高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

（2010至2011学年第一学期）
课程名称： 高等数学(上)(A 卷)
注意事项：
1、 满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否
则视为废卷。

3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷
分别一同交回，否则不给分。

试 题
一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1
)
1sin(lim
21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)
2
1
2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(⎰
--为( )
(A) c e F x +)(； (B) c e
F x
+--)(；
(C) c e F x
+-)(； (D )
c x
e F x +-)
( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)
⎰
+∞
∞
-xdx sin ； (B)dx x ⎰
-1
11； (C) dx x x ⎰+∞∞-+2
1； (D)⎰∞-0dx e x 。

4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰
x
a
dt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f n
n x x
211lim
++∞→ ，则下列结论正确的为( )
(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x
二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x
x x 1
1lim
20
_____.
2. 曲线⎩
⎨⎧=+=3
2
1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x
xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22
)2(2
1+-
，则该方程的通解为 .
4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22
)
(lim
2=-→x x f x ，则_____)2(='f
5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。

6．曲线23
3
2
x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 .
三、设0→x 时，)(22
c bx ax e x ++-是比2
x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
)23cos(x e
x x
-+-,求dy .（6分）
e e xy y
=+确定,求
2
2=x dx y
d .（8分）
)x 满足关系式33)3
()(30
-+=
⎰
x dt t
f x f x
，求)(x f .(8
七、 求下列各不定积分（每题6分，共12分） （1） ⎰
-θθd )sin 1(3.
（2） ⎰xdx x arctan .
八、设⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤+=1,211,1)(2x x x x x f 求定积分 ⎰20)(dx x f .（6分）
九、讨论函数3
13)(x x x f -=的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（10分）
十、求方程
4y
x y
dx dy +=的通解（6分）
十一、求证：).2
,
0(,2
sin π
π
∈>x x x .（5分）
第一学期高等数学（上）（A ）卷
参考答案及评分标准
一、选择题（每题3分，共15分）
1．C
二、填空（每题3分，共18分） 1．0 ， 2.73-=x y ， 3.2,1223221()2(2
1
c c e x x e c e c y x
x x
+-+=为任意常数）
，4. 2 ， 5.k 18.0 6.3
28。

三、解：[]
10)(20
2
lim =∴=++-→c c bx ax e
x x
……….2分
0)2(lim ......0)(lim 2
2
0220=--∴=++-→→x b a e x
c bx ax e x x x x ……..4分 01..==∴b a ………………………………………..6分 四、解：)23sin(2)23cos(112
x e x e x y x x -+---=
'--………4分
dx x e x e x dy x x ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+---=∴--)23sin(2)23cos(112
……….6分
五、解：0=++dx dy e dx dy x
y y y
e
x y
dx dy +-=∴………………3分 e
dx
dy
y x x 11,00-=∴
=== 2
22)()1()
(y y y e x y dx dy e dx dy e x dx
y
d ++-+-=∴…………….6分 222,0-==∴
e dx
y
d x 时…………………….8分
六、两边求导 3)(3)(+='x f x f …………..3分
c ce x f x (1)(3-=∴为任意常数）…………6分
3)0(,
0-==f x 12)(3--=∴x e x f ………..8分
七、解：（1）
⎰-θθd )sin 1(3.⎰⎰-+=θθθcos )cos 1(2d d ……..3分
c +-
+=θθθ3cos 3
1
cos …………………….6分 （2）⎰xdx x arctan dx x x x x ⎰
+-=2
2
2121arctan 21……3分 c x x x x ++-=
arctan 2
1
21arctan 212……………….6分 八、解：⎰20
)(dx x f dx x dx x 2
102121)1(⎰⎰++=…….2分
=38
……………6分
九、解,10)(3
2)(1)(35
3
2±=='=''-='-
-x x f x x f x
x f 得由 0)(='x x f 不存在（3分）
2)1(2)1(0
)0(==-=f f f ……………….7分
(][)[].1,1,,11,)(上单减在上单增与在-∞+-∞-∴x f 1-=x 时有极大值2，
,1=x 有极小值2-。

在(]0,∞-上是凸的，在[)+∞,0上是凹的，拐点为（0，0） (10)
分
十、解；()、
的通解为对应齐次方程cy x x y
dy dx y x y
dy dx ==∴+=1
1.....
(1)
3…………………..3分
设方程（1）的解为y y u x •=)(代入（1）得13
3
1)(c y y u +=
………5分 y c y x 14
3
1+=
∴…………………….6分 十一、证明： 令⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈-
=2,0,2
sin )(ππx x x x f ………………1 分 x x f x x f sin )(,2
cos )(-=''-
='π
又0)(),
2
,0(<''∈x f x π
…..3分
)(x f ∴ 的图形是凸的，由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。

0)2()0(==πf f ，所以0)(),2
,0(>∈x f x π
………….5分。

（2010至2011学年第一学期）
一、 单项选择题（15分，每小题3分）
1、当∞→x 时，下列函数为无穷小量的是（ ）
（A ）x Cosx x - （B ）x Sinx （C ）121-x （D ）x
x )11(+
2．函数)(x f 在点0x 处连续是函数在该点可导的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3．设)(x f 在),(b a 内单增，则)(x f 在),(b a 内（ ） （A ）无驻点 （B ）无拐点 （C ）无极值点 （D ）0)(>'x f
4．设)(x f 在][b a ，内连续，且0)()(<⋅b f a f ，则至少存在一点
），（b a ∈ξ使（ ）成立。

（A ）0=）（ξf （B ）0='）（ξf
（C ）0=''）（ξf （D ））（）（）（）（a b f a f b f -⋅'=-ξ 5．广义积分)0(>⎰∞
+a dx
a
x p
当（ ）时收敛。

（A ）1>p (B)1<p (C)1≥p (D)1≤p
二、填空题（15分，每小题3分）
1、 若当0→x 时，22~11x ax --，则=a ；
2、设由方程22a xy =所确定的隐函数)(x y y =，则=dy ；
3、函数)0(8
2>+
=x x
x y 在区间 单减；
在区间 单增；
4、若x xe x f λ-=)(在2=x 处取得极值，则=λ ；
5、若dx x f dx x xf a ⎰⎰=1
01
02
)()(，则=a ；
三、计算下列极限。

（12分，每小题6分）
1、x
x x
x )1(lim +∞→ 2、 2
00
)1(lim x
dt
e x
t x ⎰-→
四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）
1、241
x y -=，求y ' 2、⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t
t y t x arctan )
1ln(2 ，求22dx y d
五、计算下列积分（18分，每小题6分）
1、dx x x
x ⎰+++2
1arctan 1 2、
dx x x ⎰--2
2
3
cos cos π
π
3、设dt t
t
x f x ⎰=2
1sin )(，计算dx x xf ⎰10)(
六、讨论函数⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤>-=2,22,cos 2)(ππ
π
πx x x x x x f 的连续性，若有间断点，
指出其类型。

（7分）
七、证明不等式：当0>x 时，2
)1ln(2
x x x ->+ （7分）
八、求由曲线)1(2,4
,22
≥===x x y x y xy 所围图形的面积。

（7分）
九、设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导且0)0()1(==f f .
证明：至少存在一点)1,0(∈ξ使
参考答案及评分标准
（2010至2011学年第一学期）
课程名称：高等数学
一、单项选择题（15分，每小题3分）
二、填空题（15分，每小题3分） 1. a=2 2.dx x
y
2dy -= 3. (0, 2)单减，
（，+∞）单增。

4.2
1
=
λ 5. a=2 三、计算下列极限。

（12分，每小题6分
1.解。

原式=()
1111lim 1lim --⋅∞
→-∞
→=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e x x x x x x
x （6分）
1.解。

原式=2
1
2lim 21lim
00==-→→x x x e x x x （6分） 四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）
1 解。

()()()
()
分
分
64424214y 3
22
32
212x
x x x x -=-⋅--='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='-
-
2.解。

分
分6411212d 32
12111dy 2
2
22
2t t dt
dx dx dt t dt d dx
y t t t t dx +=⋅=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==++-
=
五、计算下列积分（18分，每小题6分）
1 解。

原式=
()
分
分
6arctan 2
1
1ln 21arctan 31arctan 1dx x 1122222c
x x x dx
x x dx x x ++++=+++++⎰⎰⎰
2.解。

原式=
()
()分
分
63
4cos 3
4
3cos cos 2cos 1cosx 220
2320
20
2=
-
=-=-⎰⎰π
π
π
x x
d x dx x
()()()()()()()分
分
分
显然有：解611cos 2
1cos 21sin 21sin 22142121212sin 22sin ,
01.31
022
1022102102
1
22
10
1
2
2
2-==-=-=-==
=⋅='=⎰⎰⎰⎰⎰
x dx x dx x x x x df x x f x dx x f dx x xf x x x x
x x f f
六、讨论函数
⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤>-=2,22
,cos 2)(ππ
π
π
x x x x x x f 的连续性，若有间断点，指出其类型。

（7分）
分
又：解：31
21
cos 2lim 021
2lim 020202=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫
⎝⎛-+→-→ππ
ππ
ππ
π
f x x
f x f x x
所以当2
π=
x 时，函数连续。

当z k k k x ∈≥+
=22
π
π时，0cos =x ，所以z k k k x ∈≥+
=22
π
π
是函数的间断点。

5分
且 ()∞=-=+
→+
→x
x
x f k x k x cos 2lim
lim
2
2
π
π
ππ
π，
所以z k k k x ∈≥+=22ππ是函数的无穷间断
点。

7分
七、证明不等式：当0>x 时，2
)1ln(2
x x x ->+ （7分）
()()()()0
0111122
1ln 2
2
=+=
+-+='+
-+=f x
x x x x f x x x x f 且
分
证明：设
x 当＞0时 ()x f '＞0，所以()x f 单增。

5分 x 当＞0时 ()x f ＞()00=f ，即：
2
)1ln(2
x x x ->+ 证毕。

7分
八、求由曲线)1(2,4
,22
≥===x x y x y xy 所围图形的面积。

（7分）
解：如图所示：（略）
()
分
分分所求面积72
ln 221612ln 2342228
2
3221
2
8222
1
-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=⎰⎰
x x x
x
dx x x dx x x A 九、设
)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导且
0)0()1(==f f .
证明：至少存在一点)1,0(∈ξ使)()(ξξf f '= （7分）
证明：设 ()()x
e
x f x F -=，显然()x F 在在]1,0[上连续，在)1,0(内可导（3分）
并且 ()()010==F F ,由罗尔定理：至少存在一点()1,0∈ξ使()0='ξF 而 ()()()[]x f x f e
x F x
-'='- ，0≠-x
e （6分）
()0='ξF 即：
)()(ξξf f '= 证毕。

（2009至2010学年第一学期）
课程名称： 高等数学(上)(A 卷)
考试(考查)： 考试 200 年 月 日 共 6 页 注意事项：
5、 满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

6、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否
则视为废卷。

7、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

8、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷
分别一同交回，否则不给分。

试 题
一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共18分） 1. ()=-→x
x x 10
1lim ( )
(A) e ； (B) 1
-e ； (C) 1 ； (D) ∞
2. 0=x 是函数=)(x f ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+<0
101sin x e x x
x x 的( )
(A) 连续点 ； (B)可去间断点 ； (C)跳跃间断点 ； (D )无穷间断点
3. 设)(x f 、)(x g 在0=x 的某邻域内连续，且当0→x 时)(x f 是较)(x g 高阶的无穷小，则当0→x 时
⎰
x tdt t f 0
sin )(是较⎰x
dt t tg 0
)(( )无穷小.
(A) 低阶； (B) 高阶； (C) 同阶非等价； (D)等价。

4. 下列求导正确的是( ) (A) (
)x x x
cos 2sin 2
='； (B) [])()(0
x f x f '='；
(C) (
)x
x
e
e
cos cos =' ； (D) ()x
x 15ln =
'
5. 极限=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-++⨯+⨯∞→n n n )1(1321211lim ( ) (A) 1； (B)
2
1
； (C) 0； (D) ∞ 6. 两直线1L ：182511+=--=-z y x 与2L ：2
3
116--=
=-z y x 的夹角为( ) (A) 6π； (B) 4π； (C) 3π； (D) 2
π
二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题4分，共16分） 1. 设51lim
21=-++→x
b
ax x x 则=a _____, =b _____. 2. 设⎰
--=
12
2
dx e I x 则I 的取值范围是 ______≤≤I ______.
3. 已知向量k j i m a 2++=,k j m i b 32-+=，且a ⊥b
则=m .
4. 将xoz 坐标面上的抛物线x z 52
=绕x 轴旋转一周所生成的旋转面的方程为 .
三、求极限 ⎪⎭
⎫
⎝⎛-→x x x sin 11lim 0
（6分）
21ln x +-,求dy .（6分）
1=-y
xe y 确定,求
2
2=x dx y
d .（6分）
由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==t
y t
x 2
2
sin cos 确定，求dx dy .(6分)
七、 求下列各不定积分（每题8分，共16分） （1） ⎰
+dx e x
11
.
（2） ⎰dx x sin
.
八、求定积分 dx x x ⎰
-20
1.（6分）
九、求函数123+--=x x x y 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（8分） 十、求位于曲线x e y =的下方,该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积.（6分）
十一、设)(x f 在]10[，上连续，在)10(，内可导，且)0()(31
32
f dx x f =⎰，求证：存在
)10(，∈ξ，使得0)(='ξf .（6分）
高等数学（上）A 卷参考答案
一．单选题
二．填空题
1、a=-7；b=6
2、4
33--≤≤-e I
3、m=2
4、052
2=-+x z y 三．解：0sin cos 2sin lim sin sin lim )sin 11(
lim 000=--=-=-→→→x
x x x x x x x x x x x x 四．解：xdx dx x x x x x dx y dy arctan )11(arctan 22=+-++='= 五．方程两边关于x 求导：0=-'-'y y e y xe y
两边再求一次导：02='-''-'-'-''y e y xe y xe y e y y y y y
20
220021e dx y d e y y x x x =∴='∴==== 六．解：22sin 22sin sin 2cos sin 2t
t t t t t t dt
dx dt dy
dx dy -=-== 七．（1）解：C e x dx e
e e dx e x x x
x x ++-=+-+=+⎰⎰)1ln(1111 （2）解：令tdt dx t t x 2),0(2
=>= C x x x C t t t tdt t dx x +-=++-==∴⎰⎰)cos (sin 2sin 2cos 2sin 2sin 八．解：⎰⎰⎰=-+-=-102
12
01)1()1(1dx x x dx x x dx x x 九．解：函数y 的单调增区间为()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛
-∞-,131,，单调减区间为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1,31， 曲线的凹区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31，曲线的凸区间为⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞-31, 0,27321min 31max ==
=-=x x y y ，拐点坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛2716,31 十．解：所求面积⎰⎰∞-=-+=01
02
)(e dx ex e dx e s x x 十一。

证明：)(x f 在[0，1]上连续
∴存在⎪⎭⎫
⎝⎛∈1,320x 使得⎰=1
32
0)(3
1)(x f dx x f
又 ⎰⎰=⇒=132132)0(31)()()(3f dx x f o f dx x f )0()(0f x f =∴ 又 )(x f 在（0，1）内可导，所以)(x f 在()0,0x 内可导 由罗尔定理得：存在()()1,0,00⊂∈x ζ使得 （2009 至2010学年第 1 学期） 课程名称： 高等数学（上） A 卷
注意事项： 9、 满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

10、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视
为废卷。

11、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

12、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别
一同交回，否则不给分。

试 题
一、填空题（每空3分，共18分）
1、sin lim x x x
→∞= ; 2、221lim 21
x x x x →∞---= . 3、 函数2()f x e =，则()f x '= .
4、曲线1y x =在点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
处的切线方程为： . 5
、函数201)y t dt =+，则dy dx
= 。

6、微分方程230y y y '''--=的通解为 .
二、选择题（每题3分，共12分） 7、()f x 的导函数是sin x ，则()f x 的一个原函数为（ ）.
A: 1sin x + B: 1sin x - C: 1cos x + D: 1cos x -
8、1x =是函数21()1
x f x x -=-的 （ ）. A:可去间断点 B ：跳跃间断点 C:无穷间断点 D:连续点
9、函数3()3f x x x =-在区间[]0,2上的最小值是 （ ）.
A: 0 B: -2 C: -4 D: 2
10、下列错误的是 （ ）.
A: ()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ B:()()f x dx f x c '=+⎰ C: ()()df x f x c =+⎰ D:()()d f x dx f x dx ⎡⎤'=⎣⎦
⎰
三、计算下列极限与导数（每题5分，共20分） 11、0lim sin x x x e e x -→- 12、y =y ' 13、y =求：y ' 14、方程x y xy e +=确定y 是x 的函数，求：y '
四、计算下列不定积分与定积分（每题5分，共20分） 15、3cos x dx ⎰
16、2ln x xdx ⎰
17
、40⎰
18、1
212sin 1x dx x -++⎰
五、综合题（每题8分,共24分） 19、讨论函数21x y x =+的单调性、极值. 20、求曲线224(1)4(1)y x y x =+=-及所围成图形的面积
21、求微分方程x dy y e dx -+=的通解 .
六、证明题（6分）
22、试证：当0x >时有ln(1)1x x x x <+<+（6分）
参考答案及评分标准课程名称：高等数学（上）A卷
命题教师：谢巍
适用班级：文科本科
一、填空题（每空3分，共18分）
1、
sin
lim
x
x
x
→∞
=0 ;
2、221lim 21x x x x →∞---= 1
2
.
3、 函数2()f x e =，则()f x '=0
4、曲线1y x =
在点1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线方程为：44y x =-+
5、函数2
1)y t dt =+，则
dy dx =
6、微分方程230y y y '''--=的通解为：312x x c e c e -+ 二、选择题（每题3分，共12分）
7、()f x 的导函数是sin x ，则()f x 的一个原函数为（ D ）. A: 1sin x + B: 1sin x - C: 1cos x + D: 1cos x -
8、1x =是函数21
()1
x f x x -=-的 （ A ）.
A:可去间断点 B ：跳跃间断点 C:无穷间断点 D:连续点
9、函数3()3f x x x =-在区间[]0,2上的最小值是 （ B ）. A: 0 B: -2 C: -4 D: 2
10、下列错误的是 （ D ）.
A: ()()f x dx f x '
⎡⎤=⎣⎦
⎰ B:()()f x dx f x c '=+⎰
C: ()()df x f x c =+⎰ D:()()d f x dx f x dx ⎡⎤'=⎣⎦
⎰
三、计算下列极限与导数（每题5分，共20分）
11、0lim sin x x
x e e x
-→-
解：00()lim lim sin (sin )x x x x x x e e e e x x --→→'
--='
…… 1分
0lim cos x x
x e e x
-→+= …… 4分
2= …… 5分
12、y =y '
解：2
)y x '''==
……2分
2
=
……4分
2
2
2sin cos x x x -=
= ……5分
13、4
5
1)(1)
x y x -=
+ 求：y '
解：ln y = 1分
451
ln(1)ln(1)ln(2)4ln(1)5ln(1)2
x x x x x =-++=-+-++ 2分
1
(ln )[ln(2)4ln(1)5ln(1)]2
y x x x ''=-+-++ 3分
11145.2211
y y x x x '=++--+ 4分
1145(.2211y x x x '=++--+ 5分 14、方程x y xy e +=确定y 是x 的函数，求：y ' 解：()()x y
x x xy e
+''= ……1分 (1)x y
xy y e
y +''+=+ ……4分 x y x y
e y
y x e ++-'=-
5分
四、计算下列不定积分与定积分（每题5分，共20分） 15、3cos x dx ⎰
解：32cos cos sin xdx xd x =⎰⎰ 2分 2(1sin )sin x dx x =-⎰ 3分
31
sin sin 3x x c =-+ 5分
16、2ln x xdx ⎰
解：3
2
ln ln 3
x x xdx xd =⎰⎰ 1分
33
ln ln 33x x x d x =-⎰ 3分 32
ln 33x x x dx =-⎰ 4分 33
ln 39
x x x c =-+ 5分 17
、4
⎰
解:
t =,则21
,2
t x dx tdt -== 1分
于是22
4
330
113
32.2t t dx tdt dt t ++==⎰
⎰⎰ 4分
3
31
122
3233t t ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦ 5分 18、1
212sin 1x
dx x -++⎰
解: 1111222211112sin 2sin 21111x x dx dx dx dx x x x x ----+=+=++++⎰⎰⎰⎰ 2分 1
1
2arctan x
-= 4分
π= 5分
五、综合题（每题8分,共24分）
19、讨论函数21x
y x =+的单调性、极值.
解: 由题知, (,)x ∈-∞+∞ , 2(1)(1)
(1)
x x y x -+'=
+ …… 2分
令0y '=,得驻点121,1x x =-= ……3分
故,函数2
1x
y x =+在(,1]-∞-,[1,)+∞上单调递减, [1,1]-上单调递增. ……7分
在11x =-处取得极小值, 1
2f =-极小;
在21x =处取得极大值, 1
2
f =极大 ……8分
20、求曲线224(1)4(1)y x y x =+=-及所围成图形的面积
解: 由2212004(1),224(1)x x y x y y y x ==⎧=+⎧⎧⎨⎨⎨
==-=-⎩⎩⎩12得交点 1分 如图
2分
由图型对称性，可得
所求图形的面积：2
2
014(1)4
A y dy =-
⎰ 6分 32
01[4]3y y =-
16
3
= 8分 21、求微分方程x dy
y e dx
-+=的通解 .
解:此方程为一阶线性微分方程，对应齐次微分方程为0dy
y dx
+= 1分
分离变量得
dy
dx y
=-，积分得1x y c e -= 3分 令()x y u x e -= 则()()x x y u x e u x e --''=- 4分 代入原方程，得： ()()()x x x x u x e u x e u x e e ----'-+=
即 ()1u x '= ()u x x c =+ 7分
于是，原方程的通解为 ()x
y x c e -=+ 8分
六、证明题（6分） 22、试证：当0x >时有
ln(1)1
x
x x x <+<+（6分） 证明：设函数()ln(1)f x x =+，当0x >时，[]()f x 在0,x 上满足拉格朗日中值定理条件，所以
()(0)().(0)f x f f x ξ'-=- (0)x ξ<< 2分 又 1
(0)0,()1f f x x
'==
+，所以上式即为 ()1x f x ξ=
+， 即ln(1)1x x ξ
+=+ 4分 由于0x ξ<<， 所以有
11
x x
x x ξ<<++ 故 ln(1)1
x
x x x <+<+ 6分。