材力第15章 压杆稳定

29
*§15-4 压杆的稳定计算之二
折减系数法(稳定系数法)
P [ ]
A
[ st ] cr / nst 1 [ ] u / n
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
30
λ
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 11 0 120 130 140 150 160 170 180 190 200
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
9
§15-2.1两端铰支压杆的临界力－欧拉公式
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态， 如图， 从挠曲线入手，求临界力。
P P
y
x M
P x
P ①弯矩： M (x) Py
②挠曲线近似微分方程：
y M P y EI EI
y P yyk 2 y0 EI
53.4
由表15-2查得 50, 0.888; 60, 0.842
（相当）长度。 μ称为长度系数，它反映了约束情况对临界力的
影响：
两端铰支 μ =1.0
一端固定一端自由 μ =2.0
两端固定 μ =0.5
一端固定一端铰支 μ =0.7
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
13
汇总表
支承情况 失 稳 时 挠 曲 线 形 状
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
578
9807 332.2
373 28.7
3.744
5.296 1.454 2.15 0.19
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
18
3. 粗短杆 ( s )
这类杆又称为小柔度杆。这类压杆将发生强 度失效，而不是失稳。
故：
cr s
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
19
北京邮电大学自动化学院
4
失稳的工程实例
龙门吊梁失稳
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
5
失稳的工程实例
2020年4月1日星期三
工程中有些构件 具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
北京邮电大学自动化学院
6
§15-1.2 临界力
演示实验2、3
使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变 为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简 称为临界力。
两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支
Pcr
Pcr
Pcr
一端固定 两端固定但可沿 另端自由 横向相对移动
Pcr
Pcr
B
B
B
D
C
C
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pcr
2
l
EI
2
Pcr
2EI
(0.7l)2
Pcr
2EI
(0.5l)2
Pcr
2EI
L
EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2 EImin
L2
屈曲模态： y Asin n x
L
A为不定常数，屈曲模态幅值
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
12
§15-2.2 其他约束情况压杆的临界力
Pcr
2EI (l)2
μ l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦半波的长度，称为有效
【例15-1】
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
22
【例15-1：解】
在x-z平面内:
I1
1 12
bh3
7.2 105
mm4
i1
I1 A
7.2105 17.32mm 40 60
1 1
1
l
i1
1 2000 17.32
115
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
23
在x-y平面内:
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
35
【解】（1）两槽钢紧靠的情况 由型钢表查得：
A 2 28.83102 5.766 103mm2
Imin I y 2 244 104 4.88106mm4
imin iy
Iy A
4.88 106 5.766 103
29.1mm
y
l
临界应力总图
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
20
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
21
A3钢制成的矩形截 面杆的受力及两端 约束情形如图所示， 其中a为正视图,b为 俯视图。在A、B 两处用螺栓夹紧。
已知 l=2.0m, b=40mm, h=60mm, 材料的弹性模量 E=210GPa,求此杆 的临界载荷。
(1 2000)2
373kN
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
25
§15-4 压杆的稳定计算之一
安全系数法
为了保证压杆不失稳，并具有一定的安全裕度，
因此压杆的稳定条件可表示为:
n
Pcr P
nst
nst是稳定安全系数。由于压杆存在初曲率和
载荷偏心等不利因素的影响。nst值一般比强度安
欧拉公式只适用于大柔度杆的稳定性计算！
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
16
2. 中长杆 (p s )
这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极 限，故属于弹塑性稳定问题。对于中长杆，一般采用 经验公式计算其临界应力。
抛物线公式： cr
a b2
直线公式： cr a b
其中:k 2 P EI
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
10
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin kx B cos kx y(0)y(L)0
即: AAs i0nkBL0Bc osk L0
A、B不能全为零！
sinkL0
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
11
sin kL 0 k n P
iy
0.7 6103 29.1
144
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
36
由表15-2查得 140, 0.349; 150, 0.306 用直线内插法求得 144
0.349 144 140 (0.349 0.306) 0.332
150 140
于是压杆的许用载荷为
0 .1 8 0 .1 6
0 .1 4 0 .1 2
0 .1 1 0 .1 0
0 .0 9 0 .0 8
北京邮电大学自动化学院
31
【例15-3】
起重机的 AB 杆为圆 松木，长 L= 6m，[σ] =11MPa, 直径d = 0.3m，试此杆的容许 压力。
B
T1
T2
A
W
y
O
x
z
2020年4月1日星期三
第15章 压杆稳定
（课本第11章内容）
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
1
§15-1.1 构件稳定的概念
演示实验1
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
2
构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
3
失稳的工程实例
2020年4月1日星期三
W
T1
T2
A
W
PBC ABC W
y
0.32 0.12 11106 91kN O
x
4
z
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
34
【例15-4】柱由两个No.20a的槽钢组成。柱长l=6m,下端固定
上端铰支(图15-10a)。材料是A3钢，[σ]=160MPa。（1）两个
槽钢紧靠在一起（连结为一整体）（图15-10b）；(2)两槽钢拉 开距离a ,使Iy=Iz。分别求两种情况下柱的许用载荷[P]。
I2
1 12
hb3
3.2 105 mm4
i2
I2 A
3.2105 11.55mm 40 60
2 0.5
2
l
i2
0.5 2000 11.55
86.6
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
24
所以 1 p ( 102 )
Pcr
2EI1 (1l)2
2 2.1109 7.2105
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
7
几个概念
平衡路径、平衡路径（构形）分叉 失稳（屈曲） 临界点、临界载荷（分叉载荷）
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
8
§15-2 细长压杆的临界力
根据压杆失稳是由直线平衡形式转变为弯曲平衡 形式的这一重要概念，可以预料，凡是影响弯曲变 形的因素，如截面的抗弯刚度 ，杆件长度和两端的 约束情况，都会影响压杆的临界力。
压杆的稳定系数 φ
16M n 钢 1 .0 0 0 0 .9 9 3 0 .9 7 3 0 .9 4 0 0 .8 9 5 0 .8 4 0 0 .7 7 6 0 .7 0 5 0 .6 2 7 0 .5 4 6 0 .4 6 2 0 .3 8 4 0 .3 2 5 0 .2 7 9 0 .2 4 2 0 .2 1 3 0 .1 8 8 0 .1 6 8 0 .1 5 1 0 .1 3 6 0 .1 2 4
27
【例15-2：解】
（1）丝杠可简化为下端固定上端自由的压杆,故长 度系数u=2。计算丝杠的柔度:
i I d A4
l l 2375 75
i d 40 44
(2)计算临界力并较核稳定性 A3钢的 P 102
而 s 61.6 ,可知丝杠是中柔度压杆,采用直线经验公 式计算其临界载荷。
由表查得a=304MPa，b=1.12MPa
cr
Pcr A
2EI (l)2 A
2Ei2 (l)2
2E 2
截面的惯性半径 i I A
柔度 l
i
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
15
1. 细长杆 ( p )
cr
2E 2
p
2E p
p
这类压杆又称为大柔度杆。对于不同的材料，因弹性 模量Ｅ和比例极限σp各不相同，λp的数值亦不相同。例如 A3钢，E=210GPa，σp=200MPa，可算得λp=102。
2020年4月1日星期三
压杆的稳定系数
3号 钢 1 .0 0 0 0 .9 9 5 0 .9 8 1 0 .9 5 8 0 .9 2 7 0 .8 8 8 0 .8 4 2 0 .7 8 9 0 .7 3 1 0 .6 6 9 0 .6 0 4 0 .5 3 6 0 .4 6 6 0 .4 0 1 0 .3 4 9 0 .3 0 6 0 .2 7 2 0 .2 4 3 0 .2 1 8 0 .1 9 7 0 .1 8 0
全系数要大些，并且λ越大，nst值也越大。
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
26
千斤顶如图所示, 丝杠长度l=375mm, 内径d=40mm,材料 是A3钢,最大起重 量P=80KN,规定稳 定安全系数nst=3。 试校核丝杠的稳定
wenku.baidu.com性。
【例15-2】
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
cr a b s
s
a
s
b
例如Ａ3钢 ： s 61.6
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
17
常用材料的a、b值
表 11-1 压杆稳定直线公式的系数 a 和 b
材料(σb、σs 的单位为 )
a( )
b( )
A3 钢 优质碳钢
304 461
1.12 2.568
硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
28
故丝杠的临界载荷为
Pcr
cr A
(a
b)
4
d2
(304 1.12 75) 402
4
277KN
【例15-2：解】
校核丝杠的稳定性
n
Pcr P
277 80
3.46
nst
所以此千斤顶丝杠是稳定的。
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
北京邮电大学自动化学院
32
①最大柔度
x-y面内， =1.0
xy
L
i
1 6 4 0.3
80
z-y面内， =2.0
zy
L
i
264 0.3
160
【例15-3：解】
B
T1
T2
A
W
y
O
x
z
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
33
【例15-3：解】
②查折减系数
B
160 0.12
③求容许压力
铸
铁
1 .0 0 0 .9 7 0 .9 1
0 .8 1 0 .6 9
0 .5 7 0 .4 4
0 .3 4
0 .2 6
0 .2 0 0 .1 6
木
材
1 .0 0 0 .9 9 0 .9 7
0 .9 3 0 .8 7
0 .8 0 0 .7 1
0 .6 0
0 .4 8
0 .3 8 0 .3 1
0 .2 6 0 .2 2
(2l)2
长度系数μ =1
0.7 μ=0.5
μ=2
2EI
Pcr l 2
μ=1
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
14
§15-3 压杆的临界应力
欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。为了判 断压杆失稳时是否处于弹性范围，以及超出弹性范围 后临界力的计算问题，必须引入临界应力及柔度（长 细比）的概念。
[P1] [ ]A 0.332 160 5.766 103 306KN
2020年4月1日星期三
北京邮电大学自动化学院
37
(2) Iy=Iz的情况 I y Iz 2 1780 104 3.56 107mm4
iy
3.56 107 5.766 103
78.6mm
y
l
iy
0.7 6103 78.6