讲必修一高一数学反函数课件
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2.4 反函数
2.4 反函数
知识回顾 1．函数的概念． 2．函数定义域、值域的求法．
物体匀速直线运动中，速度50km/h，可知
位移s 是时间t 的函数，即 s 50t
反函数 时间t 是位移s 的函数，即 t s
50
1.
y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
（1） y 3x 1( x R);（2）y x3 1( x R)
（3）y
x
1( x
0)
（4）y
2x 3(x R, x x 1
1)
解：（（（341）2））由由由函函函数数数yyy23xxxxx31311，(，x解解得R得)x，xx解y(得3yyy1x123)23 y 1
x f 1( y)
习惯将反函数表示为 y f 1( x) ，x( x C ) 表示自变量， y( y A)表示函数．
探讨1: 所有函数都有反函数吗？为什么？
探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么?
函数y＝f(x) 反函数y＝f－1(x)
定义域
A
C
值域
C
A
探讨3: y＝f－1(x)的反函数是什么? 探讨4: 互为反函数的函数的图象关系
小 结：
若函数y＝f(x)的图象经过点(a, b)， 则其反函数的图象经过点(b, a).
设A=R，B=R，映射 f : x y : 2x 6
A x
f
x=?
?
B
y＝2x 6
y
求函数 f (x) 2x 6(x R) 的反函数？
2.4 反函数
典型例题
例题．求下列函数的反函数：
是什么?
1. 函数y＝f(x)的图象和它的反函数 y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称.
若函数y＝f(x)的图象经过点(a, b)， 则其反函数的图象经过点(b, a).
2. 互为反函数的两个函数具有相同 的增减性．
例2 函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1) 的反函数的图象经过点(1, 4)，求a的值.
3.如果两个函数的图像关于直线y=x对称,那么这两个函数 互为反函数.
4.如果一个函数的图像关于直线y=x对称,那么这个函数的 反函数就是它本身.反之也成立。
5.点P（a，b）关于直线 y=x 对称的点是P1（b，a）.
6. f 1a b f b a
所求反函数为 y 3 x , x R 。
y3 x
x
小结：求函数反函数的步骤:
1 反解 2 求原函数的值域 3 x与y互换 4 写出反函数及它的定义域
性质：
1.函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f -1(x)的图象关于 直线y=x对称;
2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的 单调性。
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈(0, ＋∞)，值域x∈R.
指数函数与对数函数对照表
名称
指数函数
解析式
y=ax
y=ax(a>1) y
图象
y=logax(a>1)
对数函数
y=logax y=ax(0<a<1)
y
定义域
值域
单 a>1 调 性 0<a<1
定点
o
x
R ( 0 , +∞ ) 在R上是增函数 在R上是减函数 (0,1)
所所所以所以以，以，，函，函函数函数数y数yyy3xxx3
2x11((xx3( x 1
xR0R)))的的的R反,反反且函函函x数数数 是1是是) 的yyy反(函3xxx3数11是)1(2(x(xxRR1)))
y x 3 ( x R,且x 2) x2
练习 求函数ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）反函数，并在同 一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。 解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R ）得 ｘ＝ｙ＋2
3 所以ｙ＝2ｘ－1（ｘ∈R）的反函数是
ｙ＝ｘ＋2 （ｘ∈R ）
3
ｙ＝3ｘ－2 经过两点（0，－2）， （2/3，0）
ｙ＝ｘ＋2 经过两点（－2，0）， （0 ，2/3 ） 3
2
4
6
-4
-2
-1 y=logax (a>1)
-1
-2 -2
2
4
6
y=logax
0<a<1
新授课 1．反函数
2.4 反函数
一般地，函数 y f ( x) ( x A）中，设值域为C．如果对 于y 在C 中的任何一个值，通过 x ( y) ，x 在A 中都有唯一 值和它对应，那么 x ( y) 就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数．这样的函数 x ( y) ( y C ) 叫做函数y f ( x) ( x A） 的反函数，记作
oΒιβλιοθήκη Baidu
x
y=logax(0<a<1)
( 0 , +∞ )
R 在( 0 , +∞ )上是增函数
在( 0 , +∞ )上是减函数 ( 1,0 )
图像关系
函数y=ax与y=logax图象关于直线y=x对称
问题:那么这两个函数有什么关系呢?
5
4
3
y=ax (a>1) 2
1
4
3
y=ax 2
0<a<1 1
-4
-2
y ｙ＝3ｘ－2
0
ｙ＝ｘ x
ｙ＝ｘ＋2 3
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数 ｙ＝ｘ＋2 的图象之间有什么关系？
3
练习、求函数 y x3 的反函数，并且在同一坐标内画出原函数
和其反函数的图象。
y y x3 y x
解: 由 y x3 得: y R, x 3 y
x 与 y 互换, y 3 x
2.4 反函数
知识回顾 1．函数的概念． 2．函数定义域、值域的求法．
物体匀速直线运动中，速度50km/h，可知
位移s 是时间t 的函数，即 s 50t
反函数 时间t 是位移s 的函数，即 t s
50
1.
y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
（1） y 3x 1( x R);（2）y x3 1( x R)
（3）y
x
1( x
0)
（4）y
2x 3(x R, x x 1
1)
解：（（（341）2））由由由函函函数数数yyy23xxxxx31311，(，x解解得R得)x，xx解y(得3yyy1x123)23 y 1
x f 1( y)
习惯将反函数表示为 y f 1( x) ，x( x C ) 表示自变量， y( y A)表示函数．
探讨1: 所有函数都有反函数吗？为什么？
探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么?
函数y＝f(x) 反函数y＝f－1(x)
定义域
A
C
值域
C
A
探讨3: y＝f－1(x)的反函数是什么? 探讨4: 互为反函数的函数的图象关系
小 结：
若函数y＝f(x)的图象经过点(a, b)， 则其反函数的图象经过点(b, a).
设A=R，B=R，映射 f : x y : 2x 6
A x
f
x=?
?
B
y＝2x 6
y
求函数 f (x) 2x 6(x R) 的反函数？
2.4 反函数
典型例题
例题．求下列函数的反函数：
是什么?
1. 函数y＝f(x)的图象和它的反函数 y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称.
若函数y＝f(x)的图象经过点(a, b)， 则其反函数的图象经过点(b, a).
2. 互为反函数的两个函数具有相同 的增减性．
例2 函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1) 的反函数的图象经过点(1, 4)，求a的值.
3.如果两个函数的图像关于直线y=x对称,那么这两个函数 互为反函数.
4.如果一个函数的图像关于直线y=x对称,那么这个函数的 反函数就是它本身.反之也成立。
5.点P（a，b）关于直线 y=x 对称的点是P1（b，a）.
6. f 1a b f b a
所求反函数为 y 3 x , x R 。
y3 x
x
小结：求函数反函数的步骤:
1 反解 2 求原函数的值域 3 x与y互换 4 写出反函数及它的定义域
性质：
1.函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f -1(x)的图象关于 直线y=x对称;
2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的 单调性。
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈(0, ＋∞)，值域x∈R.
指数函数与对数函数对照表
名称
指数函数
解析式
y=ax
y=ax(a>1) y
图象
y=logax(a>1)
对数函数
y=logax y=ax(0<a<1)
y
定义域
值域
单 a>1 调 性 0<a<1
定点
o
x
R ( 0 , +∞ ) 在R上是增函数 在R上是减函数 (0,1)
所所所以所以以，以，，函，函函数函数数y数yyy3xxx3
2x11((xx3( x 1
xR0R)))的的的R反,反反且函函函x数数数 是1是是) 的yyy反(函3xxx3数11是)1(2(x(xxRR1)))
y x 3 ( x R,且x 2) x2
练习 求函数ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）反函数，并在同 一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。 解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R ）得 ｘ＝ｙ＋2
3 所以ｙ＝2ｘ－1（ｘ∈R）的反函数是
ｙ＝ｘ＋2 （ｘ∈R ）
3
ｙ＝3ｘ－2 经过两点（0，－2）， （2/3，0）
ｙ＝ｘ＋2 经过两点（－2，0）， （0 ，2/3 ） 3
2
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-1 y=logax (a>1)
-1
-2 -2
2
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y=logax
0<a<1
新授课 1．反函数
2.4 反函数
一般地，函数 y f ( x) ( x A）中，设值域为C．如果对 于y 在C 中的任何一个值，通过 x ( y) ，x 在A 中都有唯一 值和它对应，那么 x ( y) 就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数．这样的函数 x ( y) ( y C ) 叫做函数y f ( x) ( x A） 的反函数，记作
oΒιβλιοθήκη Baidu
x
y=logax(0<a<1)
( 0 , +∞ )
R 在( 0 , +∞ )上是增函数
在( 0 , +∞ )上是减函数 ( 1,0 )
图像关系
函数y=ax与y=logax图象关于直线y=x对称
问题:那么这两个函数有什么关系呢?
5
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3
y=ax (a>1) 2
1
4
3
y=ax 2
0<a<1 1
-4
-2
y ｙ＝3ｘ－2
0
ｙ＝ｘ x
ｙ＝ｘ＋2 3
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数 ｙ＝ｘ＋2 的图象之间有什么关系？
3
练习、求函数 y x3 的反函数，并且在同一坐标内画出原函数
和其反函数的图象。
y y x3 y x
解: 由 y x3 得: y R, x 3 y
x 与 y 互换, y 3 x