()!1

)1(!2!1!1112111⨯-++-+--=-----n n n n n n C n C n C n Q 。[4] 证明:S 为1,2,3,…,n 的全排列的个数, 设A i 表示在1,2,3,…,n 的一个全排列中出现

i(i+1),i=1,2,3, …,n-1。

因此 11-==n i i n A

Q

A 1中的排列必定出现12这样的子串, 即对{12,3,4,…,n }进行全排列,所以

有A 1=(n-1)!。 即()

!1111

1-⨯=--=∑n C A n n i i 对A i 中任意两个的交,即A i ∩A j ,不妨设i

(1) 若j=i+1,则排列中含有ij ,j(j+1),将ij(j+1)视为一个整体, 则有()!2-=n A A j i

(2) 若j ≠i+1,则将排列中i(i+1),j(j+1)分别视为整体, 则有()!2-=n A A j i 即()

!22111-⨯=--≤<≤∑n C A A n n j i j i

用数学归纳法易证()!21k n A A A ik i i -=

综上所述,()()!1

)1(!2!1!1112111⨯-++-+--=-----n n n n n n C n C n C n Q 成立。 三、 总结 概率问题是研究随机现象统计规律性的学科, 是近代数学的一个重要组成部分,生活中概率与统计知识应用非常普遍,科学家对实验统计的数据的分析,企业对产品质量检查,产品的市场分析,人口普查,有奖债券,国家彩票等等都用到了概率与统计学的基本知识;许多政治选举的结果,医疗上的决定也取决于统计的数据,因此掌握基本的概率论与数理统计知识并加以灵活运用非常必要。

经过上述分析,容斥原理对于解决一些概率论问题是十分有效的。同样的,在学习概率论的过程中,对问题进行讨论,深入思考解决一类问题的通用方法,对于提高对概率论的理解具有重要意义。

参考文献:

[1]王勇等.概率论与数理统计.北京:高等教育出版社

[2]廖虎.容斥原理在错位排列中的应用.西华师范大学学报(自然科学版),2007.

[3]廖虎.容斥原理在错位排列中的应用.西华师范大学学报(自然科学版),2007.

[4]马光思.组合数学[M ].西安:西安电子科技大学出版社,2002.

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