对方案有偏好的多属性决策的灰色关联分析法

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n
∑ max ξi = ξij wj j =1
⎫ ⎪⎪
∑ s.t.
Hale Waihona Puke Baidu
wj
∈W ,
n j =1
wj
= 1, wj
≥
⎬ 0⎪⎪⎭
， i = 1, 2,L, m ， j = 1, 2,L, n .
(4)
同时，各个方案是公平竞争的，不存在任何偏好关系，因此可建立如下单目标最优化模
已知部分属性权重信息为：
∑ ⎧
4
⎫
W = ⎨0.1 ≤ w1 ≤ 0.4, 0.2 ≤ w2 ≤ 0.3, 0.15 ≤ w3 ≤ 0.0.2, 0.25 ≤ w4 ≤ 0.45; wj ≥ 0, wj = 1⎬
⎩
j =1
⎭
同时决策者对各方案的主观偏好值为：
p1 = 0.70, p2 = 0.95, p3 = 0.90, p4 = 0.85, p5 = 0.80 。
⎢⎢0.5283
0.8620
0.7583
0.4153
⎥ ⎥
⎢⎣1.0000 0.5979 0.6177 0.6305⎥⎦
步骤 3 由公式(5)解如下单目标最优化问题。
max ξ = 2.3272w1 + 3.1680w2 + 3.0105w3 + 2.0961w4
n
∑ s.t. wj ∈W , j = 1, 2,3, 4 ， wj = 1, wj ≥ 0, j = 1, 2,3, 4. j =1
的计算步骤为：
步骤 1 将决策矩阵进行规范化处理。
对于效益型属性有：bij
=
aij
max i
aij
，i
= 1, 2,L, m ，j
= 1, 2,L, n .
(1a)
对于成本型属性有：
bij
=
min i
aij
aij
，i
= 1, 2,L, m ，j
= 1, 2,L, n .
(1b)
( ) 规范化后的矩阵记为：B = bij m×n ，属性值 bij 可以看成决策者在方案 Ai 下对属性 G j 的
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步骤 2 由公式(2)计算各方案客观偏好值对于主观偏好值的灰色关联系数。
⎡0.5409 0.8413 0.7448 0.5409⎤
⎢⎢0.4456 0.8996 0.8996 0.3457⎥⎥
ξ = ⎢0.8124 0.5651 0.6078 0.7942 ⎥
里的灰色关联系数 ξij 反映了在方案 Ai 下决策者对属性 G j 的客观偏好值与主观偏好值的相
似度， ξij 的值越大，说明在方案 Ai 下属性 G j 的客观偏好值与主观偏好值越相似。
步骤 3 计算各方案对于主观偏好值的关联度。
n
∑ ξi = ξij wj ， i = 1, 2,L, m .
(3)
参考文献
[1] Hwang C L, Yoon K. Multiple Attribute Decision Making and Applications[M].New York: SpringerVerlag,1981. [2] Hwang C L, Lin M J.Group Decision Making under Multiple Criteria: Methods and Applications[M].Berlin: Springer,1987. [3] 邱菀华.管理决策与应用熵学[M].北京:机械工业出版社,2001. [4] 徐泽水.不确定多属性决策方法及应用[M].北京:清华大学出版社,2004. [5] 王应明,张军奎. 基于标准差和平均差的权系数确定方法及其应用[J]. 数理统计与管理,2003,22(3):22-26. [6] 李明远. 多指标决策与评价的新方法—主成份投影法[J]. 数理统计与管理,2000,19(5):22-26.45-48. [7] 霍映宝,韩之俊. 基于广义最大熵原理和遗传算法的多指标权重确定方法研究[J]. 数理统计与管理, 2005, 24(3): 39-44. [8] 樊治平,马建.多属性决策中权重确定的一种集成方法[J].管理科学学报,1998, 1(3): 50- 53. [9] 刘树林,汪寿阳. 一个已知方案偏好信息的多属性决策新[J].系统工程理论与实践, 1999, 19(4): 12-15. [10] 高峰记.不完全信息下对方案有偏好的多指标决策[J].系统工程理论与实践, 2000, 20(4): 94-97.
灰 色 关 联 分 析 法 由 邓 聚 龙 教 授 首 先 提 出 [16-18]， 它 是 灰 色 系 统 最 普 遍 的 分 析 方 法 之 一，是分析不同数据项之间相互影响、相互依赖的关系，它是根据事物序列曲线几何 形状的相似程度，用量化的方法评判事物(因素)间的关联程度。两条曲线的形状彼此越 相似，关联度就越大，反之，则关联度就越小[16-22]。近年来，灰色关联分析法在多属性 决策中得到了广泛的应用[16-28]。本文对已知部分属性权重信息且对方案有偏好的多属性 决策问题进行了研究，提出了解决该问题的灰色关联分析法。最后以实际的例子说明了本 文提出的方法。
A
=
⎢ ⎢
a21
⎢⎢⎣aam311
a22 a32 am2
L L L
a2n
⎥ ⎥
a3n amn
⎥ ⎥ ⎦
假设决策者对方案 Ai 有一定的主观偏好，主观偏好值为 pi , 0 ≤ pi ≤ 1 , i = 1, 2,L, m 。
依据灰色关联分析法的思想[16-22]，解决部分权重信息下对方案有偏好的多属性决策问题
3. 实例分析
现用文献[15]实例的部分数据来说明本文提出的方法。为开发新产品，拟定了五个投资
方案 Ai (i = 1, 2,3, 4,5) ，考虑的属性有：投资额 (G1 ) ，期望净现值 (G2 ) ，风险盈利值 (G3 )
和风险损失值 (G4 ) 。在属性集中， G2 和 G3 为效益型属性， G1 和 G4 为成本型属性。各方
2. 对方案有偏好的多属性决策的灰色关联分析法
假 设 某 多 属 性 决 策 问 题 ， 有 m 个 可 行 方 案 A1, A2 ,L, Am ， n 个 评 价 属 性 G1, G2 ,L, Gn ， 评 价 属 性 G j 的 权 重 ω j 不 能 完 全 确 定 ， 但 是 知 道 ω j = ⎡⎣wLj , wRj ⎤⎦ ，
j =1
这里的关联度ξi 反映了对于方案 Ai 所有属性下决策者的客观偏好值与主观偏好值之间
的总相似度。
由于种种条件的限制，决策者的客观偏好与主观偏好之间往往存在一定的相似，为了使
决策具有合理性，属性权重 wj 的选择应使决策者的客观偏好与主观偏好的总相似度最大。
因此为了得到ξi ，需要事先确定属性权重 wj ，为此，可建立下列多目标最优化模型。
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n
n
∑ ∑ wLj ≤ 1 ， wRj ≥ 1，0 ≤ wLj ≤ wRj ≤ 1， j = 1, 2,L, n 。用W 表示属性权重信息的集合。
j =1
j =1
方案 Ai 在属性 G j 下的属性值为 aij ，属性决策矩阵 A 为：
⎡ a11 a12 L a1n ⎤
解得权重向量： w = (0.25, 0.30, 0.20, 0.25) 。
步骤 4 由公式(3)得各方案客观偏好与主观偏好的关联度。
ξ1 = 0.6718,ξ2 = 0.6476,ξ3 = 0.6928,ξ4 = 0.6462,ξ5 = 0.7105 步骤 5 按ξi 的值对方案进行排序，得 ξ5 > ξ3 > ξ1 > ξ2 > ξ4 。可见在这 5 个投资方案 中，排序结果为： A5 f A3 f A1 f A2 f A4 。因此 A5 投资方案最优。
下面利用本文所提出的方法进行求解。具体步骤如下：
步骤 1 由公式(1) 对决策矩阵进行规范化处理，得到规范化决策矩阵 B ⎡1.0000 0.7761 0.8284 1.0000⎤ ⎢⎢0.5159 1.0000 1.0000 0.2958⎥⎥
B = ⎢0.9905 0.6269 0.6690 1.0000⎥ ⎢⎢0.5350 0.7836 0.9702 0.3602⎥⎥ ⎢⎣0.7879 0.5597 0.5779 0.5890⎥⎦
和易于计算。
关键词：多属性决策，属性权重;灰色关联分析，单目标最优化
中图分类号：O212.6
文献标识码：A
1. 引言
多属性决策是决策理论研究的重要内容，现已广泛应用于投资决策、项目评估、 方案优选、工厂选址、经济效益评价等诸多领域[1-7]。由于客观事物、不确定性及决策 者 的 积 极 参 与 ， 对 方 案 有 偏 好 的 不 确 定 多 属 性 决 策 问 题 引 起 人 们 的 关 注 [4，8-15]。 目 前 关 于这类方法的研究成果主要有：给出方案偏好程度条件概率的方法[8]；给出方案优先序 的方法[9]；给出方案偏爱度的方法[10]；文献[11]在属性权重信息不能完全确知且对方案有 偏好的多属性决策问题，提出一种基于方案达成度和综合度的交互式决策方法；文献[12] 在属性权重信息完全未知的情况下，讨论了决策者对方案的偏好信息以互补判断矩阵形式 给出的多属性决策问题；文献[13]研究了只有部分权重信息且对方案的偏好信息以互补 判断矩阵和互反判断矩阵两种形式给出的多属性决策问题，提出了一种基于目标规划 模型的多属性决策方法；文献[14]研究了只有部分权重信息且对方案的偏好信息以实数 形式给出的多属性决策问题，提出了一种基于投影模型的多属性决策方法。文献[15] 对权重信息完全未知且对方案的偏好信息为互补判断矩阵的多属性决策方法进行了研究， 利用线性转化函数将决策信息一致化，然后建立一个优化模型，进而给出了相应的决策方案 排序方法。
案的属性值构成决策矩阵 A ：
G1
G2
G3
G4
A1 ⎡5.200 5.200 4.730 0.473⎤
A2 ⎢⎢10.080 6.700
5.710
1.599
⎥ ⎥
A
=
A3 A4
⎢5.250 ⎢⎢9.720
4.200 5.250
3.820 5.540
0.473⎥
1.313
⎥ ⎥
A5 ⎢⎣6.600 3.750 3.300 0.803⎥⎦
客观偏好值。
步骤 2 计算各方案客观偏好值对于主观偏好值的灰色关联系数。
ξij
=
min i
min j
bij
bij − pi
− pi +ρ
+
ρ
max i
max j
bij
max i
max j
bij
−
pi
−
pi
(2)
i = 1, 2,L, m ， j = 1, 2,L, n 。式中, ρ 为分辨系数， ρ ∈[0,1] ，一般取 ρ = 0.5 。这
4. 结束语
本文对已知部分权重信息且对方案有偏好的多属性决策问题进行了研究，提出了解决该 问题的灰色关联分析法。其核心是通过求解单目标优化模型，得到方案客观偏好与主观偏好 的关联度，进而对方案进行排序和择优。该方法不仅具有概念清晰、计算简单的特点，而且 该方法的提出拓展了灰色关联分析法的应用，并且丰富了已有的不确定多属性决策分析的研 究成果。实例分析进一步显示出了灰色关联分析法在不确定多属性决策问题中的可行性和有 效性。但本文对此只是初步的研究，对于不确定多属性决策的灰色关联分析方法的理论及应 用，还有待于进一步的深入研究。
析的决策方法。该方法依据一般的灰色关联分析方法的基本思路，给出了该问题的计算步骤，
其核心是通过构建并求解一个单目标最优化模型，可得到属性权重信息，进而得到每个方案
客观偏好值与主观偏好值的灰色关联系数，然后计算出每个方案客观偏好与主观偏好的关联
度，根据关联度对所有方案进行排序。最后给出了一个数值例子，结果表明方法简单，有效
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对方案有偏好的多属性决策的灰色关联分析法
卫贵武 1,2
1 西南交通大学经济管理学院，四川成都（610031）
2 川北医学院数学系，四川南充（637007）
E-mail：weiguiwu@163.com
摘 要：针对只有部分权重信息且对方案有偏好的多属性决策问题，提出了一种灰色关联分
型
mn
∑ ∑ max D =
ξij wj
i=1 j =1
⎫ ⎪⎪
∑ s.t.
wj
∈W ,
n j =1
wj
= 1, wj
≥
⎬ 0⎪⎪⎭
， i = 1, 2,L, m ， j = 1, 2,L, n .
(5)
从而可以解出权重向量 w ，进而计算出各方案客观偏好对与主观偏好的关联度ξi 。 步骤4 按ξi 的值对方案进行排序，ξi 的值越大，对应的方案越优。