九年级数学上册第2章一元二次方程22一元二次方程的解法221配方法第1课时直接开平方法素材新版湘教版_
2.2 一元二次方程的解法
2．2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
素材一新课导入设计
置疑导入 归纳导入 类比导入 悬念激趣
在实际生活中，我们常常会遇到一些问题，需要用一元二次方程来解决．例如：要修一个正方形场地，使其面积为16平方米，正方形的边长应是多少米？
[说明与建议] 说明：从实际问题出发，让学生感受到“生活中处处有数学”，并感受到问题的存在，从而激发学生的求知欲．建议：在处理时要把握好两点：第一，要求学生能找准等量关系，并列出方程；第二，正确求解．
如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫作a 的平方根．用式子表示：若x 2
＝a ，则x 叫作a 的平方根．记作x ＝±a ，即x ＝a 或x ＝－a .
如：9的平方根是±3，425的平方根是±25
. 平方根有下列性质：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根．
思考：利用平方根的概念，能求解方程(1)x 2＝4，(2)x 2－2＝0吗？
[说明与建议] 说明：通过学生的回忆，重新理解平方根的概念，并由此引出直接开平方法．建议：以提问
的形式回顾平方根的性质．对于方程(1)x 2＝4，鼓励同学们自己独立完成，而对于方程(2)x 2－2＝0，要给予提示
“移项”．
素材二教材母题挖掘
30页例1
解方程：4x 2－25＝0.
【模型建立】
方程可变形为x 2＝254，这表明x 是254的平方根，根据平方根的意义，我们可以求出x 的值．
【变式变形】
1．方程3x 2＋9＝0的根为( D )
A ．3
B ．－3
C ．±3
D ．无实数根
2．方程x 2＋1＝2的解是__x ＝±1__．
3．已知方程2(x －3)2＝72，这个一元二次方程的根是__x 1＝9，x 2＝－3__．
4.方程(1－x )2＝2的根是( C )
A ．x 1＝－1，x 2＝3
B ．x 1＝1，x 2＝－3
C ．x 1＝1－2，x 2＝1＋2
D ．x 1＝2－1，x 2＝2＋1
5．下列解方程的过程中，正确的是( D )
A ．x 2＝－2，解方程，得x ＝±2
B ．(x －2)2＝4，解方程，得x －2＝2，x ＝4
C ．4(x －1)2＝9，解方程，得4(x －1)＝±3，x 1＝74，x 2＝14
D ．(2x ＋3)2＝25，解方程，得2x ＋3＝±5，x 1＝1，x 2＝－4
6．解方程：(2x －3)2＝9(x ＋4)2.[答案：x 1＝－15，x 2＝－95]
素材三考情考向分析
[命题角度] 直接开平方法解一元二次方程
形如x 2＝p (p ≥0)或(nx ＋m )2＝p (p ≥0，n ≠0)的一元二次方程，可采用直接开平方法求解．如果方程能化成x 2＝p (p ≥0)的形式，那么可得x ＝±p ；如果方程能化成(nx ＋m )2＝p (p ≥0，n ≠0)的形式，那么可得nx ＋m ＝±p .
例 [衡阳模拟] 方程x 2－4＝0的根是( C )
A ．x ＝2
B ．x ＝－2
C ．x 1＝2，x 2＝－2
D ．x ＝4
素材四教材习题答案
P 31练习
1．解下列方程：
(1)9x 2－49＝0；
(2)36－x 2＝0；
(3)(x ＋3)2－36＝0；
(4)9(1－2x)2－16＝0.
[答案](1)x ＝±73
. (2)x ＝±6.
(3)x 1＝3，x 2＝－9.
(4)x 1＝76，x 2＝－16
. 2．(古代数学问题)
直田七亩半，忘了长和短.
记得立契时，长阔争一半.今问俊明公，此法如何算.
意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一
半．现在请你帮他算出它的长和宽各是多少步①.(1亩＝240平方步)
解：设宽是x 步，由题意得，
x ·2x ＝7.5×240解得：x ＝30(舍去负值).2x ＝60.
素材五图书增值练习
素材六数学素养提升
《方程式的由来》
十六世纪,随著各种数学符号的相继出现,特别是法国数学家韦达创 立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后,"含有未知数的等式" 这一专门概念出现了,当时拉丁语称它为"aequatio",英文为"equation". 十七世纪前后,欧洲代数首次传进中国,当时译"equation"为"相等式. 由於那时我国古代文化的势力还较强,西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生较的影响,因此"代数学"连同"相等式"等这 些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究.
十九世纪中叶,近代西方数学再次传入我国.1859年,李善兰和英国传教士伟烈亚力,将英国数学家德.摩尔