离散数学-5-4 群与子群

独异点是含有幺元的半群。前面曾提到，对于含有幺元的 运算可考虑元素的逆元，并不是每个元素均有逆元的，这 一点引出了一个特殊的独异点—群。 群论的研究起源于19世纪，它是由于方程论的需要，首先 作为置换群的理论发展起来的。随后，发现在大多数问题 中，重要的不是构成群的置换本身，而应该是集合在代数 运算下的性质，因而提出了群的概念。 群是近世代数中发展最早、内容最广泛、应用最充分的一 部分，是建立其它代数结构的基础。 下面我们重点讨论群的概念及其性质。
例如： 1.〈Q，+〉，〈Z，+〉，〈R，+〉为群，逆元-x 2.〈R-{0}，*〉，〈P（S），〉都为群。 3.〈N，+〉并不是群。 4.〈Zn, +n〉为群,元素逆元： x = 0, x –1 =0； x 0, x –1 = n-x P191 例题1；设R={0°，60°，120°，180°，240°， 300°}表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六 种可能情况，设★是R上的二元运算，对于R中任意两个元 素a和b,a★b表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转角 度。并规定旋转360°等于原来的状态，就看作没有经过 旋转。验证<R,★>是一个群。
所以，零元 就不存在逆元，这与<G,>是群相矛盾。
群中无零元！因为 零元无逆元。
定理5-4.2 设<G，>是一个群，对于a,bG，必存在唯一x G ，使得 a x ＝b。 证明： ⑴先证解的存在性 设a的逆元是a-1，令 x ＝ a-1 b （构造一个解） a x ＝ a ( a-1 b ) ＝( a a-1 ) b ＝ eb ＝b ⑵再证解的唯一性 群方程存在 若另有一解x 1满足a x 1 ＝ b ，则 唯一解 a-1 ( a x 1 )＝ a-1 b x 1 ＝ a-1 b
例：
G = {a, b, c, e}，*如上表所示，是不是一个群？ 易见 1）*运算对G是封闭的， e为幺元。 2) 可以验证，*运算可结合的。（在a,b,c三个元素中，任何两个元素运 算的结果都等于另一个元素， ） 3） G中任何元素的逆元就是它自己； 。 故〈G，*〉为一个群。 此外，运算是可交换的，一般称这个群为克莱因(Klein)四元群,简称四元群。
三、置换
为进一步讨论群性质，引入置换的概念。 定义5-4.3 设S为一个非空集合，从集合S到S的一个双射 称为S的一个置换。 例：集合S={a, b, c, d}置换为ab, bd, ca, dc 这是一个从S到S上的一对一映射，可表示为：
a b b d c a d c
定理5.4.4 群〈G，*〉的运算表中任一行（列）的元素都是G中元素 的一个置换。且不同行，不同列的置换都不同。 证明 首先，证明运算表中的任一行或任一列所含G中的一个元素不可能 多于一次。用反证法，如果对应于元素a∈G的那一行中有两个元素都 是c,即有 a*b1=a*b2=c 且b1≠b2 由可约性可得 b1=b2,这与b1≠b2矛盾。 其次，要证明G中的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。考 察对应于元素a∈G的那一行，设b是G中的任一元素，由于 b=a*(a1*b),所以b必定出现在对应于a的那一行中。 再由运算表中没有两行（或两列）相同的事实，便可得出：<G,*>的运算 表中每一行都是G的元素的一个置换，且每一行都是不相同的。同样 的结论对于列也是成立的。
一、群的概念
群与子群是一种特殊的独异点，也是一种特殊的半群。
定义5-4.1 设<G, >是一个代数系统，其中G是非空集合，
是G上一个二元运算，如果
⑴ 运算是封闭的。 ⑵ 运算是可结合的。 ⑶ 存在么元e。 ⑷ 对于每一元素x∈G，存在着它的逆元x-1。 则称<G, >是一个群（group）。
解：由题意，R上的二元运算★的运算表如上所示，由表知，运算★在R 上是封闭的。 对于任意a, b, cR，(a★b)★c表示将图形依次旋转a, b和c，而 a★(b★c)表示将图形依次旋转b,c和a，而总的旋转角度都是 a+b+c(mod 360),因此(a★b)★c= a★(b★c)，即★运算满足结合性。 0o是幺元。 60o，120o，180o逆元分别是300o，240o，180o因此<R, ★>是个群
定理5-4.3 设<G，>是一个群，对于任意a,b,cG，如果a b = a c 或者b a = c a，则必有 b = c (消去律)。 证明：设a b＝a c,且a的逆元a-1，则有 a-1 (a b )＝ a-1 (a c ) (a-1 a ) b ＝ (a-1 a ) c eb ＝e c b＝c 当b a = c a时，可同样证得b = c 。
<G,>
封闭性
广群
结合性
半群
含幺元
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独异点
存在逆元
群
独异点
群
半 群
广群
群的基本性质
由于群的运算可结合，故对任何一个元a，其逆元都是唯 一的，记a-1。 (a-1=a-1*e=a-1*(a*(a-1)’)=(a-1 *a) *(a-1)’= (a-1)’) 定理5-4.1 群中不可能有零元。 证明：当群的阶为1时，它的唯一元素是视作幺元 。 设|G|>1 且群<G,>有零元 。那么群中任何元素x G，都有 x ＝ x ＝ ≠ e，
< I , +>，< Q , +>，< R , +>是无限群。 < Nk,＋k>是有限群，是 k 阶群。
克莱因Klein四元群是4阶有限群。
只含单位元的群称为平凡群。<{0},+>是平凡群。是1阶群。
代数系统小结：
至此，我们可以概括地说：广群仅仅是一个具有封闭二元运算的非 空集合；半群是一个具有结合运算的广群；独异点是具有幺元的半 群；群是每个元素都有逆元的独异点。
思考练习
已知：在整数集 I 上的二元运算定义为：a,b∈I， a b=a+b-2 证明：< I , >为群。
么元为：2 逆元：x-1＝4-x
二、有限群和无限群
定义5-4.2 设<G, >是一群。如果 G是有限集，那么称<G, >为有限群, G中元素的个数通常称为该有限群的阶数,记 为|G|；如果G是无限集，则称<G, > 为无限群。 例题1中所述的<R, ★>就是一个有限群，且|R|=6。代数系 统<I,+>是一个无限群，这里I是所有整数的集合，+是普 通加法运算。