圆周运动临界问题(课堂PPT)
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当v>v0，对绳子的有拉力，小球能够通过最高点。
当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点；
思考：要使小球做完整的圆周运动， 在最低点的速度有什么要求？
vB B
由机械能守恒可的：
o
mg2rmvA 2 mvB2 22
L A
v gr vA 当VB取得最小值时，即： B
v VA取得最小值即： A 5gr
拓展：物体沿竖直内轨运动
有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半径为r，
质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动时，分
析小球在最高点的速度应满足什么条件？
A
v0
mg
FN
mg
FN
mv2 r
思考：小球过最高点的最小速度
是多少? FN0,v0 gr
当v=v0，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点；
当v>v0，对轨道有压力，小球能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点。
模型1 ：绳球模型
不可伸长的细绳长为L，拴着可看成质点的 质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动。
v0 B
o
L A
试分析： 当小球在最高点B的 速度为v0 时，绳的拉力与速度 的关系？
vA
v2 mg
T
o
最高点：T mg mv02 L
思考：小球过最高点的最小速 度是多少?
v1 T 0,v0 gL
思考：当v=v0、 v>v0、v<v0时分别会发生什么现象？ 当v=v0，对绳子的拉力刚好为0 ，小球刚好能够通过（到） 最高点、刚好能做完整的圆周运动；
思考:在最高点时，何时杆表现为
拉力？何时表现为支持力？试求
v1 A mg
其临界速度。
临界速度：F0,v0 gL
v 此时最低点的速度为： A 5gr
当v<v0，杆对球有向上的支持力； 当v>v0，杆对球有向下的拉力。
问：当v2的速度等于0时，杆对球的 支持力为多少？
F支=mg
v 2 此时最低点的速度为： A gr
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足：v gr
规律总结：无支持物
物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产生沿绳收 缩方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力； 若速度太小物体会脱离圆轨道——无支持物模型
①临界条件：绳子或轨道对小球恰好没有弹力的 作用，重力提供向心力，即 mg＝mvR2临界， 解得小球恰能通过最高点的临界速度为: v ＝ 临界 Rg. ②能过最高点的条件：v≥ gR，当 v> gR时，绳对 球产生拉力，轨道对球产生压力．
（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度
2、绳子中的临界问题
例：如图所示，两绳子系一个质量为m=0.1kg的小 球，上面绳子长L=2m，两绳都拉直时与轴夹角分别 为30°与45°。问球的角速度满足什么条件，两绳 子始终张紧？
2.4rad/s≤ω ≤3.16rad/s
A
30°
B
L
45°
C ω
3、脱离与不脱离的临界问题
⑴当杆绕O转动到某一速度时，A球在最高点，如图所示 ，此时杆A点恰不受力，求此时O轴的受力大小和方向；
⑵保持⑴问中的速度，当B球运动到最高点时，求O轴的 受力大小和方向；
⑶在杆的转速逐渐变化的过程中， 能否出现O轴不受力的情况？请计算说明。
解析：⑴AB端球恰：好T不受2m力g，2则mvm2g,Tm4mvLg2 ,v2 gL
结论：使小球能做完整的 圆周运动在最低点的速度
vA＞2 gr
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放置的管
型轨道，其半径为R，管内有一质量
为m的小球有做圆周运动，小球的直
径刚好略小于管的内径。
思考：在最高点时，什么时候外管壁对小球有压力，
什么时候内管壁对小球有支持力?什么时候内外管
壁都没有压力？小球在最低点的速度v至少多大时，才
特点：角 线速速度度、、周向期心、加速频率度不、变向，心力的大小不变，
方向时刻改变；
匀速
性质：变速运动；非匀变速曲线运动；
圆周运动 条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直，
圆
且指向圆心。
周
向心力就是物体作圆周运动的合外力。
运
动
合外力不指向圆心，与速度方向不垂直；
合外力沿着半径方向的分量提供向心力，改变速
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向 两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它们到 转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B与圆盘间 的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，（g=10m/s2）求：
（1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度；
图3-7
v
2 0
C.小球过最高点时绳对小的拉力mg L
D.小球过最高点时速度大小为 gL
变型题2：在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳 拴住一小球，另一端固定，其细线长为0.8m， 现为了使一质量为0.2kg的小球做圆周运动，则 小球在最高点的速度至少为多少？
实例一：水流星
在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使 小球在竖直平面内做圆周运动。
B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度
为v2时，杆的受力与速度的关 系怎样？
（2）当小球在最高点B的速度
为v1时，杆的受力与速度的关
A
系怎样？
B F3 v2
最高点：F2
Байду номын сангаас
mg
mv22 L
拉力
mg
F2
o
F1
mgF3
mv32 L
支持力
（1）若m在最高点时突然与电机脱离， 它将如何运动? （2）当角速度ω为何值时，铁块在最高 点与电机恰无作用力? （3）本题也可认为是一电动打夯机的原 理示意图。若电机的质量为M，则ω多大 图3-5 时，电机可以“跳”起来?此情况下，对 地面的最大压力是多少?
二、竖直平面内的圆周运动的临界问题— —球绳模型
联系得: v
若A球在上端，B球在下端，对A球：T
3gL
mg
m
L v2
L
对B球：T 2mg 2mv2 联系得 3mg m v2
L
L
显然不成立，所以能出现O轴不受力的情况，此时
vA vB 3gL
四、圆周运动的周期性
利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、 平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另 一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意 用时间相等来联系。在这类问题中，要注意寻找两种运动 之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时， 要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。
可看成质点的质量为m的小球随圆锥体一起做匀速圆 周运动，细线长为L，求：
（1）当 g / l 时
37°
绳子的拉力；
（2）当 2g/l时
绳子的拉力；
例：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的 铁块．电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转 动．则电机对地面的最大压力和最小压力之差为___.
(2)不能过最高点 v＜ gr，在到达最高点前
小球已经脱离了圆轨 道
(3)当 v＝ gr时，FN＝0
(4)当 v＞ gr时，FN＋mg＝ mvr2，FN 指向圆心并随 v 的
增大而增大
例题:轻杆长为2L，水平转轴装在中点O，两端分别固定 着小球A和B。A球质量为m，B球质量为2m，在竖直平面内 做圆周运动。
结论：要使小球做完整的圆 周运动，在最低点的速度
vA
5gr
例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固
定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初
速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好
过最高点，则下列说法中正确的是：（ D ）
A.小球过最高点时速度为零
B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m
例1：如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于
盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB
方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰
一次，且落点为B，则小球的初速度v＝
_________，圆盘转动的角速度ω＝
_________。
图3-6
例2：如图所示，小球Q在竖直平面内做匀 速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有 另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由 下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q球 的角速度ω应满足什么条件？
③不能过最高点的条件：V<V临界(实际上小球尚未到达 最高点时就脱离了轨道)．
④使小球做完整的圆周运动，
在轨道的最低点的速度应满足： v 5gr
模型二：球杆模型： 小球在轻质杆或管状轨道弹力作用下的圆周运 动，过最高点时杆与绳不同，杆对球既能产生 拉力，也能对球产生支持力；（管状轨道的口 径略大于小球的直径)
轻杆模型
小球能运动即可，也就是 v 临＝0
小球能运动即可，也就是
v＞2 gr
轻绳模型
轻杆模型
受 力 情 况 讨 论 分 析
(1)过最高点时
v≥ gr，FN＋mg＝ mvr2，绳、轨道对球产
生弹力 FN≥0，方向指 向圆心
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN 为支持力，沿半径背离圆心
(2)当 0＜v＜ gr时，mg－ FN＝mvr2，FN 背离圆心，随 v 的增大而减小
非匀速
度方向；沿着速度方向的分量，改变速度大小。
圆周运动 当速率增大时，合外力与速度方向的夹角
为锐角；反之，为钝角。
物体做圆周运动时，题干中常常会出现 “最大”“最小”“刚好”“恰好” 等词语，该类问题即为圆周运动的临界 问题
一、匀速圆周运动中的极值问题
1、滑动与静止的临界问题
例1、在山东卫视的《全运向前冲》 节目中，有一个“大转盘”的关卡。 如图所示，一圆盘正在绕一通过它中
⑵由杆牛对顿B球第无三作定用律力，，B球对对A球O轴:T的L拉m力gTm v24,Tmgm，g竖直向下。
由牛顿第三定律，A球对O轴的拉力 T 2Lmg ，竖直向下。
⑶在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不 受力的情况？请计算说明。
若B球在上端A球在下端，对B球：T2mg 2mgv2
对A球：T mg m v2 L
运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不
会流下来，为什么？
对杯中水：mgFN
当v gr 时，FN =
mv2 r
0
FN G
水恰好不流出
表演“水流星” ，需要保证杯 子在圆周运动最高点的线速度不
得小于 gr
即：v gr 重力的效果——全部提供向心力
实例二：过山车
思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？
心O且垂直于盘面的竖直轴逆时针匀
速转动，在圆盘上有一名质量为m的 闯关者（可是为质点）到转轴的距离 为d，已知闯关者与圆盘间的摩擦因 素为μ，且闯关者与圆盘间的最大静 摩擦力等于滑动摩擦力。为了使闯关 者与圆盘保持相对静止，求圆盘的转 动角速度的取值范围。
如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6 kg的物 体A 静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光 滑小孔O吊着质量为m＝0.3 kg的小球B，A的重心到O点 的距离为0.2 m，若A与转盘间的最大静摩擦力为Fm＝2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度 ω的取值范围(取g＝10 m/s2)．
能使小球在管内做完整的圆周运动？
临界速度：F0,v0 gR
当v<v0，内壁对球有向上的支持力；
当v>v0，外壁对球有向下的压力。
使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度：
vA＞2
gr
过最高 点的临 界条件 最低点 的临界
速度
轻绳模型 由 mg＝mvr2 得 v 临＝ gr 由机械能守恒可得
v 5gr
当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点；
思考：要使小球做完整的圆周运动， 在最低点的速度有什么要求？
vB B
由机械能守恒可的：
o
mg2rmvA 2 mvB2 22
L A
v gr vA 当VB取得最小值时，即： B
v VA取得最小值即： A 5gr
拓展：物体沿竖直内轨运动
有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半径为r，
质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动时，分
析小球在最高点的速度应满足什么条件？
A
v0
mg
FN
mg
FN
mv2 r
思考：小球过最高点的最小速度
是多少? FN0,v0 gr
当v=v0，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点；
当v>v0，对轨道有压力，小球能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点。
模型1 ：绳球模型
不可伸长的细绳长为L，拴着可看成质点的 质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动。
v0 B
o
L A
试分析： 当小球在最高点B的 速度为v0 时，绳的拉力与速度 的关系？
vA
v2 mg
T
o
最高点：T mg mv02 L
思考：小球过最高点的最小速 度是多少?
v1 T 0,v0 gL
思考：当v=v0、 v>v0、v<v0时分别会发生什么现象？ 当v=v0，对绳子的拉力刚好为0 ，小球刚好能够通过（到） 最高点、刚好能做完整的圆周运动；
思考:在最高点时，何时杆表现为
拉力？何时表现为支持力？试求
v1 A mg
其临界速度。
临界速度：F0,v0 gL
v 此时最低点的速度为： A 5gr
当v<v0，杆对球有向上的支持力； 当v>v0，杆对球有向下的拉力。
问：当v2的速度等于0时，杆对球的 支持力为多少？
F支=mg
v 2 此时最低点的速度为： A gr
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足：v gr
规律总结：无支持物
物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产生沿绳收 缩方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力； 若速度太小物体会脱离圆轨道——无支持物模型
①临界条件：绳子或轨道对小球恰好没有弹力的 作用，重力提供向心力，即 mg＝mvR2临界， 解得小球恰能通过最高点的临界速度为: v ＝ 临界 Rg. ②能过最高点的条件：v≥ gR，当 v> gR时，绳对 球产生拉力，轨道对球产生压力．
（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度
2、绳子中的临界问题
例：如图所示，两绳子系一个质量为m=0.1kg的小 球，上面绳子长L=2m，两绳都拉直时与轴夹角分别 为30°与45°。问球的角速度满足什么条件，两绳 子始终张紧？
2.4rad/s≤ω ≤3.16rad/s
A
30°
B
L
45°
C ω
3、脱离与不脱离的临界问题
⑴当杆绕O转动到某一速度时，A球在最高点，如图所示 ，此时杆A点恰不受力，求此时O轴的受力大小和方向；
⑵保持⑴问中的速度，当B球运动到最高点时，求O轴的 受力大小和方向；
⑶在杆的转速逐渐变化的过程中， 能否出现O轴不受力的情况？请计算说明。
解析：⑴AB端球恰：好T不受2m力g，2则mvm2g,Tm4mvLg2 ,v2 gL
结论：使小球能做完整的 圆周运动在最低点的速度
vA＞2 gr
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放置的管
型轨道，其半径为R，管内有一质量
为m的小球有做圆周运动，小球的直
径刚好略小于管的内径。
思考：在最高点时，什么时候外管壁对小球有压力，
什么时候内管壁对小球有支持力?什么时候内外管
壁都没有压力？小球在最低点的速度v至少多大时，才
特点：角 线速速度度、、周向期心、加速频率度不、变向，心力的大小不变，
方向时刻改变；
匀速
性质：变速运动；非匀变速曲线运动；
圆周运动 条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直，
圆
且指向圆心。
周
向心力就是物体作圆周运动的合外力。
运
动
合外力不指向圆心，与速度方向不垂直；
合外力沿着半径方向的分量提供向心力，改变速
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向 两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它们到 转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B与圆盘间 的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，（g=10m/s2）求：
（1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度；
图3-7
v
2 0
C.小球过最高点时绳对小的拉力mg L
D.小球过最高点时速度大小为 gL
变型题2：在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳 拴住一小球，另一端固定，其细线长为0.8m， 现为了使一质量为0.2kg的小球做圆周运动，则 小球在最高点的速度至少为多少？
实例一：水流星
在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使 小球在竖直平面内做圆周运动。
B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度
为v2时，杆的受力与速度的关 系怎样？
（2）当小球在最高点B的速度
为v1时，杆的受力与速度的关
A
系怎样？
B F3 v2
最高点：F2
Байду номын сангаас
mg
mv22 L
拉力
mg
F2
o
F1
mgF3
mv32 L
支持力
（1）若m在最高点时突然与电机脱离， 它将如何运动? （2）当角速度ω为何值时，铁块在最高 点与电机恰无作用力? （3）本题也可认为是一电动打夯机的原 理示意图。若电机的质量为M，则ω多大 图3-5 时，电机可以“跳”起来?此情况下，对 地面的最大压力是多少?
二、竖直平面内的圆周运动的临界问题— —球绳模型
联系得: v
若A球在上端，B球在下端，对A球：T
3gL
mg
m
L v2
L
对B球：T 2mg 2mv2 联系得 3mg m v2
L
L
显然不成立，所以能出现O轴不受力的情况，此时
vA vB 3gL
四、圆周运动的周期性
利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、 平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另 一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意 用时间相等来联系。在这类问题中，要注意寻找两种运动 之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时， 要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。
可看成质点的质量为m的小球随圆锥体一起做匀速圆 周运动，细线长为L，求：
（1）当 g / l 时
37°
绳子的拉力；
（2）当 2g/l时
绳子的拉力；
例：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的 铁块．电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转 动．则电机对地面的最大压力和最小压力之差为___.
(2)不能过最高点 v＜ gr，在到达最高点前
小球已经脱离了圆轨 道
(3)当 v＝ gr时，FN＝0
(4)当 v＞ gr时，FN＋mg＝ mvr2，FN 指向圆心并随 v 的
增大而增大
例题:轻杆长为2L，水平转轴装在中点O，两端分别固定 着小球A和B。A球质量为m，B球质量为2m，在竖直平面内 做圆周运动。
结论：要使小球做完整的圆 周运动，在最低点的速度
vA
5gr
例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固
定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初
速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好
过最高点，则下列说法中正确的是：（ D ）
A.小球过最高点时速度为零
B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m
例1：如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于
盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB
方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰
一次，且落点为B，则小球的初速度v＝
_________，圆盘转动的角速度ω＝
_________。
图3-6
例2：如图所示，小球Q在竖直平面内做匀 速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有 另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由 下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q球 的角速度ω应满足什么条件？
③不能过最高点的条件：V<V临界(实际上小球尚未到达 最高点时就脱离了轨道)．
④使小球做完整的圆周运动，
在轨道的最低点的速度应满足： v 5gr
模型二：球杆模型： 小球在轻质杆或管状轨道弹力作用下的圆周运 动，过最高点时杆与绳不同，杆对球既能产生 拉力，也能对球产生支持力；（管状轨道的口 径略大于小球的直径)
轻杆模型
小球能运动即可，也就是 v 临＝0
小球能运动即可，也就是
v＞2 gr
轻绳模型
轻杆模型
受 力 情 况 讨 论 分 析
(1)过最高点时
v≥ gr，FN＋mg＝ mvr2，绳、轨道对球产
生弹力 FN≥0，方向指 向圆心
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN 为支持力，沿半径背离圆心
(2)当 0＜v＜ gr时，mg－ FN＝mvr2，FN 背离圆心，随 v 的增大而减小
非匀速
度方向；沿着速度方向的分量，改变速度大小。
圆周运动 当速率增大时，合外力与速度方向的夹角
为锐角；反之，为钝角。
物体做圆周运动时，题干中常常会出现 “最大”“最小”“刚好”“恰好” 等词语，该类问题即为圆周运动的临界 问题
一、匀速圆周运动中的极值问题
1、滑动与静止的临界问题
例1、在山东卫视的《全运向前冲》 节目中，有一个“大转盘”的关卡。 如图所示，一圆盘正在绕一通过它中
⑵由杆牛对顿B球第无三作定用律力，，B球对对A球O轴:T的L拉m力gTm v24,Tmgm，g竖直向下。
由牛顿第三定律，A球对O轴的拉力 T 2Lmg ，竖直向下。
⑶在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不 受力的情况？请计算说明。
若B球在上端A球在下端，对B球：T2mg 2mgv2
对A球：T mg m v2 L
运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不
会流下来，为什么？
对杯中水：mgFN
当v gr 时，FN =
mv2 r
0
FN G
水恰好不流出
表演“水流星” ，需要保证杯 子在圆周运动最高点的线速度不
得小于 gr
即：v gr 重力的效果——全部提供向心力
实例二：过山车
思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？
心O且垂直于盘面的竖直轴逆时针匀
速转动，在圆盘上有一名质量为m的 闯关者（可是为质点）到转轴的距离 为d，已知闯关者与圆盘间的摩擦因 素为μ，且闯关者与圆盘间的最大静 摩擦力等于滑动摩擦力。为了使闯关 者与圆盘保持相对静止，求圆盘的转 动角速度的取值范围。
如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6 kg的物 体A 静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光 滑小孔O吊着质量为m＝0.3 kg的小球B，A的重心到O点 的距离为0.2 m，若A与转盘间的最大静摩擦力为Fm＝2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度 ω的取值范围(取g＝10 m/s2)．
能使小球在管内做完整的圆周运动？
临界速度：F0,v0 gR
当v<v0，内壁对球有向上的支持力；
当v>v0，外壁对球有向下的压力。
使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度：
vA＞2
gr
过最高 点的临 界条件 最低点 的临界
速度
轻绳模型 由 mg＝mvr2 得 v 临＝ gr 由机械能守恒可得
v 5gr