高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

（2010至2011学年第一学期）

课程名称： 高等数学(上)(A 卷)

注意事项：

1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否

则视为废卷。

3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷

分别一同交回，否则不给分。

试 题

一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1

)

1sin(lim

21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)

2

1

2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(⎰

--为( )

(A) c e F x +)(； (B) c e

F x

+--)(；

(C) c e F x

+-)(； (D )

c x

e F x +-)

( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)

⎰

+∞

∞

-xdx sin ； (B)dx x ⎰

-1

11； (C) dx x x ⎰+∞∞-+2

1； (D)⎰∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )

(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰

x

a

dt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f n

n x x

211lim

++∞→ ，则下列结论正确的为( )

(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x

二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x

x x 1

1lim

20

_____.

2. 曲线⎩

⎨⎧=+=3

2

1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x

xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22

)2(2

1+-

，则该方程的通解为 .

4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22

)

(lim

2=-→x x f x ，则_____)2(='f

5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。

6．曲线23

3

2

x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 .

三、设0→x 时，)(22

c bx ax e x ++-是比2

x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）

)23cos(x e

x x

-+-,求dy .（6分）

e e xy y

=+确定,求

2

2=x dx y

d .（8分）

)x 满足关系式33)3

()(30

-+=

⎰

x dt t

f x f x

，求)(x f .(8

七、 求下列各不定积分（每题6分，共12分） （1） ⎰

-θθd )sin 1(3.

（2） ⎰xdx x arctan .

八、设⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤+=1,211,1)(2x x x x x f 求定积分 ⎰20)(dx x f .（6分）

九、讨论函数3

13)(x x x f -=的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（10分）

十、求方程

4y

x y

dx dy +=的通解（6分）

十一、求证：).2

,

0(,2

sin π

π

∈>x x x .（5分）

第一学期高等数学（上）（A ）卷

参考答案及评分标准

一、选择题（每题3分，共15分）

1．C

二、填空（每题3分，共18分） 1．0 ， 2.73-=x y ， 3.2,1223221()2(2

1

c c e x x e c e c y x

x x

+-+=为任意常数）

，4. 2 ， 5.k 18.0 6.3

28

。 三、解：[]

10)(20

2

lim =∴=++-→c c bx ax e

x x

……….2分

0)2(lim ......0)(lim 2

2

0220=--∴=++-→→x b a e x

c bx ax e x x x x ……..4分 01..==∴b a ………………………………………..6分 四、解：)23sin(2)23cos(112

x e x e x y x x -+---=

'--………4分

dx x e x e x dy x x ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-+---=∴--)23sin(2)23cos(112

……….6分

五、解：0=++dx dy e dx dy x

y y y

e

x y

dx dy +-=∴………………3分 e

dx

dy

y x x 11,00-=∴

=== 2

22)()1()

(y y y e x y dx dy e dx dy e x dx

y

d ++-+-=∴…………….6分 222,0-==∴

e dx

y

d x 时…………………….8分

六、两边求导 3)(3)(+='x f x f …………..3分

c ce x f x (1)(3-=∴为任意常数）…………6分

3)0(,

0-==f x 12)(3--=∴x e x f ………..8分

七、解：（1）

⎰-θθd )sin 1(3.⎰⎰-+=θθθcos )cos 1(2d d ……..3分