第一章场论及张量初步

张量的定义
从物理意义上来说，张量（tensor)是一个在 三维坐标系中具有3r个分量的物理量。
11 12 13
11 12 13
ij 21 22 23 ij 21 22 23
31 32 33
31 32 33
应力张量
应变张量
二阶张量(32=9个分量)
p11 p12 p13 P pij p21 p22 p23
矢量线：线上每一点的切线方向与该 点的矢量方向重合
dr
r
r
根据矢量定义有： a d r 0
直角坐标形式：
1.3 梯度-标量不均匀性的量度
对于给定标量场 (r,t)，用它的梯度
来表明在任一时刻标量场中每点邻域 内的函数变化。
函数在M点上沿曲线S方 向的方向导数：
表明函数φ(r,t)在M点上 沿曲线S方向的变化率
P1 2PPc1 2PPc
二阶共轭张量(转置)
p11 p12 p13 P pij p21 p22 p23
p31 p32 p33
p11 p21 p31 Pc pji p12 p22 p32
p13 p23 p33
1 2
P
Pc
p11
12p12 p21
12p31
p13
12p12 p21
p13 p23 p33
二阶反对称张量：三个未知分量
pij pji
0
p12 p31
Pc pij p12 0 p23
p31 p23 0
1 p23 2 p31
3 p12
0 3 2 3 0 1
2 1 0
张量分解定理 二阶张量可以唯一地分解成为一个对称张 量和一个反对称张量之和。
p31 p32 p33
二阶共轭张量(转置)
p11 p12 p13 P pij p21 p22 p23
p31 p32 p33
p11 p21 p31 Pc pji p12 p22 p32
p13 p23 p33
二阶对称张量：六个未知分量
pij pji P Pc
p11 p12 p13 Pc pij p12 p22 p23
222
x2 y2 z2
1.8 微分算子-微分及矢量运算法则
哈密顿算子：一方面是一个矢量，在运算时 要符合矢量代数和矢量分析中的所有法则； 另一方面又是一个微分算子，只对位于算子 右边的量发生微分作用
ij k x y z
1.8 微分算子-微分及矢量运算法则
用哈密顿算子的形式表示梯度、散度和旋度
1.8 微分算子-微分及矢量运算法则
diva
sandS
lim V0 V
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
证明当矢量a具有连续一阶偏导数时，此极限( 即散度存在
由高等数学中的奥高定理得：
sandSVaxxayy azzdV
实质上是面积分与体积分之间的关系
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
因体积分中被积函数是连续的，根据中 值定理可知，能够在积分体上找到确定 的一个点Q，满足：
(BA )•C
(B) 张量初步
张量的定义 二阶张量 共轭张量 对称张量与反对称张量 张量分解定理
张量的定义
张量（tensor)是几何与代数中的基本概念 之一。从代数角度讲， 它是矢量的推广。 我们知道， 矢量可以看成一维的“表格” （即各分量按照顺序排成一排），即一阶 张量； 矩阵是二维的“表格”（各分量按 照纵横位置排列），即二阶张量； 那么n 阶张量就是所谓的n维的“表格”。
第一章 场论及张量初步
主要内容
(A) 场论：梯度，散度，旋度 (B) 张量：二阶张量
1.1 场的定义及分类
场：在空间中的某个区域内定义的标量函数或 矢量函数
标量场
矢量场
r是空间点矢径， x,y,z是r的直角坐标，t是时 间参数
地形等高线图
圆管横截面上的颗粒浓度场分布
圆管横截面上的气流压力场分布
L
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
对于给定的矢量场a(r,t) ,在场内取一曲线L 作线积分
L a d r La x d a x y d a y zdz
若L为封闭曲线，则矢量a沿L的环量为：
L a d r La x d a x y d a y zdz
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
an dS:矢量a通过面积元dS的通量
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
在整个曲面上积分，得矢量a通过S面的通量
sandS
实质上相当于函数的面积分
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
当S面为封闭曲面时，通量为：
sandS
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
s a n dS
V
当封闭曲面S包围的体积为V，用矢量a的通量 除以V(求单位体积的通量)，且当V→0时，将 极限定义为矢量a的散度：
i jk
rota
x y z
ax ay az
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
Stockes公式：线积分与面积分的关系
L a d r S rn o a d tS S ra o dtS
1.7 无旋场及其性质
rota=0的矢量场称为无旋场
ra o0 t
agrad
L ad rS ra o d t S 0
lim S0
L
S
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系 中值公式：面积分与函数值的关系
roxta
az y
ay z
roytaazx
az x
rozta
ay x
ax y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系 中值公式：面积分与函数值的关系
梯度的主要性质
正定理证明：
a•d rgr• a dd rd
由于 是矢径r的单值函数，则沿封闭曲线L的
线积分：
d0a•dr
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
对于给定的矢量场a(r,t) ,在场内取一曲面S ，并在S上取一面积元dS，在dS上取一点M ，n为S面上过M点的法线方向的单位矢量
an：矢量a在法线方向的投影
对于给定的矢量场a(r,t) ,在场内取一点M， 围绕M取无限小封闭曲线L，张于L上的曲面 为S，按右手螺旋法则定义S的法线方向n。
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
作矢量a沿曲线L的环量并除以曲面面积S， 当L向M点收缩，面积S趋于0时，定义矢量 a的旋度矢量rota在n方向的投影为：
adr
rotna
dxdydz
x y z
d
物理意义：函数 在M点dr方向的增量
等于M点处的梯度在dr方向的投影
grad
dr
d r
r
梯度的主要性质
定理2 若 a=grad，且 是矢径r的单值函
数，则沿封闭曲线L的线积分：
a•dr0
反之，若矢量a沿任一封闭曲线L的线积分
a•dr0
则矢量a必为某一标量函数的梯度，即 a=grad
证明：其他方向的方向导数可以由过M点的法 线方向上的方向导数来表示
lim(M1)(M)
n MM 1 0
MM 1
lim (M)(M)
s M M 0 M M
当M1无限接近M时，近 似为过M1点的切线
(M)(M 1)
M1 M M M co n,s s)(
MM MM1 cos(n,s)
(M)(M 1)
用哈密顿算子的形式表示梯度、散度和旋度
1.9 矢量与标量场的基本运算公式
1.9 矢量与标量场的基本运算公式
1.9 矢量与标量场的基本运算公式
矢量运算基本法则
A ( B C ) B ( A • C ) C ( A • B ) C • ( A B ) ( C A ) • B ( B C ) • A
全国范围内温度场分布
速度场
速度场
速度场
电场
磁场
均匀场：同一时刻场内各点 函数值都相等
定常场：场内函数值不随时 间t改变
均匀场
定常场
1.1 场的几何表示
等高线
等高线
根据等高线的相对位置、疏密程度 看出标量函数-高度的变化状况
矢量场的几何表示
矢量的大小是一个标量，可以用等位 面的概念来几何表示，矢量的方向则 采用矢量线来表示。
ddr•grad
反之，若 ddr•a
则 agrad
梯度的主要性质
正定理证明： 已知标量函数的全微分：
ddxdydz
x y z
梯度的直角坐标形式：
gra dijk
x y x
d d ri x dj y d kz
梯度的主要性质
gra dijk
x y x
d d ri x dj y d kz
dr•grad
梯度的性质定理2(书中P8-9)
agrad
1.7 无旋场及其性质
agrad
ra o0 t
agra d i jk
x y x
i jk i j k
rota
0
x y z x y z
ax ay az
x y z
1.8 微分算子-微分及矢量运算法则
拉普拉斯算子：只进行微分运算
2 2 2 x2 y2 z2
p22
12p32 p23
12p31
p13
12p32 p23
p33
二阶对称张量
1 2
P
Pc
0
12p12p21
12p3
1p1
3
12p12p21
0
12p2
3p3
2
12p31p13
12p23p32
0
二阶反对称张量
V a xx a yy a zz d V V a xx a yy a zz Q
函数在体积V上的积分
在积分体上Q点处的函数值
注意：Q点是积分体上的一个确定点
sandSVaxx
ay y
az z
Q
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
sandSVaxx
ay y
az z
Q
它来描述M点邻域内函数的变化状况，是标量 场不均匀性的量度。
gradn
n
其他方向的方向导数可以由过M点的梯度 的大小来表示
gradn
n
cosn,(s)
s
n
s•grad
梯度在直角坐标系中的表达式
gradn
n
gra dijk
x y x
梯度的主要性质
梯度的主要性质
定理1 梯度 grad 满足关系式：
(M)(M)
lim s M M 0 M M
con,ss)(lim (M 1)(M )
s
MM M1M 0
1
con,ss)(lim (M 1)(M )
s
MM M1M 0
1
cosn,(s)
s
n
cosn,(s)
s
n
百度文库
s n
函数 在n方向的方向导数最大，在n方向变
化最快。
梯度：存在这样一个矢量，其方向为过M点 的等位面法线方向，大小为这个方向上的方 向导数，这个矢量为函数在M点的梯度，用
sandS
di
V
vadV
1.5 无源场及其性质
diva=0的矢量场称为无源场或管式场。 具有以下主要性质：
(1) 无源矢量a经地矢量管任一横截面 上的通量保持同一数值 (2) 矢量管不能在场内发生或终止。
(3) 无源矢量a经过张于已知周线L的所有 曲面S上的通量均相同，此通量只依赖于 周线L而与所张曲面S的形状无关。
diva
sandS
lim V0 V
divaV l i0m axx
ay y
az z
Q
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
divaV l i0m axx
ay y
az z
Q
V 0
QM(任意点 )
divaax ay az x y z
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
sandSVaxxayy azzdV