计算机软件及应用计算机控制
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3
3.1.2 Z变换的方法
1、级数求和法
Z[ f (t)] F (z) f (kT )zk
k 0
例1 求1*（t）的Z变换 。
解：F (z) Z[1(t)] 1(kT )zk k 0
源自文库
z0 z1 z2 L
1 1 z1
z
z 1
例2 求e at 的F(Z)。
解：F z eakT zk e0 z0 eaT z1 e2aT z2 L k 0
k 0
k 0
令m=k-n,
Z[ f (t nT )] zn f (mT )zm
mn
注意到m<0时，f(mT)=0。
Z[ f (t nT )] zn f (mT )zm znF (z) m0
Z变换乘以z-n后，时间函数f(t)延迟了一段时间nT。 12
Z[ f (t nT )] f (kT nT )zk zn f (kT nT )z(kn)
所以
F(z)
z
s2
2
1 2j
1
1 e jT
z 1
1 2j
1
1 e jT
z 1
1
(e jT e jT )z1
2 j 1 (e jT e jT )z1 z2
1
2
z1 sin T z1 cosT
z
2
z sin T z2 2z cosT 1
8
例 求 F(z) Z[cost]
解： L[cost]
T (z 1 2z 2
3z3
)
T
z 1 (1 z 1)2
Tz (1 z)2
例4 多项式函数
ak f (k)
k 0,1,2
0 k0
F (z) Z[ak ] f (k)zk ak zk
k 0
k
1 az1 a2 z2 a3z3
1 1 az1
z za
5
2、部分分式法
a
例
求解
j0
y(k 1) f (0) f (1) f (k 1)
y(k) y(k 1) f (k)
两边取z变换 Zy(k) y(k 1) Z f (k)
Y (z) z1Y (z) F (z)
Y(z) F(z) 1 z1
z F(z) z 1
z Z[ f (k)] z 1
式中
F(z) Z f (k)
1 z 1 eaT z1 z eaT
4
Z[ f (t)] F (z) f (kT )zk
k 0
例3 单位斜坡函数
t f (t) 0
t0 t0
注意到 f (kT) kT k 0,1,2,
F (z) Z[t] f (kT )zk kTzk T kzk
k 0
k 0
k 0
s
s j s j 1
1
2 2 2 2 2 2
s2 2
s2 2
s j s j
因为
L1
s
1
j
e
j ( t )
所以
F
(z)
z
s2
s
2
1 2
1
1 e jT
z 1
1 2
1
1 e jT
z 1
1 2 (e jT e jT )z1 2 1 (e jT e jT )z1 z2
1 ( e jT e jT )z1
11
3 乘以ak后的z变换 Z ak f (k) F (a1z)
4 实数平移定理
如果f(t)=0，对于t<0。
Z f (t nT ) znF (z)
证明：
Z f
(t
nT)
z
n
F
(
z)
n1
f
(k
T)
z
k
k 0
Z[ f (t nT )] f (kT nT )zk zn f (kT nT )z(kn)
对其进行拉氏变换：
L[
f
* (t )]
F(s)
L
k 0
f
(kT ) (t
kT )
k 0
f
(kT )ekTs
令z eTs，则上式变为 Z[ f (t)] F (z) f (kT )zk k 0
此式称为采样函数 f (t) 的Z变换。
F（z)是 f (t) 的Z变换，记作 F(z)=z[f*(t)]= z[f(t)]
k 0
k 0
1 2( e jT
2 e jT
) z 1
z 2
2
1 z1 cosT
1 2z1 cosT z2
9
3.1.3 Z变换研究系统性能时应注意的问题
1 z变换是建立在加权脉冲序列的基础上的，计算机 控制系统中的信号应该满足理想化条件，即脉冲 宽度应远远小于采样周期。
2 不能确定采样 时刻之间的信息。 3 当连续对象的脉冲响应不为零时，会产生跳跃性
第三章 计算机控制系统的数学基础
3.1 Z变换 3.2 Z变换的性质和定理 3.3 Z反变换 本章思考题
1
3.1 Z变换
输入信号 线性系统
L
微分方程
s域代 数方程
L-1
S域解
直接解 时域解
差分方程
Z
z域代 数方程
拉氏变换与Z变换的比较
Z域解
Z-1
2
3.1 Z变换
3.1.1 Z变换的定义
采样函数 f (t) f (t) (t kT ) k 0
6
利用部分分式法求系数A1、A2、A3
A1
d ds
s 2 F (s)
s0
1 (s 1)2
s0
1
A2
s 2 F (s)
s0
1 (s 1)
1
s0
A3
(s 1)F (s)
s 1
1 s2
1
s 1
F (s)
1 s
1 s2
1 (s 1)
F(z)
Z[F (s)]
TZ 1 (1 z1)2
1 1 z1
F(s) s(s a)
的Z变换 。
解：因为 F s A B 1 1
s sa s sa
而 f (t) L1F s 1(t) eat
所以
F(z)
z z 1
z z eaT
z(1 eaT ) (z 1)(z eaT )
例
求解 F(s) 1
s2 (s 1)
的Z变换 。
解：设
F (s) 1 A1 A2 A3 s2 (s 1) s s2 (s 1)
1 1 eT z1
(T
eT 1)z 1 (1 eT Te T (1 z 1)2 (1 eT z 1)
)z 2
7
例 求 F(z) Z[sint]
s s 1
1
解：
L[sin t]
s2
2
2j 2 2
s2 2
2j 2j 2j
s j s j
因为
L1
s
1
j
e
j ( t )
的输出曲线。
10
3.2 Z变换的性质和定理
1 线性性质
如果 x(k) f (k) g(k) 则 X (z) F(z) G(z)
2 求和性质（叠加性质）
k
Z j0
f
(
j)
z Zf
z 1
(k)
k1
Z j0
f
(
j)
1 Zf
z 1
(k)
k
证明：注意到 y(k) f ( j) f (0) f (1) f (k 1) f (k)
3.1.2 Z变换的方法
1、级数求和法
Z[ f (t)] F (z) f (kT )zk
k 0
例1 求1*（t）的Z变换 。
解：F (z) Z[1(t)] 1(kT )zk k 0
源自文库
z0 z1 z2 L
1 1 z1
z
z 1
例2 求e at 的F(Z)。
解：F z eakT zk e0 z0 eaT z1 e2aT z2 L k 0
k 0
k 0
令m=k-n,
Z[ f (t nT )] zn f (mT )zm
mn
注意到m<0时，f(mT)=0。
Z[ f (t nT )] zn f (mT )zm znF (z) m0
Z变换乘以z-n后，时间函数f(t)延迟了一段时间nT。 12
Z[ f (t nT )] f (kT nT )zk zn f (kT nT )z(kn)
所以
F(z)
z
s2
2
1 2j
1
1 e jT
z 1
1 2j
1
1 e jT
z 1
1
(e jT e jT )z1
2 j 1 (e jT e jT )z1 z2
1
2
z1 sin T z1 cosT
z
2
z sin T z2 2z cosT 1
8
例 求 F(z) Z[cost]
解： L[cost]
T (z 1 2z 2
3z3
)
T
z 1 (1 z 1)2
Tz (1 z)2
例4 多项式函数
ak f (k)
k 0,1,2
0 k0
F (z) Z[ak ] f (k)zk ak zk
k 0
k
1 az1 a2 z2 a3z3
1 1 az1
z za
5
2、部分分式法
a
例
求解
j0
y(k 1) f (0) f (1) f (k 1)
y(k) y(k 1) f (k)
两边取z变换 Zy(k) y(k 1) Z f (k)
Y (z) z1Y (z) F (z)
Y(z) F(z) 1 z1
z F(z) z 1
z Z[ f (k)] z 1
式中
F(z) Z f (k)
1 z 1 eaT z1 z eaT
4
Z[ f (t)] F (z) f (kT )zk
k 0
例3 单位斜坡函数
t f (t) 0
t0 t0
注意到 f (kT) kT k 0,1,2,
F (z) Z[t] f (kT )zk kTzk T kzk
k 0
k 0
k 0
s
s j s j 1
1
2 2 2 2 2 2
s2 2
s2 2
s j s j
因为
L1
s
1
j
e
j ( t )
所以
F
(z)
z
s2
s
2
1 2
1
1 e jT
z 1
1 2
1
1 e jT
z 1
1 2 (e jT e jT )z1 2 1 (e jT e jT )z1 z2
1 ( e jT e jT )z1
11
3 乘以ak后的z变换 Z ak f (k) F (a1z)
4 实数平移定理
如果f(t)=0，对于t<0。
Z f (t nT ) znF (z)
证明：
Z f
(t
nT)
z
n
F
(
z)
n1
f
(k
T)
z
k
k 0
Z[ f (t nT )] f (kT nT )zk zn f (kT nT )z(kn)
对其进行拉氏变换：
L[
f
* (t )]
F(s)
L
k 0
f
(kT ) (t
kT )
k 0
f
(kT )ekTs
令z eTs，则上式变为 Z[ f (t)] F (z) f (kT )zk k 0
此式称为采样函数 f (t) 的Z变换。
F（z)是 f (t) 的Z变换，记作 F(z)=z[f*(t)]= z[f(t)]
k 0
k 0
1 2( e jT
2 e jT
) z 1
z 2
2
1 z1 cosT
1 2z1 cosT z2
9
3.1.3 Z变换研究系统性能时应注意的问题
1 z变换是建立在加权脉冲序列的基础上的，计算机 控制系统中的信号应该满足理想化条件，即脉冲 宽度应远远小于采样周期。
2 不能确定采样 时刻之间的信息。 3 当连续对象的脉冲响应不为零时，会产生跳跃性
第三章 计算机控制系统的数学基础
3.1 Z变换 3.2 Z变换的性质和定理 3.3 Z反变换 本章思考题
1
3.1 Z变换
输入信号 线性系统
L
微分方程
s域代 数方程
L-1
S域解
直接解 时域解
差分方程
Z
z域代 数方程
拉氏变换与Z变换的比较
Z域解
Z-1
2
3.1 Z变换
3.1.1 Z变换的定义
采样函数 f (t) f (t) (t kT ) k 0
6
利用部分分式法求系数A1、A2、A3
A1
d ds
s 2 F (s)
s0
1 (s 1)2
s0
1
A2
s 2 F (s)
s0
1 (s 1)
1
s0
A3
(s 1)F (s)
s 1
1 s2
1
s 1
F (s)
1 s
1 s2
1 (s 1)
F(z)
Z[F (s)]
TZ 1 (1 z1)2
1 1 z1
F(s) s(s a)
的Z变换 。
解：因为 F s A B 1 1
s sa s sa
而 f (t) L1F s 1(t) eat
所以
F(z)
z z 1
z z eaT
z(1 eaT ) (z 1)(z eaT )
例
求解 F(s) 1
s2 (s 1)
的Z变换 。
解：设
F (s) 1 A1 A2 A3 s2 (s 1) s s2 (s 1)
1 1 eT z1
(T
eT 1)z 1 (1 eT Te T (1 z 1)2 (1 eT z 1)
)z 2
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例 求 F(z) Z[sint]
s s 1
1
解：
L[sin t]
s2
2
2j 2 2
s2 2
2j 2j 2j
s j s j
因为
L1
s
1
j
e
j ( t )
的输出曲线。
10
3.2 Z变换的性质和定理
1 线性性质
如果 x(k) f (k) g(k) 则 X (z) F(z) G(z)
2 求和性质（叠加性质）
k
Z j0
f
(
j)
z Zf
z 1
(k)
k1
Z j0
f
(
j)
1 Zf
z 1
(k)
k
证明：注意到 y(k) f ( j) f (0) f (1) f (k 1) f (k)