充要条件课件

常用逻辑用语
1.2 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
2．会分析四种命题的相互关系．
基础梳理 1．命题“若p则q”为真时，就记作p⇒q，称p是q的
充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件
或必要条件就归结为判断命题的真假． 2．若A⇒B且B⇒A，则称A是B的充要条件．也说A 等价于B，即A⇔B. 例：x>y是x－y>0的充要条件．
4．证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立
(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的 必要性)．
祝
您
自测自评 1．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的 A( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 )
2． 不等式 x2－3x＋2＜0 成立的充要条件是 1＜x＜2
.
3．条件p：|x|>1，条件q：x<－2，则綈p是綈q的( A )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件又不是必要条件
充分条件、必要条件与充要条件的判断 在下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：a＞b，q：a2＞b2； (2)p：两直线平行，q：内错角相等； (3)p：直线l与平面α所成角大小为90°，q：l⊥α； (4)函数f(x)＝logax(a＞1)，p：f(x1)＞f(x2)，q：x1＞x2＞0. 解析：在(1)中，p 的充要条件．
(3)等价法：即利用等价关系“A⇒B⇔綈B⇒綈A”判断， 对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，一般运用等 价法．
2．理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟
悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必
须并且只需”，……，“反之也真”等． 3．数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义 都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概 念所具有的性质．
q，q
p，所以(1)中的p不是q
在(2)(3)(4)中，p⇔q，所以(2)(3)(4)中的p是q的充要条
件．
跟踪训练 1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必 要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要 条件)? (1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形； (2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.
解析：(1)p是q的充分不必要条件．(2)p是q的必要不充 分条件．(3)p是q的充要条件．
充要条件的证明 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和 一负根的充要条件是ac＜0. 证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一 负根．
c 1x2＝ ＜0. a c 1x2＝ ＜0. a
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：两直线垂直用(m－2)(m＋2)＋(m－2)· 3m＝0求 解． 答案：A
1．判断充要条件的三种方法 (1)定义法：首先分清条件和结论，由条件可推出结论， 条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是 结论成立的必要条件； (2)从集合角度解释，利用集合间的包含关系判断：若 A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若B⊆A，则 A是B的必要条件或B是A的充分条件；若A＝B，则A、B互为 充要条件；
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2， ∴x＝2满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a· 22＋b· 2＋c＝0，即4a＋2b＋c＝0，∴必要性成立．
再证充分性：∵4a＋2b＋c＝0， ∴c＝－4a－2b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋ bx－4a－2b＝0，即(x－2)(ax＋2a＋b)＝0. 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，∴充分性成立． 因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条 件是4a＋2b＋c＝0.
所以Δ＝b2－4ac＞0，x
所以ac＜0.
充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4acபைடு நூலகம்0及x
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
跟踪训练 2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充
要条件是4a＋2b＋c＝0. 证明：先证必要性：
一、选择填空题 1．a＝1是两直线x＋ay＝2a＋2与ax＋y＝a＋1平行 的( A ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
1 2．“m＝－ 2
”是“直线(m－2)x＋3my＋1＝0与直线 )
(m＋2)x＋(m－2)y－3＝0相互垂直”的( A．充分不必要条件 C．充要条件