四川省凉山州2020届高三上学期第五次周考数学(文)试卷

数学周测5（文科）
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知复数3
12i z =
-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z = A ．36i 55+ B ．36i 55- C ．12i 55- D ．12i 55
+
2．已知集合{}04A x x =∈<<Z ，{}
(1)(2)0B x x x =+-<，则A
B =
A ．（0，2）
B ．（1-，2）
C ．{0，1}
D ．{1} 3．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是
A ．5
B ．7
C ．9
D ．3 4．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，
每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比 赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩 绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的
平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29； （3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18． 则这4个结论中，正确结论的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知向量a =（1，，||1=b ，向量a 与b 的夹角为120 ，则||+a b 的值为 A B C ．7 D ．13
6．实数x ，y 满足约束条件220
10220x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
≤≥≤ ，则2z x y =- 的最小值是
A ．5
B ．4
C ．5-
D ．6- 7．某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为
A ．4
B ．6
甲 8 3 2 7 6 5 4 2 0 7 乙
9
1 3 4 8 9 0 1 1 3
0 1
2 3
C ．2
D ．8
8．执行右面的程序框图，则输出的S 的值是
A ．30
B ．126
C ．62
D ．-126
9．学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在小芳和小敏都已经报名参加此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为
A ．
1
4
B ．12
C ．
13
D ．3
4
10．在三棱锥P ABC -中，已知PA AB AC ==，BAC PAC ∠=∠，点D ，E 分别为棱
BC ，PC 的中点，则下列结论正确的是
A ．直线DE ⊥直线AD
B ．直线DE ⊥直线PA
C ．直线DE ⊥直线AB
D ．直线D
E ⊥直线AC
11．已知斜率为1-的直线过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2-，则该抛物线的准线方程为
A ．2x
= B ．1x =
C ．2x =-
D ．1x =-
12．若函数3
2
()ln f x x x x x ax =-+-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是
A ．（0，+∞）
B ．（0，1]
C ．[1-，0）
D ．（-∞，0）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1
()()2
x f x =，则(3)f 的值是 ． 14．若33
sin()25
απ-
=，则cos2α的值是 ．
15．在平面直角坐标系xOy 中，过x 轴上的点P 作双曲线C ：22
221x y a b
-= (0a >，0)b >的
一条渐近线的垂线，垂足为M
，若OM =
，PM =，则双曲线C 的离心率的值
是 ．
16．在各项为正数的等比数列{}n a 中，若2a 与10a
3438log log a a + 的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且34sin 3cos c a B b A =+．
（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若14c =，求b 的值． 18．（本小题满分12分）
“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0
2000步，
（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、1000012000
步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1∶4∶3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000
8000的人数；
（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 19．（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，
，分别为，B C 的中点． （Ⅰ）求证：1B E ∥平面ACF ； （Ⅱ）求三棱锥1B ACF -的体积． 20．（本小题满分12分）
已知点M （2，1）在椭圆C ：22
221(x y a a b +=且3MA MB ⋅=-．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知点E （1，0），过点M （2，1） 的直线l 与椭圆的另一个交点为N ，若点E 总在 以MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数：()ln 3(0)f x x ax a =--≠． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若函数()f x 有最大值M ，且5M a >-，求实数a 的取值范围． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已
知曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l
的参数方程为122
x t
y ⎧=⎪
⎨=+⎪⎩（t 为参数）．
（Ⅰ）求曲线1C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若经过曲线1C 上在第二象限内的点D 处的切线与直线l 平行，求点D 的直角坐标．
一、选择题（每小题5分，共60分）
B D A
C B C A C B C
D D
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、8-；14、7
25
-
；1516、1-
三、解答题 17．解：（Ⅰ）由34sin 3cos c a B b A =+、A B C π++=及正弦定理得
3sin()4sin sin 3sin cos A B A B B A +=+ ……3分
由于sin 0A >，整理可得3cos 4sin B B =，
又sin 0B >，因此得3
sin 5
B =
……6分 （Ⅱ）因为角B 是最小的内角，所以03B π<≤，又由（Ⅰ）知3
sin 5
B =，
因此得4
cos 5
B = ……9分
由余弦定理得2224
141021410725
b =+-⨯⨯⨯=，即b = ……12分
18．解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000步的人数：男12人，
女14人……2分，
400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000步的人数
约为：26
40026040
⨯
=人……4分； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000的人数：男6人，女3人，共9人，
再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人. ……6分 列出6选2的所有情况15种……8分，至少1个女性有9种……10分 ， 设“其中至少有一位女性微信好友被采访”为事件A ， 则所求概率93
()155
P A == ……12分
19．（Ⅰ）证明：取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中，因为E 、M 分别为AB ，
AC 的中点，所以EM BC ∥且1
2
EM BC =
错误！未找到引用源。

，又F 为11B C 错误！未找到引用源。

的中点，11B C BC ∥，所以1B BC ∥F 且11
2
B F B
C =，即1EM B F ∥且
1EM B F =错误！未找到引用源。

，
故四边形1EMFB 为平行四边形，所以1B E FM ∥ ……3分，
又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊄平面ACF ，所以1B E ∥平面ACF ……6分
（Ⅱ）解：设O 为BC 的中点，因棱柱底面是正三角形，所以有AO =
AO ⊥平面
11BCC B ……8分
于是1111
112332B ACF A B CF B CF
V V S AO --==
⨯⨯=⨯⨯= ……12分 20．解：（Ⅰ）由已知可得(2,1)(2,1)3a a ---⋅--=-，解得28a =，
又点(2,1)M 在椭圆C 上，即
22
22118b +=，解得22b =， 所以椭圆C 的标准方程为22
182
x y += ……4分 （Ⅱ）设11(,)N x y ，当直线l 垂直于x 轴时，点E 在以MN 为直径的圆上，不合题意， 因此设直线l 的方程为(2)1y k x =-+，代入椭圆方程消去y 得
2222(41)4(24)4(441)0k x k k x k k ++-+--= ……6分
则有2124(441)241k k x k --=+，即2122(441)41k k x k --=+，212
441
41
k k y k --+=+ ……8分 又点E 总在以MN 为直径的圆内，
所以必有0EM EN ⋅<，即有1111(1,)(1,1)10x y x y -=+-<……10分
将1x ，1y 代入得2222
48344104141k k k k k k ----++<++，解得1
6
k >-， 所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是1
(,)6
-+∞……12分
21．解： （Ⅰ）()f x 的定义域为（0，+∞）， 由已知得1
()f x a x
'=
- ……2分 当0a <时，()f x '＞0恒成立，所以，()f x 在(0,)+∞内单调递增，无减区间； 当0a >时，令()f x '=0，得1x a =
，所以当1
(0,)x a
∈时()f x '＞0，()f x 单调递增；
当1(,)x a
∈+∞时()f x '＜0，()f x 单调递减 ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a <时， ()f x 在(0,)+∞内单调递增，无最大值 ……7分
当0a >时，函数()f x 在1
x a
=取得最大值， 即max 11
()()ln
4ln 4f x f a a a
==-=--， 因此有ln 45a a -->-，得ln 10a a +-<……10分 设()ln 1g a a a =+-，则1
()10g a a
'=
+>，所以()g a 在(0,)+∞内单调递增， 又(1)0g =，所以()(1)g a g <，得01a <<， 故实数a 的取值范围是（0，1）……12分
22．解：（Ⅰ）由已知得2
2sin ρρθ=，得2
2
2x y y +=，即2
2
(1)1x y +-=，
所以1C 的参数方程为cos 1sin x y α
α=⎧⎨=+⎩
（α为参数）……3分
直线l 20x y -+=……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线1C 是以C （0，1）为圆心、半径为1的圆， 设点(cos ,1sin )D αα+，因为点D 在第二象限，
所以直线CD 的斜率CD k =tan 3
α=-
……7分
得56π
α=
，得点D 的直角坐标为（2-，32
）……10分
23．解：（Ⅰ）1a =时，()|1||1|f x x x =++-，
当1()1125x f x x x x -=---+=-≤时，≥，解得5
2
x -≤； 当11()1125x f x x x -<<=+-+=时,≥，解集为∅；
当1()1125x f x x x x =++-=≥时,≥，解得52x ≥
； 综上：当a =1时，不等式()5f x ≥的解集为55
(,][,)22
-∞-+∞ ……5分
（Ⅱ）显然有0a ≠，由绝对值的三角不等式得
1111
()||||||||||||2f x x a x x a x a a a a a a
=++-+-+=+=+≥≥……7分
所以|1|m -2≤，解得31m m -≤或≥， 即[1,3]m ∈-……10分。