变化率与导数概念
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2 1
思的考平：均当膨空 胀气 率容 是量 多从少V? 1增加平到均V2膨时胀,气率球V r
V2 r2
V1 ; r1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对 于水面的高度h(单位：米)与起跳后的 时间t（单位：秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
求运动员从2秒到(2+△t)秒这段时间内的
f(x1
Δx) x
f(x1)
平均变化率的几何意义
思考：
1、在高台跳水例子中，平均变化率的物
理意义是什么？ 2、观察f(x)图象，平均变化率 的几何意义是什么？
f(x2) f(x1) x2 x1
Y=f(x)
y
f(x2)
B (x2， y2)
f(x1) O
A(x1， y1) x
x1
x2
割线AB的斜 率
f (2)和 f (6).
根据导数的定义,
f (2 x) f (2) 4x (x)2 7x
x 3
所以,
x f (2)
lim
f
x lim (x 3) 3.
x0 x x0
同理可得 f (6) 5.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说 明它们的意义.
知识小结：
1. 平均变化率
平均速度
割线斜率
2. 导数（ 瞬时变化率）
瞬时速度
切线斜率
3.平均变化率
y x
f(x2) f(x1) x2 x1
f(x1
Δx) x
f(x1)
4.求函数 y = f (x)在 x0处的导数的一般方法:
1）. 2）.
求平均变化率
求值f (x 0 )
y
x
l
f
im
(x0 f
小组讨论：
1、计算跳水运动员在 0
t
65 49
时间
段内的平均速度，并描述他的运动状态？
2、能不能用平均速度描述运动员在某些 时间段内的的运动状态?
平均速度不能反映他在这段时间里运动态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
3.1.2瞬时速度的概念
• 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在 这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描 述运动状态。我们把物体在某一时刻的速 度称为瞬时速度.
x 0 x
x ) x
f (x 0 );
能力提升练习:
求函数f(x ) x 在x 1处的导数值。
r(V ) 3 3V
4
1.当V从0增加到1时, 半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
1 0
2.当V从1增加到2时,半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm)
的平均膨胀率为 r(2) r(1) 0.16(dm / L)
y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x 0)或 y |x x0
f (x 0 )
lim f(x 0 Δx ) f(x 0)
x 0
x
.
例：已知f (1)
2,求 lim x 0
f(1
x ) x
f(1)
注意:Δx为x1到x2的增量，可正也可负，形式是多样的， 但Δx本质是x2-x1，不论哪种形式Δx必须选择与Δy相对 应的形式。
3.1.1变化率与导数概念
本节课的学习内容
学习目标：
3.1.1变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的 过程,可以发现,随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加越来越慢.从数学 角度,如何描述这种现象呢?
我们来分析一下:
气球的体积公式 V (r) 4 r3 ，
3 将半径r表示为体积 V的函数,那么
平均速度？
v
h t
h(2
t) t
h(2)
13.1
4.9t
平均变化率定义:
上述问题中函数f(x)从x1到x2的平均变化率表示为
f(x2 ) f (x1) x2 x1
设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
用x2代替x1+Δx 同样Δy代替f(x2)-f(x1)
平均变化率=
y x
f(x2) f(x1) x2 x1
又如何求 瞬时速度呢?
瞬时速度与瞬时变化率
在高台跳水的例子中，求运动员从2s到 (2+△t)s这段时间内平均速度？
v
h t
h(2
t) t
h(2)
13.1
4.9t
我们用 lim h(2 t) h(2)
t 0
t
13.1表示
当t 2， t趋近于0时，v 趋近于定值 13.1
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率称为函数
y
y=f(x)
割
线 (x2， y2) B
T 切线
Aபைடு நூலகம்
(x1， y1)
o
x
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单
位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
思的考平：均当膨空 胀气 率容 是量 多从少V? 1增加平到均V2膨时胀,气率球V r
V2 r2
V1 ; r1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对 于水面的高度h(单位：米)与起跳后的 时间t（单位：秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
求运动员从2秒到(2+△t)秒这段时间内的
f(x1
Δx) x
f(x1)
平均变化率的几何意义
思考：
1、在高台跳水例子中，平均变化率的物
理意义是什么？ 2、观察f(x)图象，平均变化率 的几何意义是什么？
f(x2) f(x1) x2 x1
Y=f(x)
y
f(x2)
B (x2， y2)
f(x1) O
A(x1， y1) x
x1
x2
割线AB的斜 率
f (2)和 f (6).
根据导数的定义,
f (2 x) f (2) 4x (x)2 7x
x 3
所以,
x f (2)
lim
f
x lim (x 3) 3.
x0 x x0
同理可得 f (6) 5.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说 明它们的意义.
知识小结：
1. 平均变化率
平均速度
割线斜率
2. 导数（ 瞬时变化率）
瞬时速度
切线斜率
3.平均变化率
y x
f(x2) f(x1) x2 x1
f(x1
Δx) x
f(x1)
4.求函数 y = f (x)在 x0处的导数的一般方法:
1）. 2）.
求平均变化率
求值f (x 0 )
y
x
l
f
im
(x0 f
小组讨论：
1、计算跳水运动员在 0
t
65 49
时间
段内的平均速度，并描述他的运动状态？
2、能不能用平均速度描述运动员在某些 时间段内的的运动状态?
平均速度不能反映他在这段时间里运动态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
3.1.2瞬时速度的概念
• 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在 这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描 述运动状态。我们把物体在某一时刻的速 度称为瞬时速度.
x 0 x
x ) x
f (x 0 );
能力提升练习:
求函数f(x ) x 在x 1处的导数值。
r(V ) 3 3V
4
1.当V从0增加到1时, 半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
1 0
2.当V从1增加到2时,半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm)
的平均膨胀率为 r(2) r(1) 0.16(dm / L)
y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x 0)或 y |x x0
f (x 0 )
lim f(x 0 Δx ) f(x 0)
x 0
x
.
例：已知f (1)
2,求 lim x 0
f(1
x ) x
f(1)
注意:Δx为x1到x2的增量，可正也可负，形式是多样的， 但Δx本质是x2-x1，不论哪种形式Δx必须选择与Δy相对 应的形式。
3.1.1变化率与导数概念
本节课的学习内容
学习目标：
3.1.1变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的 过程,可以发现,随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加越来越慢.从数学 角度,如何描述这种现象呢?
我们来分析一下:
气球的体积公式 V (r) 4 r3 ，
3 将半径r表示为体积 V的函数,那么
平均速度？
v
h t
h(2
t) t
h(2)
13.1
4.9t
平均变化率定义:
上述问题中函数f(x)从x1到x2的平均变化率表示为
f(x2 ) f (x1) x2 x1
设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
用x2代替x1+Δx 同样Δy代替f(x2)-f(x1)
平均变化率=
y x
f(x2) f(x1) x2 x1
又如何求 瞬时速度呢?
瞬时速度与瞬时变化率
在高台跳水的例子中，求运动员从2s到 (2+△t)s这段时间内平均速度？
v
h t
h(2
t) t
h(2)
13.1
4.9t
我们用 lim h(2 t) h(2)
t 0
t
13.1表示
当t 2， t趋近于0时，v 趋近于定值 13.1
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率称为函数
y
y=f(x)
割
线 (x2， y2) B
T 切线
Aபைடு நூலகம்
(x1， y1)
o
x
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单
位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是