浅谈容斥原理在概率论中的应用

浅谈容斥原理在概率论中的应用
李策
（1236303班 6120610306）
摘要：容斥原理是解决有限集合计数问题的重要原理之一。

事实上我们在利用加法原理计数时, 就是先将问题分划成若干个两两互不相交的子集(分类讨论),再求各个集合中元素的个数。

但是在许多问题中, 将其划分为若干个两两互不相交的集合并非易事, 而容斥原理在一定程度上解决了这个问题。

又因为古典概型和排列组合有着密不可分的关系，因此容斥原理在概率论中也有着十分重要的地位。

关键词：容斥原理;古典概型;错位排列
一、 定理内容
如果A 1，A 2，A 3，…，A n 为n 个事件，则有
()()()()
n n n j i j i n i i n i i A A A A P A A P A P A P 32111111-≤<≤==-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑。

特别的，当n=2时，有()()()() B A P B P A P B A P -+=，即一般概率加法公式。

[1]
由对偶定律可得如下概率公式：
()()()
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑≤≤-==n j i n n j i n i i n i i A A A A P A A P A P A P ,132111111 。

二、 错位排列
集合中的元素按照某种规定(比如字典序)排成一个序列,同时指定了每个元素的位置,利用容斥原理可以讨论构造新的排列,使得所有元素不在原来指定的位置上;或者部分元素不在禁止摆放的位子上的排列计数问题。

[2]
2.1 绝对错位排列
例题：一名同学写了4封信，同时准备了4个信封，假设这名同学随机将这4封信装入这4个信封，求任何一封信都未被装入相应信封的概率。

首先，将4封信随机装入4个信封，共有44A 种情况。

欲求任何一封信都未被装入相应信封的概率，只需要求得任何一封信都未被装入相应信封的所有情况出现次数。

概率为任何一封信都未被装入相应信封的所有情况出现次数与4封信随机装入4个信封所有情况出现次数的比值。

解法一：假设4封信为A ，B ，C ，D ，信封为a ，b ，c ，d ，进行分类讨论。

A 装入某个信封，有3种选择，不妨设A 装入b 信封，则B 信有3种选择。

若B 信装入a 信封中，则C 信只能装入d 信封且D 信只能装入c 信封。

如果B 信未装入a 信封，则可选择c 或d 信封，不妨设装入c 信封中，则C 信只能装入d 信封且D 信只
能装入a 信封。

综上所述，任何一封信都未被装入相应信封的所有情况出现次数为()6213=+⨯。

解法二：运用容斥原理
假设4封信为A ，B ，C ，D ，信封为a ，b ，c ，d ，记A=A 信装入a 信封，B=B 信装入b 信封,C=C 信装入c 信封,D=D 信装入d 信封，S 为4封信随机装入信封的总情况数。

任何一封信都未被装入相应信封的所有情况出现次数为
D C B A S D C B A -=。

经过计算，结果为9111342224331444
=+⨯-⨯+⨯-A C A C A C A 。

下面我们推导一般情况的错位排列公式。

由于元素性质与讨论不相干, 设n 个元素的集合X={1,2,3,…,n}，n 个元素依次给予标号1,2,…,n 。

在n 个元素的全排列中, 求每个元素都不在自己原来位置上的排列数。

首先每个错排都是原集合的一个全排列, 记为i 1,i 2,…i n ，并且元素满足i 1≠1，i 2≠2,…,i n ≠n, 用D n 表示{1,2,3,…,n}的错位排列的个数。

[3]
对于1≥n ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=!11!
31!21!111!n n D n n 。

证明：设A i 表示在1,2,3,…,n 的全排列中，i 处在第i 个位置，S 为1,2,3,…,n 的全排列
的个数。

n
i i n i i n A S A
D 11==-== 由容斥原理，
()()1111111222111⨯-+⨯-++⨯+⨯-=------n n n
n n n n n n n n n n n n C A C A C A C A D 将上式左边提取因式n!，
即()⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=!11!
31!21!111!n n D n n 证毕!
2.2 相对的禁排位置问题
对于每个正整数n ，令Q n 表示集合{1, 2, 3, … , n }中没有12, 23, …, (n-1)n 模式的排列的个数，利用容斥原理求的Q n 值。

对于n ≥1，()()!1
)1(!2!1!1112111⨯-++-+--=-----n n n n n n C n C n C n Q 。

[4] 证明：S 为1,2,3,…,n 的全排列的个数, 设A i 表示在1,2,3,…,n 的一个全排列中出现
i(i+1)，i=1,2,3, …,n-1。

因此 11-==n i i n A
Q
A 1中的排列必定出现12这样的子串, 即对{12,3,4,…,n }进行全排列,所以
有A 1=(n-1)!。

即()
!1111
1-⨯=--=∑n C A n n i i 对A i 中任意两个的交，即A i ∩A j ，不妨设i<j ，需要分情况讨论。

（1） 若j=i+1，则排列中含有ij ，j(j+1)，将ij(j+1)视为一个整体， 则有()!2-=n A A j i
（2） 若j ≠i+1，则将排列中i(i+1)，j(j+1)分别视为整体， 则有()!2-=n A A j i 即()
!22111-⨯=--≤<≤∑n C A A n n j i j i
用数学归纳法易证()!21k n A A A ik i i -=
综上所述，()()!1
)1(!2!1!1112111⨯-++-+--=-----n n n n n n C n C n C n Q 成立。

三、 总结 概率问题是研究随机现象统计规律性的学科, 是近代数学的一个重要组成部分，生活中概率与统计知识应用非常普遍，科学家对实验统计的数据的分析，企业对产品质量检查，产品的市场分析，人口普查，有奖债券，国家彩票等等都用到了概率与统计学的基本知识；许多政治选举的结果，医疗上的决定也取决于统计的数据，因此掌握基本的概率论与数理统计知识并加以灵活运用非常必要。

经过上述分析，容斥原理对于解决一些概率论问题是十分有效的。

同样的，在学习概率论的过程中，对问题进行讨论，深入思考解决一类问题的通用方法，对于提高对概率论的理解具有重要意义。

参考文献：
[1]王勇等.概率论与数理统计.北京：高等教育出版社
[2]廖虎.容斥原理在错位排列中的应用.西华师范大学学报(自然科学版)，2007.
[3]廖虎.容斥原理在错位排列中的应用.西华师范大学学报(自然科学版)，2007.
[4]马光思.组合数学[M ].西安:西安电子科技大学出版社，2002.。